小波分析課程作業(yè)

小波分析課程作業(yè)小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實際需要經(jīng)驗的建立了反演公式，當(dāng)時未能得到數(shù)學(xué)家的認可。正如1807年法國的熱學(xué)工程師J.B.J.Fourier提出任一函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)的創(chuàng)新概念未能得到著名數(shù)學(xué)家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的認可一樣。幸運的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的發(fā)現(xiàn)、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準備，而且J.O.Stromberg還構(gòu)造了歷史上非常類似于現(xiàn)在的小波基；1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的同樣方法及其多尺度分析之后，小波分析才開始蓬勃發(fā)展起來，其中比利時女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies撰寫的《小波十講（TenLecturesonWavelets）》對小波的普及起了重要的推動作用。它與Fourier變換、窗口Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個時間和頻率的局域變換，因而能有效的從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數(shù)或信號進行多尺度細化分析（MultiscaleAnalysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，從而小波變化被譽為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進展。

小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起地。現(xiàn)在，它已經(jīng)在科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個領(lǐng)域，它的重要方面是圖象和信號處理?，F(xiàn)今，信號處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號處理的目的就是：準確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲、精確地重構(gòu)（或恢復(fù)）。從數(shù)學(xué)地角度來看，信號與圖象處理可以統(tǒng)一看作是信號處理（圖象可以看作是二維信號），在小波分析地許多分析的許多應(yīng)用中，都可以歸結(jié)為信號處理問題?，F(xiàn)在，對于其性質(zhì)隨實踐是穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號是非穩(wěn)定的，而特別適用于非穩(wěn)定信號的工具就是小波分析。

事實上小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計算機分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類、識別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時間，提高分辨率等。設(shè)計一個包含若干不連續(xù)點的一維信號，利用小波變換的模極大提取它的階梯型邊界點。算法算法1是先計算模極大曲線的Lipschitz指數(shù)，Lipschitz指數(shù)絕對值小于a則判定為階梯型邊界，a為接近0的常數(shù)。算法2，計算，小于r且大于1/r則判定為階梯型邊界，r為大于1但很接近1的常數(shù)。代碼實現(xiàn)我采用Matlab函數(shù)編程實現(xiàn)。具體程序見Q8_1.m，GetSignal.m，ImageWT.m，MM_WT.m，SkelMap.m。各個函數(shù)的主要說明如下：1）Q8_1.m：function[result1,result2]=Q8_1()函數(shù)功能：檢測信號的階梯型邊界點。首先設(shè)計信號，計算信號在多個尺度下的小波變換wt，計算模極大點并連接模極大曲線，然后根據(jù)判定階梯型邊界的兩種算法檢測信號的階梯型邊界點。同時在函數(shù)中畫出小波變換圖和模極大曲線圖。輸出參數(shù)： result1：算法1的輸出結(jié)果即階梯型邊界點列表。result2：算法2的輸出結(jié)果即階梯型邊界點列表。2）GetSignal.m：functionsig=GetSignal()函數(shù)功能：引用wavelab中的數(shù)據(jù),即AWaveletTourofSignalProcessing(2ndedition)中fig6.6的信號。 主函數(shù)在調(diào)用此函數(shù)構(gòu)造信號時，做了簡單修改，增加了兩個階梯型邊界點。輸出參數(shù)：sig：所構(gòu)造的信號 3）ImageWT.m：functionImageWT(wt,n,s_scale,l_scale)函數(shù)功能：畫出信號的小波變換結(jié)果 輸入?yún)?shù)： wt：小波變換矩陣n：信號長度s_scale：小波變換的尺度下界l_scale：小波變換的尺度上界 4）MM_WT.m：functionmaxmap=MM_WT(wt,par) 函數(shù)功能：計算模極大點，小波變換值為局部極大標記為1，小波變換值為局部極小則標記為-1。 輸入?yún)?shù)： wt：小波變換矩陣 par：計算自適應(yīng)閾值所用參數(shù)，小于最大值的1/par的極大點將被丟棄。 輸出參數(shù)： maxmap：極大點矩陣 5）SkelMap.m：function[skellist,skelptr,skellen]=SkelMap(maxmap) 函數(shù)功能：連接模極大曲線 輸入?yún)?shù)： maxmap：極大點矩陣 輸出參數(shù)： skellist：模極大曲線列表，依次記錄每條曲線，第一行記錄尺度，第二行記錄位置。skelptr：模極大曲線起始點列表，依次記錄每條曲線的起始點在skellist中的位置。skellen：模極大曲線長度列表，依次記錄每條曲線的長度。實驗結(jié)果信號圖和小波變換圖如圖1所示，共有3個階梯型邊界點，分別在位置162、200、250。圖1信號圖和小波變換圖模極大曲線圖如圖2所示，可見位置162、200、250分別有兩條模極大曲線逼近。對所有曲線求Lipschitz指數(shù)，結(jié)果如表1位置526577161163199201Lipschitz指數(shù)1.26321.04681.26280.00682050.144820.0895370.010061位置250252305315415418420Lipschitz指數(shù)0.0102110.00706110.878770.878160.712430.389490.71159表1模極大曲線的Lipschitz指數(shù)采用算法1，取閾值a=0.1，即可找出階梯型邊界點161，199，201，250，252(其中199、201，250、252表示的是同一邊界點)。 采用算法2，我對P206的算法做了簡化，以變換值的均值為比值的分母，這一條件比算法二更寬松。取閾值r=1.4時，可得結(jié)果161