考研數(shù)學二分類模擬題29

考研數(shù)學二分類模擬題29解答題1.

討論在點(0，0)處的連續(xù)性、可偏導性及可微性．正確答案：[解]因為，且，所以，即函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．

因為，所以f'x(0，0)=0，根據(jù)對稱性得f'y(0，0)=0，即函數(shù)f(x，y)在(0，0)處可偏導．

因為不存在，所以函數(shù)f(x，y)在(0，0)不可微．

2.

討論在點(0，0)處的連續(xù)性、可偏導性及可微性．正確答案：[解]因為，所以f(x，y)在點(0，0)處連續(xù)．因為，所以f'x(0，0)=0，由對稱性得f'y(0，0)=0，即函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可偏導．

因為，且，所以函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微．

3.

設z=f(etsint，tant)，求正確答案：[解]

4.

設z=ex2+y2sinxy，求正確答案：[解]

5.

設，f有一階連續(xù)的偏導數(shù)，求正確答案：[解]

6.

設u=xyz，求du．正確答案：[解]u=xyz=eyzlnx，

7.

設函數(shù)z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(z2)所確定，其中f是可微函數(shù)，計算并化成最簡形式．正確答案：[解]x22+y2+z2=xyf(x2)兩邊對x求偏導得，解得；

x2+y2+z2=xyf(z2)兩邊對．y求偏導得，解得，故

8.

設f(t)二階可導，g(u，v)二階連續(xù)可偏導，且z=f(2x-y)+g(x，xy)，求正確答案：[解]

9.

設z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，v)二階連續(xù)可偏導，求正確答案：[解]

10.

設z=f(x3+y2，xy，x)，其中f(u，v，ω)二階連續(xù)可偏導，求正確答案：[解]

=4xyf"11+2(x2+y2)f"12+f'2+xyf"22+2yf"31+xf"32．

11.

設z=z(x，y)由x-yz+yez-x-y=0確定，求及dz．正確答案：[解]方程x-yz+yez-x-y=0兩邊對x求偏導得解得

方程x-yz+yez-x-y=0兩邊對y求偏導得解得

12.

設z=f(x-y+g(x-y-z))，其中f，g可微，求正確答案：[解]等式z=f(x-y+g(x-y-z))兩邊對x求偏導得，解得

等式z=f(x-y+g(x-y-z))兩邊對y求偏導得，解．

13.

設u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)確定的x，y的函數(shù)，其中f(z)與φ(z)為可微函數(shù)．證明：正確答案：[證明]，z=y+xφ(z)兩邊對x求偏導得，

解得則z=y+xφ(z)兩邊對y求偏導得，解得，則，所以

14.

設xy=xf(z)+yg(z)，且xf'(z)+yg'(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函數(shù)．證明：

正確答案：[證明]xy=xf(z)+yg(z)兩邊分別對x，y求偏導，得及解得于是

15.

設z=f(x，y)由方程z-y-x+xez-y-x=0確定，求dz．正確答案：[解]對z-y-x+xez-y-x=0兩邊求微分，得

dz-dy-dx+ez-y-xdx+xez-y-x(dz-dy-dx)=0，

解得

16.

設u=f(x，y，z)有連續(xù)的偏導數(shù)，y=y(x)，z=z(x)分別由方程exy-y=0與ez-xz=0確定，求正確答案：[解]，方程exy-y=0兩邊對x求導得，解得

方程ez-xz=0兩邊對x求導得，解得

則

17.

設y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導數(shù)和一階連續(xù)偏導數(shù)，求正確答案：[解]z=xf(x+y)及F(x，y，z)=0兩邊對x求導數(shù)，得

解得

18.

設y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0確定的x，y的函數(shù)，且f(x，t)，G(x，y，t)一階連續(xù)可偏導，求正確答案：[解]將y=f(x，t)與G(x，y，t)=0兩邊對x求導得解得

19.

設且F可微，證明：正確答案：[證明]兩邊對x求偏導得解得兩邊對y求偏導得，解得，于是

20.

設變換可把方程簡化為，求常a．正確答案：[解]將u，v作為中間變量，則函數(shù)關系為則有

將上述式子代入方程得，

根據(jù)題意得解得a=3．

21.

設z=f[x+φ(x-y)，y]，其中f二階連續(xù)可偏導，φ二階可導，求正確答案：z=f[x+φ(x-y)，y]兩邊關于y求偏導得

=f"11(φ')2-2f"12φ'+f'1φ"+f"22．

22.

設，求f(u，v)，并求正確答案：[解]令，則，從而，

于是

23.

求二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極值．正確答案：[解]二元函數(shù)f(x，y)的定義域為D={(x，y)|y＞0}，

由得，

則

因為AC-B2＞0且A＞0，所以為f(x，y)的極小點，極小值為．

24.

求u=x2+y2+z2在上的最小值．正確答案：[解]令

由得，代入得從而u=x2+y2+z2在上的最小值為

25.

平面曲線繞x軸旋轉所得曲面為S，求曲面S的內接長方體的最大體積．