考研數(shù)學二模擬406

考研數(shù)學二模擬406一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.

下列各選項正確的是

A．若存在，存在，則必存在．

B．若不存在，不存在，則必不存在．

C．若不存在，存在，則必存在．

D．若不存在，存在，則必不存在．正確答案：A[解析]函數(shù)乘積的極限存在性定理如下：若存在，也存在，則一定存在；若這兩者一個存在，另一個不存在，則的存在性是不確定的；若不存在，也不存在，則的存在性是不確定的．

2.

設有以下結論：

則以上結論中正確的是A.①②．B.③④．C.①④．D.②③．正確答案：D[解析]先看結論②，

結論②說的是定積分(注意：很多同學認為是反常積分，其實不然，因為存在)等于0．

現(xiàn)在來驗證一下．

請看如下定理：

設是一個定積分，如果f(x)在區(qū)間[-a，a]上連續(xù)且，f(x)在區(qū)間[-a，a]上是一個奇函數(shù)，則定積分

有同學認為雖為奇函數(shù)，但在區(qū)間[-1，1]上并不連續(xù)，因此不能使用上述定理，的確，在區(qū)間[-1，1]上并不連續(xù)，但由于定積分的被積函數(shù)在某一點處的函數(shù)值是完全無所謂的，所以可以把結論②中所說的“”改寫為“”．這樣一來，f(x)在區(qū)間[-1，1]上連續(xù)，且為奇函數(shù)，根據(jù)以上定理可知，結論②正確．

再看結論③．

在x=1，x=-1處沒有定義．現(xiàn)在算一下，這兩個極限只要有一個是∞，就說明是反常積分．通過計算可知和這兩個極限都是∞，所以是反常積分，而不是定積分．

結論③說的是反常積分等于0．

請看以下定理：

設是一個反常積分，如果f(x)在除x=±c外的區(qū)間[-a，a]上連續(xù)(其中c為[-a，a]上的點)，且f(x)在除±c外的區(qū)間[-a，a]上是一個奇函數(shù)，且的值是一個常數(shù)，則反常積分．

根據(jù)以上定理來驗證一下．

首先，在區(qū)間[-1，1]上除了x=±1連續(xù)(也就是說在區(qū)間(-1,1)上連續(xù))，這是毫無疑問的，

其次，說在區(qū)間(-1,1)上是一個奇函數(shù)也對．

最后，看是否等于一個常數(shù)．通過計算可知答案是常數(shù)，所以結論③正確．

3.

設函數(shù)y=f(x)具有二階導數(shù)，且f'(x)＜0，f"(x)＜0，Δx為自變量x在點x0處的增量，Δy與dy分別為f(x)在點x0處對應的增量與微分，若Δx＜0，則A.0＜dy＜Δy．B.0＜Δy＜dy．C.Δy＜dy＜0．D.dy＜Δy＜0．正確答案：B[解析]由于dy=f'(x0)的Δx，而題中說f'(x)＜0，故f'(x0)＜0．又由于Δx＜0，所以有dy＞0.

由于．而題中說f"(x)＜0，這說明對于定義域內的任意一個點來說，都有f"(x)＜0，所以f"(ξ)＜0．由于，f"(ξ)＜0，(Δx)2＞0，所以，從而Δy-dy＜0，即Δy＜dy.

又由于Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，題中說Δx＜0，說明x0+Δx＜x0，而f'(x)＜0，說明f(x)為減函數(shù)，所以Δy＞0.

綜上，有0＜Δy＜dy.

4.

下列函數(shù)中，在[-1，2]上不存在定積分的是

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]對于D，

取，則f(xn)=(-1)n+1nπ．當n→+∞時，f(xn)→∞，故f(x)在[-1，2]上無界，因此，f在[-1，2]上不可積．

5.

設函數(shù)f(x)在x=x0處存在三階導數(shù)，且f(x)'(x0)=0，f"(x0)=0，f'''(x0)=a＞0，則A.f(x0)是f(x)的極小值．B.f(x0)是f(x)的極大值．C.存在δ＞0，使得對任意的x∈(x0-δ，x0)，曲線y=f(x)是凹的；對任意的x∈(x0，x0+δ)，曲線y=f(x)是凸的．D.存在δ＞0，使得對任意的x∈(x0-δ，x0)，曲線y=f(x)是凸的；對任意的x∈(x0，x0+a)，曲線y=f(x)是凹的．正確答案：D[解析]本題需用到如下結論：

設f(x)在x=x0處n階可導(也就是說f(x0)，f'(x0)，f"(x0)，…，f(n)(x0)均存在)，且f'(x0)=0，f"(x0)=0，…，f(n-1)(x0)=0，f(n)(x0)≠0(n≥2).

情況①：若n為偶數(shù)且廠f(n)(x0)＜0，則x=x0為極大值點；

情況②：若n為偶數(shù)且f(n)(x0)＞0，則x=x0為極小值點；

情況③：若n為奇數(shù)，則x=x0不是極值點而是拐點．

由于題中說f'(x0)=0，f"(x0)=0，f'''(x0)=a＞0，故根據(jù)以上結論可得x=x0不是極值點而是拐點，所以函數(shù)值f(x0)既不是函數(shù)f(x)的極大值，也不是函數(shù)f(x)的極小值，所以選項A和選項B都是錯誤的，

由于題中說f'''(x0)=a，故說明函數(shù)f"(x)在x=x0處可導．根據(jù)可導的定義可知

將題中說的f'''(x0)=a代入式(1)，得

將題中說的f"(x0)=0代入式(2)，得

由式(3)可知

由于題中說a＞0，所以有

接下來用極限的局部保號性．

首先，對式(4)使用保號性，立刻可得：必存在一個x0的右去心鄰域，使得當x在此鄰域內取值時，有．既然x是在x0的右去心鄰域內取值，就是說x＞x0，所以x-x0＞0．由于，x-x0＞0，所以立刻有：f"(x)＞0．也就是說：必存在一個x0的右去心鄰域，使得當x在此鄰域內取值時，有f"(x)＞0．

對式(5)使用保號性也是同理．

6.

設函數(shù)f(u，v)滿足，已知，則

A．

B．

C．

D．0正確答案：B[解析]令u=x2，u-1-x，則．又由于

故

7.

設3階矩陣A的特征值為1，-1，2，E為3階單位矩陣，則下列矩陣中可逆的是A.E-A.B.E+A.C.2E-A.D.2E+A.正確答案：D[解析]由于矩陣A的三個特征值是1，-1，2，所以矩陣2E+A的三個特征值是3，1，4．由于矩陣2E+A的三個特征值是3，1，4，故矩陣2E+A所對應的行列式|2E+A|=3×1×4-12．由于|2E+A|≠0，所以矩陣2E+A可逆．

8.

設A為n階矩陣，A*為其伴隨矩陣，已知線性方程組Ax=0的基礎解系為解向量ξ1，則A*x=0的基礎解系A.不存在．B.僅含一個非零解向量．C.含有n-1個線性無關的解向量．D.含有n個線性無關的解向量．正確答案：C[解析]方陣A的秩與方陣A*的秩的關系如下：

本題中說“線性方程組Ax=0的基礎解系為解向量ξ1”，故r(A)=n-1，故r(A*)=1，故A*x=0的基礎解系含有n-1個線性無關的解向量．

二、填空題1.

由直線y=-2x+4與x=1及y=0所圍成的封閉圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積為______．正確答案：[解析]

2.

微分方程xy'+x2y"=y'2滿足初始條件y|x=0=2，y'|x=1=1的特解是______．正確答案：y=ln(1+x2)+2[解析]令y'=p(x)，則，于是，即

令，則p=ux，，于是

分離變量得

兩端積分

得

從而

即

由y'|x=1-1得C2=-1，故．于是

又由y|x=0=2得C3=2，故所求特解為y=ln(1+x2)+2.

3.

已知則正確答案：[解析]等式兩邊同時對y求導，有

解得

4.

正確答案：[解析]

5.

設函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內有定義，且對于任意的x，y，f(x)滿足關系式

f(x+y)-f(x)=[f(x)-1]y+a(y)，

其中a(y)滿足，則f'(x)與f(x)的關系式為______．正確答案：f'(x)=f(x)-1[解析]由于a(y)=f(x+y)-f(x)-[f(x)-1]y，故

令y=Δx，則，故f'(x)=f(x)-1.

6.

設n階矩陣A為反對稱矩陣，則對于任意非零n維列向量x，xTAx=______．正確答案：0[解析]xTAx是一個數(shù)，而一個數(shù)的轉置就是它本身．所以有

xTAx=(xTAx)T．(1)

而

(xTAx)T=xT(xTA)T=xTATx.

(2)

由A為反對稱矩陣可知AT=-A，所以有

xTATx=-xTAx．(3)

由式(2)、式(3)得

(xTAx)T=-xTAx．(4)

由式(1)、式(4)得

xTAx=-xTAx.

(5)

由于xTAx為一個數(shù)，不妨設此數(shù)為a．根據(jù)式(5)有a=0．

三、解答題共94分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

求微分方程y"+y=cosax的通解，其中常數(shù)a＞0.正確答案：[解]對于原方程對應的齊次線性方程y"+y=0，解特征方程r2+1=0，得r1，2=±i，故它的通解為Y=C1cosx+C2sinx．

當a=1時，設原方程的一個特解為y*=x(Mcosx+Nsinx)．

把y*和y*"代入原方程得

2Ncosx-2Msinx=cosx.

列方程組解得故

當a≠1時，設原方程的一個特解為y*=Mcosax+Nsinax

把y*和y*"代入原方程得

(1-a2)(Mcosax+Nsinax)=cosax．

列方程組解得

所以，原方程的通解為

2.

已知函數(shù)在x=0處連續(xù)，求a，b的值．正確答案：[解]

由拉格朗日中值定理得

sin(tanx)-sin(sinx)=cosξ(tanx-sinx)(ξ介于tanx與sinx之間)．

當x→0-時，sinx→0-，tanx→0-，則ξ→0-，故

由f(0-)=f(0+)=f(0)得解得

3.

計算二重積分，其中D是曲線y2=x，y2=2x在第一象限所圍成的無界區(qū)域．正確答案：[解]積分區(qū)域D如下圖所示．

4.

證明：正確答案：[證法一]設輔助函數(shù)F(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx．

當x＞0時，F(xiàn)"(x)＞0，故F'(x)在(0，+∞)內單調遞增．

于是F'(x)>F'(0)=0，故F(x)在(0，+∞)內單調遞增，

因此F(x)＞F(0)=0，即

(1+x)ln(1+x)＞arctanx.

又由于當x＞0時，arctanx＞0，故

[證法二]設輔助函數(shù)f(x)=(1+x)ln(1+x)，g(x)=arctanx．

由于函數(shù)f(x)、g(x)在[0，x]上連續(xù)，在(0，x)內可導，根據(jù)柯西中值定理，有

其中ξ∈(0，x)．

將

由于(1+ξ2)＞1，[1+ln(1+ξ)]＞1，所以有(1+ξ2)[1+ln(1+ξ)＞1，從而

5.

設，其中常數(shù)a＞0，求極限正確答案：[解]

根據(jù)夾逼準則，

6.

求函數(shù)z=f(x，y)=x2+y2-2x-4y在區(qū)域D={(x，y)|x2+y2≤20，y≥0}上的最大值和最小值．正確答案：[解]解方程組得D內部的駐點(1，2)，且有f(1，2)=-5．

在D的邊界上，把y=0代入f(x，y)，得

z=x2-2x=(x-1)2-1易知，該函數(shù)在內有最小值-1，無最大值．

在D的邊界上，把代入f(x，y)，得

令，得x1=2，x2=-2．

由于，該函數(shù)在上有最大值及最小值0，從而f(x，y)在D的邊界上有最大值及最小值-1．

綜上所述，f(x，y)在D上的最大值為，最小值為

7.

證明羅爾定理：若函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0；正確答案：[證]由最值定理可知，f(x)在[a，b]上有最大值M和最小值m.

若M=m，則f(x)=M=m，故對于任意x∈(a，b)，有f'(x)=0．

若M≠m，則M和m中至少有一個在(a，b)內的點ξ處取到．根據(jù)費馬引理，f'(ξ)=0．

8.

設函數(shù)f(x)在(a，b)內二階可導，f(a)=f(b)=0，g(x)在[a，b]上連續(xù)，且在[a，b]上滿足

f"(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0．

證明：對于[a，b]上的任意x，有f(x)=0．正確答案：[證]采用反證法，

假設在區(qū)間[a，b]上，f(x)不恒為0，則由f(a)-f(b)=0可知．f(x)在[a，b]上存在正的最大值或負的最小值，

若f(x)在[a，b]上存在正的最大值，則設f(x)在x=x0處取得最大值f(x0)，即有

f(x0)＞0，f'(x0)=0，f"(x0)≤0．

把x=x0代入f"(x)+g(x)f'(x)-f(x)，得

f"(x0)+g(x0)f'(x0)-f(x0)=f"(x0)-f(x0)＜0,與已知矛盾，故原假設不成立．

同理，若f(x)在[a，b]上存在負的最小值，原假設亦不成立，

綜上所述，對于[a，b]上的任意x，有f(x)=0．

9.

求向量組α1=(1，2，1，3)T，α2=(1，1，-1，1)T，α3=(1，3，3，5)T，α4=(4，5，-2，7)T，α5=(-3，-5，-1，-7)T的秩和一個極大無關組，并將其余的向量用該極大無關組線性表出．正確答案：[解]

所以矩陣A的秩為3，從而向量組α1，α2，α3，α4，α5的秩為3．

所以