考研數(shù)學(xué)二分類模擬238

考研數(shù)學(xué)二分類模擬238解答題1.

求極限．正確答案：解：記，則由，得到．因此，數(shù)列{an}是遞減的．又an＞0，于是數(shù)列{an}有下界，故{an}收斂．設(shè)，則a≥0．對等式兩邊取極限，并利用，得到．因此a=0，即．[考點]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

2.

求(a為常數(shù))．正確答案：解：當(dāng)a=-1時

當(dāng)a≠-1時

故

[考點]一元函數(shù)微積分

3.

設(shè)A為四階矩陣，|A*|=8，則求．正確答案：解：因為A為四階矩陣，且|A*|=8，所以|A*|=|A|3=8，于是|A|=2．

又AA*=|A|E=2E，所以A*=2A-1，故

[考點]矩陣

求下列方程的通解：4.

(x2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0；正確答案：解：由原方程得

通解為

[考點]常微分方程

5.

．正確答案：解：將方程變形為

由公式，得

[考點]常微分方程

6.

證明：數(shù)列的極限存在．正確答案：證明：利用對數(shù)不等式，有

故{xn}單調(diào)遞減．

又因

即{xn}有下界．由單調(diào)有界定理知存在．

注此極限稱為歐拉(Euler)常數(shù)，記作γ．建議讀者記住“歐拉常數(shù)”這個結(jié)論，以后可以直接應(yīng)用(除了證明這個結(jié)論本身外)．[考點]函數(shù)、極限

7.

求方程的通解．正確答案：解：令v=y2，則方程變?yōu)?，故由一階線性方程的通解公式得

即

[考點]常微分方程

8.

求．正確答案：解：x3-3x+2=x3-1-3x+3=(x-1)2(x+2)

令

則

x=A(x-1)2+B(x+2)(x-1)+C(x+2)①

在式①中分別令x=1，x=-2，x=0代入，可解得

[考點]一元函數(shù)微積分

9.

設(shè)f(x)為[0，1]上的正值連續(xù)函數(shù)，且，求

正確答案：解：[考點]函數(shù)、極限

10.

求函數(shù)f(x，y)=x3+2x2-2xy+y2在D=[-2，2]×[-2，2]上的最大值與最小值．正確答案：解：按以下三個步驟求最值：

步驟1

求穩(wěn)定點：令

fx(x，y)=3x2+4x-2y=0

fy(x，y)=-2x+2y=0

解得(0，0)，是函數(shù)f在D中的兩個穩(wěn)定點．

步驟2

判別穩(wěn)定點的類型

因此f(0，0)=0為極小值，而不是極值點．

步驟3

為確定函數(shù)f在D上的最大、最小值，還必須討論f在D的邊界上的情形：

當(dāng)x=2時

f(2，y)=16-4y+y2=(y-2)2+12

其最小值為f(2，2)=12，最大值為f(2，-2)=28；

當(dāng)x=-2時

f(-2，y)=y2+4y=(y+2)2-4

其最小值為f(-2，-2)=-4，最大值為f(-2，2)=12

當(dāng)y=2時

f(x，2)=x3+2x2-4x+4

由

得穩(wěn)定點，及邊界點x=±2，求出

當(dāng)y=-2時

f(x，-2)=x3+2x2+4x+4

由的判別式Δ=-32＜0，知道f(x，-2)關(guān)于x為單調(diào)函數(shù)，故其最大、最小值分別為f(2，-2)=28，f(-2，-2)=-4．

比較f(x，y)在上述各點(0，0)，(2，2)，(-2，2)，(2，-2)，(-2，-2)，的值，得到函數(shù)f在D上的最大值和最小值分別為

[考點]多元函數(shù)微分學(xué)

11.

求以y=C1ex+C2e-x-x為通解的微分方程(C1，C2為任意常數(shù))．正確答案：解：由

y=C1ex+C2e-x-x①

兩邊關(guān)于x，求導(dǎo)得

y'=C1ex-C2e-x-1

上式兩邊再關(guān)于x求導(dǎo)得

y"=C1ex+C2e-x②

由式①與式②得y=y"-x，即所求微分方程為y"-y-x=0．[考點]常微分方程

12.

證明：星形線的切線與兩坐標(biāo)軸相交，兩交點所成的線段的長度為一常數(shù)．正確答案：證明：由方程，求得導(dǎo)數(shù)，對于曲線上任一點(x0，y0)(x0≠0)，其切線方程為

設(shè)它在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為lx，ly，則

于是，交點所成的線段的長度為．由于

故l=a為一常數(shù)．[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

13.

設(shè)A，B為n階矩陣，|λE-A|=|λE-B|且A，B都可相似對角化，證明：A相似于B.正確答案：證明：因為|λE-A|=|λE-B|，所以A，B有相同的特征值，設(shè)為λ1，λ2，…，λn，又知A，B可相似對角化，因此存在可逆矩陣P1，P2，使得

由，得

取，則P-1AP=B，即A相似于B．[考點]特征值與特征向量

14.

計算積分

正確答案：解：

得

[考點]一元函數(shù)微積分

15.

設(shè)a，b，c為三個實數(shù)，證明：方程ex=ax2+bx+c不同的根不超過三個．正確答案：證明：令F(x)=ax2+bx+c-ex，則

F'(x)=2ax+b-ex，F(xiàn)"(x)=2a-ex，F(xiàn)"'(x)=-ex

反證法．若原方程的根超過三個，那么F(x)至少有四個根，分別設(shè)為x1，x2，x3，x4，且不妨假設(shè)x1＜x2＜x3＜x4．由羅爾中值定理，分別存在ξ1∈(x1，x2)，ξ2∈(x2，x3)．ξ3∈(x3，x4)，使得F'(ξ1)=F'(ξ2)=F'(ξ3)=0．再利用羅爾中值定理，存在η1∈(ξ1，ξ2)，η2∈(ξ2，ξ3)，使F"(η1)=F"(η2)=0．繼續(xù)利用羅爾中值定理，存在α∈(η1，η2)，使F"'(α)=0與F"'(α)=-eα矛盾．[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

16.

設(shè)α1，α2分別為A的屬于不同特征值λ1，λ2的特征向量，證明：α1+α2不是A的特征向量．正確答案：證明：反證法．若α1+α2是A的屬于特征值λ的特征向量，則有

A(α1+α2)=λ(α1+α2)

因為

Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2

所以

(λ1-λ)α1+(λ2-λ)α2=0

而α1，α2線性無關(guān)，于是λ1=λ2=λ，矛盾，故α1+α2不是A的特征向量．[考點]特征值與特征向量

17.

求f(x)=|x2-3x+2|在閉區(qū)間[-10，10]上的最值．正確答案：解：令x2-3x+2=0得x=1，2．由于f(x)≥0，故在[-10，10]上，即當(dāng)x=1，2時，函數(shù)取得最小值m=0．

f'(x)=(2x-3)sgn(x2-2x+3)=(2x-3)sgn[(x-1)2+2](x≠1，2)．當(dāng)時，f'(x)＞0；當(dāng)時，f'(x)＜0．

所以，當(dāng)時有極大值，于是最大值

[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

18.

證明：如果|f(x)|在點a可導(dǎo)，且f(x)在點a連續(xù)，則f(x)在點a也可導(dǎo)．正確答案：證明：如果f(a)＞0，那么在a的某個鄰域U(a)內(nèi)，也有f(x)＞0，從而在這個鄰域內(nèi)，f(x)=|f(x)|，于是

f'(a)=|f|'(a)

所以f(x)在點a可導(dǎo)．

如果f(a)＜0，那么在a的某個鄰域U(a)內(nèi)，也有f(x)＜0，從而在這個鄰域內(nèi)，f(x)=-|f(x)|，于是

f'(a)=-|f|'(a)

所以f(x)在點a可導(dǎo)．

如果f(a)=0，那么x=a為|f(x)|的極小值點，又因為|f(x)|在點a可導(dǎo)，由費馬定理，有

|f|'(a)=0

從而

因此

即f(x)在點a也可導(dǎo)．

19.

設(shè)b＞0，且，求b．正確答案：解：

故

[考點]函數(shù)、極限

20.

．正確答案：解：記

則

由①+②即得

[考點]一元函數(shù)微積分

21.

證明：不存在．正確答案：證1：反證．設(shè)．

由于sin(n+2)-sinn=2sin1cos(n+1)，對等式兩邊同時取極限，得

所以．

再對恒等式sin2n=1-cos2n兩邊同時取極限，得

繼