考研數(shù)學二分類模擬題18

考研數(shù)學二分類模擬題18一、選擇題1.

設y=y(x)由確定，則y"(0)等于______．A.2e2B.2e-2C.e2-1D.e-2-1正確答案：A[解析]當x=0時，由得y=1，兩邊對x求導得，

解得，且，

由得，應選A．

2.

設函數(shù)f(x)二階可導，且f'(x)＞0，f"(x)＞0，Δy=f(x+Δx)-f(x)，其中Δx＜0，則______．A.Δy＞dy＞0B.Δy＜dy＜0C.dy＞Δy＞0D.dy＜Δy＜0正確答案：D[解析]根據(jù)微分中值定理，Δy=f(x+Δx)-f(x)=f'(ξ)Δx＜0(x+Δx＜ξ＜x)，dy=f'(x)Δx＜0，因為f"(x)＞0，所以f'(x)單調(diào)增加，而ξ＜x，所以f'(ξ)＜f'(x)，于是f'(ξ)Δx＞f'(x)Δx，即dy＜Δy＜0，選D．

3.

設f"(x)連續(xù)，f'(0)=0，，則______．A.f(0)是f(x)的極大值B.f(0)是f(x)的極小值C.(0，f(0))是y=f(x)的拐點D.f(0)非極值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐點正確答案：B[解析]由及f"(x)的連續(xù)性，得f"(0)=0，由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜|x|＜Δ時，，從而f"(x)＞0，于是f'(x)在(-δ，δ)內(nèi)單調(diào)增加，再由f'(0)=0，得當x∈(-δ，0)時，f'(x)＜0，當x∈(0，δ)時，f'(x)＞0，x=0為f(x)的極小值點，選B．

4.

設函數(shù)f(x)在[0，a]上連續(xù)，在(0，a)內(nèi)二階可導，且f(0)=o，f"(x)＜0，則在(0，a]上______．A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.恒等于零D.非單調(diào)函數(shù)正確答案：B[解析]

令h(x)=xf'(x)-f(x)，h(0)=0，h'(x)=xf"(x)＜0(0＜x≤a)，

由得h(x)＜0(0＜x≤a)，

于是，故在(0，a]上為單調(diào)減函數(shù)，選B．

5.

設f(x)可導，則當Δx→0時，Δy-dy是Δx的______．A.高階無窮小B.等價無窮小C.同階無窮小D.低階無窮小正確答案：A[解析]因為f(x)可導，所以f(x)可微分，即Δy=dy+o(Δx)，所以Δy-dy是Δx的高階無窮小，選A．

6.

設函數(shù)則在點x=0處f(x)______．A.不連續(xù)B.連續(xù)但不可導C.可導但導數(shù)不連續(xù)D.導數(shù)連續(xù)正確答案：D[解析]因為，所以f(x)在x=0處連續(xù)；

由，得f(x)在x=0處可導，且f'(0)=0；

當x＞0時，；當x＜0時，f'(x)=2x，

因為，所以f(x)在x=0處導數(shù)連續(xù)，選D．

7.

設則在x=1處f(x)______．A.不連續(xù)B.連續(xù)但不可導C.可導但不是連續(xù)可導D.連續(xù)可導正確答案：D[解析]因為，所以f(x)在x=1處連續(xù)．

因為，所以f(x)在x=1處可導．

當x≠1時，f'(x)=2x+1，因為，所以f(x)在x=1處連續(xù)可導，選D．

8.

若f(-x)=-f(x)，且在(0，+∞)內(nèi)f'(x)＞0，f"(x)＞0，則在(-∞，0)內(nèi)______．A.f'(x)＜0，f"(x)＜0B.f'(x)＜0，f"(x)＞0C.f'(x)＞0，f"(x)＜0D.f'(x)＞0，f"(x)＞0正確答案：C[解析]因為f(x)為奇函數(shù)，所以f'(x)為偶函數(shù)，故在(-∞，0)內(nèi)有f'(x)＞0．因為f"(x)為奇函數(shù)，所以在(-∞，0)內(nèi)f"(x)＜0，選C．

9.

f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)二階可導，f"(x)＜0，，則f(x)在(-∞，0)內(nèi)______．A.單調(diào)增加且大于零B.單調(diào)增加且小于零C.單調(diào)減少且大于零D.單調(diào)減少且小于零正確答案：B[解析]由，得f(0)=0，f'(0)=1，因為f"(x)＜0，所以f'(x)單調(diào)減少，在(-∞，0)內(nèi)f'(x)＞f'(0)=1＞0，故f(x)在(-∞，0)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，再由f(0)=0，在(-∞，0)內(nèi)f(x)＜f(0)=0，選B．

10.

若f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導，且，則下列正確的是______．A.x=0是f(x)的零點B.(0，f(0))是y=f(x)的拐點C.x=0是f(x)的極大點D.x=0是f(x)的極小點正確答案：D[解析]由得f'(0)=0，

由得x=0為極小點，應選D．

11.

設f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有定義，且f(0)=0，則f(x)在x=0處可導的充分必要條件是______．

A．存在

B．存在

C．存在

D．存在正確答案：C[解析]設顯然，而f(x)在x=0處不可導，A不對；

即存在只能保證f(x)在x=0處右可導，故B不對；

因為，所以h→0時，

于是存在不能保證f(x)在x=0處可導，故D不對；

，選C．

12.

設曲線y=x2+ax+b與曲線2y=xy3-1在點(1，-1)處切線相同，則______．A.a=1，b=1B.a=-1，b=-1C.a=2，b=1D.a=-2，b=-1正確答案：B[解析]由y=x2+ax+b得y'=2x+a，2y=xy3-1兩邊對x求導得2y'=y3+3xy2y'，解得，

因為兩曲線在點(1，-1)處切線相同，所以，解得，應選B．

13.

設f在(-∞，+∞)上有定義，x0≠0為函數(shù)f(x)的極大值點，則______．A.x0為f(x)的駐點B.-x0為-f(-x)的極小值點C.-x0為-f(x)的極小值點D.對一切的x有f(x)≤f(x0)正確答案：B[解析]因為y=f(-x)的圖像與y=f(x)的圖像關于y軸對稱，所以-x0為f(-x)的極大值點，從而-x0為-f(-x)的極小值點，選B．

14.

設f'(x0)=f"(x0)=0，，則下列正確的是______．A.f'(x0)是f'(x)的極大值B.f(x0)是f(x)的極大值C.f(x0)是f(x)的極小值D.(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點正確答案：D[解析]因為，所以存在δ＞0，當0＜|x-x0|＜δ時，，從而當x∈(x0-δ，x0)時，f"(x)＜0；當x∈(x0，x0+δ)時，f"(x)＞0，即(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點，選D．

15.

設f(x)=x3+ax2+bx在x=1處有極小值-2，則______．A.a=1，b=2B.a=-1，b=-2C.a=0，b=-3D.a=0，b=3正確答案：C[解析]f'(x)=3x2+2ax+b，因為f(x)在x=1處有極小值-2，所以解得a=0，b=-3，選C．

16.

設f(x)=|x3-1|g(x)，其中g(x)連續(xù)，則g(1)=0是f(x)在x=1處可導的______．A.充分條件B.必要條件C.充分必要條件D.非充分非必要條件正確答案：C[解析]設g(1)=0，，，

因為f'-(1)=f'+(1)=0，所以f(x)在x=1處可導．設f(x)在x=1處可導，

因為f'-(1)=f'+(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0為f(x)在x=1處可導，應選C．

17.

設f(x)連續(xù)，且，則F'(x)=______．

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]，應選A．

18.

當x∈[0，1]時，f"(x)＞0，則f'(0)，f'(1)，f(1)=f(0)的大小次序為______．A.f'(0)＞f(1)-f(0)＞f'(1)B.f'(0)＜f'(1)＜f(1)-f(0)C.f'(0)＞f'(1)＞f(1)-f(0)D.f'(0)＜f(1)-f(0)＜f'(1)正確答案：D[解析]由拉格朗日中值定理得f(1)-f(0)=f'(c)(0＜c＜1)，因為f"(x)＞0，所以f'(x)單調(diào)增加，故f'(0)＜f'(c)＜f'(1)，即f'(0)＜f(1)-f(0)＜f'(1)，應選D．

19.

設f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內(nèi)可導，則______．

A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則正確答案：D[解析]取，顯然，但，A不對；

取f(x)=cosx，顯然，但，B不對；

取f(x)=x，顯然，但，C不對，應選D．事實上，取，因為，所以存在X＞0，當x＞X時，，從而．

當x＞X時，，

從而，兩邊取極限得，應選D．

20.

設f(x)，g(x)(a＜x＜b)為大于零的可導函數(shù)，且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＜0，則當a＜x＜b時，有______．A.f(x)g(b)＞f(b)g(x)B.f(x)g(a)＞f(a)g(x)C.f(x)g(x)＞f(b)g(b)D.f(x)g(x)＞f(a)g(a)正確答案：A[解析]由f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＜0得即，從而為單調(diào)減函數(shù)．

由a＜x＜b得，故f(x)g(b)＞f(b)g(x)，應選A．

21.

設f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，若，則f(x)在x=0處______．A.不可導B.可導但f'(0)≠0C.取極大值D.取極小值正確答案：D[解析]由得f(0)=0，

由極限保號性，存在δ＞0，當0＜|x|＜δ時，，從而f(x)＞0=f(0)，

由極值的定義得f(0)為極小值，應選D．

22.

設f(x)連續(xù)，且f'(0)＞0，則存在δ＞0，使得______．A.f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加B.f(x)在(-δ，0)內(nèi)單調(diào)減少C.對任意的x∈(-δ，0)，有f(x)＞f(0)D.對任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)正確答案：D[解析]因為，

所以由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜|x|＜δ時，，

當x∈(-δ，0)時，f(x)＜f(0)；當x∈(0，δ)時，f(x)＞f(0)，應選D．

二、解答題1.

設f(x)=g(a+bc)-g(a-bc)，其中g'(a)存在，求f'(0)．正確答案：[解]

2.

設f(x)=|x-a|g(x)，其中g(x)連續(xù)，討論f'(a)的存在性．正確答案：[