2020-2021學年浙江省杭州市學軍中學紫金港學區(qū)高一下學期期中數(shù)學試題解析版

2020-2021學年浙江省杭州市學軍中學（紫金港學區(qū)）高一下學期期中數(shù)學試題一、單選題1．已知角的終邊過點，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義可求得的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得.故選：B.2．已知直線m，n，平面α，β，若α//β，m?α，n?β，則直線m與n的關系是（）A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面【答案】D【分析】根據(jù)兩平面平行的性質即可得出答案.【詳解】若α//β，則內(nèi)的直線與內(nèi)的直線沒有交點，所以當m?α，n?β，則直線m與n的關系是平行或異面.故選：D3．已知向量均為單位向量，它們的夾角為，則（）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)因為向量均為單位向量，它們的夾角為，由平方，利用數(shù)量積的運算求解.【詳解】因為向量均為單位向量，它們的夾角為，所以，，所以，故選：C4．若復數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】設根據(jù)復數(shù)滿足，得到，再利用復數(shù)相等求解.【詳解】設，.因為復數(shù)滿足，所以，所以，所以.故選：A【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算及幾何意義，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.5．在中，若，則一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】先用余弦定理邊化角得，再用正弦定理邊化角的，再根據(jù)二倍角的正弦公式得，進而可得答案.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，因為，為三角形的內(nèi)角，所以或，所以或，所以一定是等腰三角形或直角三角形.故選：D6．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】確定函數(shù)圖象關于直線對稱，排除AC，再結合特殊的函數(shù)值的正負或函數(shù)零點個數(shù)排除B，得出正確結論．【詳解】函數(shù)定義域是，由于的圖象關于直線對稱，的圖象也關于直線對稱，因此的圖象關于直線對稱，排除AC，有無數(shù)個零點，因此也有無數(shù)個零點，且當時，，排除B．故選：D．【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.7．《九章算術》中《方田》章有弧田面積計算問題，計算術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圓弧（簡稱為弧田的?。┖鸵詧A弧的端點為端點的線段（簡稱（弧田的弦）圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田的弦長，“矢”等于弧田的弧所在圓的半徑與圓心到弧田的弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田，其弦長等于，其弧所在圓為圓，若用上述弧田面積計算公式計算得該弧田的面積為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，設，設該圓的半徑為，由題意得，，代入數(shù)據(jù)即可求出，從而可求出答案．【詳解】解：由題意，作出示意圖得點為弦的中點，則，設，設該圓的半徑為，∴，∵，∴，由題意，“弦”指，“矢”指，∵該弧田的面積為，∴，即，解得，或（舍去），∴，解得，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，考查垂徑定理，屬于中檔題．8．如圖，在正方形中，為的中點，是以為直徑的半圓弧上任意一點，設，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，設，利用坐標法將用點坐標表示，即可求出的最小值.【詳解】以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設，，則，，，半圓的方程為，所以，，，因為，即，所以，即，所以，又是半圓上的任意一點，所以，，，所以，所以當時，取得最小值.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查二元變量的最值求法，關鍵是根據(jù)已知把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，把有關點與向量用坐標表示，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.二、多選題9．（多選題）如圖，在下列四個正方體中，為正方體的兩個頂點，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用線面平行的判定定理逐一分析選項可得答案.【詳解】解：對于A，如圖，O為底面對角線的交點，可得AB∥OQ，又OQ∩平面MNQ＝Q，所以直線AB與平面MNQ不平行；對于B，由于AB∥MQ，結合線面平行的判定定理可知AB與平面MNQ平行；對于C，由于AB∥MQ，結合線面平行的判定定理可知AB與平面MNQ平行；對于D，由于AB∥NQ，結合線面平行的判定定理可知AB與平面MNQ平行．故選：BCD．10．如圖所示，在凸四邊形ABCD中，對邊BC，AD的延長線交于點E，對邊AB，DC的延長線交于點F，若，則（）A． B．C．的最大值為1 D．【答案】ABD【分析】選項A.由，可得可判斷；選項B.過作交于點，所以,結合條件可判斷；選項C.由B結合均值不等式可判斷；選項D.由結合均值不等式可判斷.【詳解】選項A.由，可得所以，故A正確.選項B.過作交于點所以,由這兩式可得由，則，，所以，即，故B正確.選項C.由B可得當且僅當,即時取得等號,故C不正確.選項D.由得,由，當且僅當,即時取得等號所以，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點睛：本題考查向量的線性運算共線等的應用，考查利用均值不等式求最值，解答本題的關鍵是過作交于點，得到，，屬于中檔題.三、填空題11．關于x的方程有實數(shù)解，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)復數(shù)相等概念列方程組，解得結果.【詳解】因為方程有實數(shù)解，所以x可以看成實數(shù)，方程可整理成，根據(jù)復數(shù)相等的條件得，解得．故答案為：2【點睛】本題考查復數(shù)相等、復系數(shù)方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.12．中國古代計時器的發(fā)明時間不晚于戰(zhàn)國時代（公元前年~前年），其中沙漏就是古代利用機械原理設計的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道流到下部容器，如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐容器組成，圓錐的底面圓的直徑和高均為，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的（細管長度忽略不計）.若細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此圓錐形沙堆的高為___________.【答案】【分析】設沙堆的高為，根據(jù)細沙的體積相等可得出，可得出，即可得解.【詳解】設圓錐形容器的底面圓半徑為，高為，則圓錐形容器的體積為，當細沙在上部時，細沙形成一個圓錐，該圓錐的底面圓半徑為，高為，細沙的體積為，當細沙在下部時，細沙形成一個圓錐，該圓錐的底面半徑為，設此時沙堆的高為，則，可得.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查圓錐體積的高為求解，解題的關鍵在于利用細沙的體積相等建立等式得出與的等量關系，同時也應分析出當細沙在上部時，細沙的體積與圓錐形容器的體積比，進而結合圓錐的體積公式來求解.13．在中，，則周長的最小值為________．【答案】【分析】先利用余弦定理可得把代入可得寫出周長，利用基本不等式可求周長的最小值.【詳解】由余弦定理可得因為，即；所以整理可得即記周長為，則設則當且僅當，即時，取到最小值.且最小值為.故答案為：.14．已知平面內(nèi)非零向量，，，滿足，，，若，則的取值范圍是______.【答案】【分析】建立平面直角坐標系，設，由所給等式求出點A、B的坐標，設，由可知點C在以為圓心，1為半徑的圓上，問題轉化為圓上的點到定點的距離的范圍.【詳解】，，，，又，的夾角為，建立如圖所示直角坐標系，設，則，，設，，，則點C在以為圓心，1為半徑的圓上，的取值范圍轉化為圓上的點到定點的距離的范圍，圓心到點的距離為，的取值范圍為.故答案為：四、雙空題15．三個平面最多能把空間分為_____部分，最少能把空間分成_____部分.【答案】84【分析】可畫出圖形說明：三個平面都平行或者兩個平行一個與它們相交或者三個平行過同一條直線或者兩兩相交有三條交線這三條交線平行，或交于同一點．【詳解】①三個平面互相平行時，可把空間分成4部分.如圖（3）.②三個平面中恰有兩個平面平行時，可把空間分成6部分.如圖（4）.③三個平面兩兩相交于一條直線時，可把空間分成6部分.如圖（5）.④三個平面兩兩相交于三條直線且三條直線互相平行，可把空間分成7部分.如圖（6）.⑤三個平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點，可把空間分成8部分.如圖（7）.綜上可知，三個平面可把空間分成4或6或7或8部分.【點睛】本題考查平面分空間問題，解題時通過畫出平面增加立體感．16．為得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向____平移______個單位即可．【答案】右【分析】先將化為，然后對照可得結果.【詳解】因為，所以，要得到的圖象，只需將的圖象向右平移個單位即可.故答案為：①右；②.17．已知．若，則實數(shù)________；若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是_______．【答案】；【分析】（1）利用可求解；（2）若與的夾角為銳角，則，且與不共線可解.【詳解】解：，，，解得.與的夾角為銳角，，且與不共線，，解得且，的取值范圍是.故答案為：；.【點睛】結論點睛：（1）與的夾角為銳角，且與不共線.（2）與的夾角為鈍角，且與不共線.五、解答題18．已知．（1）求函數(shù)的最小正周期及單凋遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間的值域．【答案】（1）最小正周期是，單凋遞減區(qū)間是；（2）.【分析】先利用二倍角公式和輔助角法，將函數(shù)轉化為，再利用正弦函數(shù)的性質求解.【詳解】，，，．（1）函數(shù)的最小正周期，令，解得，所以函數(shù)的單凋遞減區(qū)間是；（2）因為，所以，則，所以，所以函數(shù)的值域是．【點睛】方法點睛：1．討論三角函數(shù)性質，應先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為.3．對于函數(shù)的性質(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令t＝ωx＋φ，將其轉化為研究y＝sint的性質．19．如圖，已知在長方體中，，，點是的中點．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接，利用中位線的性質得出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；（2）計算出，利用錐體的體積公式可求得結果.【詳解】（1）因為四邊形為矩形，且，則為的中點，又因為為的中點，則，平面，平面，因此，平面；（2）因為，，且為的中點，所以，，在長方體中，平面，因此，.【點睛】方法點睛：常見的線面平行的證明方法有：（1）通過面面平行得到線面平行；（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質.20．在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離為海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距離為海里的處有一艘緝私艇奉命以海里/時的速度追截走私船，此時，走私船正以海里/時的速度從處向北偏東方向逃竄.（1）問船與船相距多少海里？船在船的什么方向？（2）問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時間.【答案】（1），船在船的正西方向；（2）緝私艇沿東偏北方向行駛小時才能最快追上走私船．【分析】（1）在中根據(jù)余弦定理計算，再利用正弦定理計算即可得出方位；（2）在中，利用正弦定理計算，再計算得出追擊時間．【詳解】解：（1）由題意可知，，，在中，由余弦定理得：，，由正弦定理得：，即，解得：，，船在船的正西方向．（2）由（1）知，，設小時后緝私艇在處追上走私船，則，，在中，由正弦定理得：，解得：，，是等腰三角形，，即．緝私艇沿東偏北