第3章-計算機控制系統(tǒng)數(shù)學描述

第3章計算機控制系統(tǒng)數(shù)學描述3.1時域描述——差分方程3.2z域描述——脈沖傳遞函數(shù)3.3計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析3.1時域描述——差分方程3.1.1什么是差分均勻采樣條件下，采樣信號可表示為離散序列，或進一步簡化為。一階前向差分（3-1）二階前向差分（3-2）類似地，n階前向差分（3-3）3.1.1什么是差分在求的前向差分時，要用到，等超前序列的值，這在實時控制系統(tǒng)中難以得知，所以控制系統(tǒng)中常使用后向差分。一階后向差分（3-4）二階后向差分（3-5）類似地，n階后向差分（3-6）3.1.2差分方程(a)連續(xù)系統(tǒng)(b)采樣離散系統(tǒng)圖3-1離散系統(tǒng)的差分表示微分方程是描述連續(xù)系統(tǒng)的方程，差分方程是描述離散系統(tǒng)的方程，且在計算機中更容易計算。如圖3-1(a)所示的連續(xù)系統(tǒng)，可用如下微分方程描述：

(3-7)3.1.2差分方程圖3-1(b)所示為輸入與輸出信號均被采樣的采樣離散系統(tǒng)，不能再用微分方程來描述輸入輸出信號之間的關系，而應該用相應離散信號的差分關系。式（3-7）中，二階微分用二階差分代替：一階微分用一階差分代替：將上述兩式代入式（3-7），并用與分別代替，，得（3-8）3.1.2差分方程對于一般的單輸入單輸出離散系統(tǒng)，其輸出與輸入關系則可以用下述差分方程描述：

(3-9)式中，n為差分方程的階次，

m是輸入信號的階次，通常有。，是由系統(tǒng)物理參數(shù)確定的常數(shù)，故式（3-9）為n階線性常系數(shù)差分方程。如采用后向差分方程，則離散系統(tǒng)刻描述為：

(3-10)3.1.3差分方程的求解1.迭代求解所謂迭代法，是根據(jù)差分方程的初始條件或邊界條件，逐步遞推計算后面各時刻的輸出，由此得出的解為非閉合解。與求解微分方程類似，差分方程的經(jīng)典法求解，需求出齊次方程的通解和非齊次方程的特解，非常不便。利用計算機通過遞推迭代求解有限項的數(shù)值解很容易，在控制系統(tǒng)中，最常用迭代法求解。3.1.3差分方程的求解

例3.1已知差分方程（3-11）令其輸入零初始條件下（即當），試求。解：對式（3-11）進行整理，得（3-12）由給定的輸入及初始條件，則，，，依次類推，不斷迭代下去可以求得k為任意值時的輸出。3.1.3差分方程的求解該題可以用下述MATLAB程序求解：n=10;%定義采樣點數(shù)c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0;%定義輸入輸出和采樣點數(shù)的初始值fori=2:nc(i)=0.5*r(i)+0.8*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,’:o’)%繪制輸出響應圖，每一點用“°”表示2.Z變換求解用z變換法解線性定常差分方程，是利用z變換將線性定常差分方程變換成以z為變量的代數(shù)方程，求此代數(shù)方程的解，在進行z反變換，即為差分方程的解。3.2Z域描述——脈沖傳遞傳遞函數(shù)在離散系統(tǒng)中，將使用拉氏變換的特例——z變換，得到描述離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，它是研究離散系統(tǒng)的重要數(shù)學工具。3.2.1Z變換定義及表達式1.Z變換定義連續(xù)信號經(jīng)采樣后，得到采樣信號：其拉氏變換為

（3-13）3.2.1Z變換定義及表達式現(xiàn)引入一個新復變量或代入式（3-13），得（3-14）為的Z變換，或記為。3.2.1Z變換定義及表達式注意：（1）只有采樣后的時間離散函數(shù)才能定義z變換；（2）z變換實際是一個無窮級數(shù)形式，它必須是收斂的，即極限存在時，的z變換才存在。（3）在式（3-14）的任意項中，決定幅值，決定時間，即z變換和離散序列之間有非常明確的幅值和時間的對應關系。（4）

z變換由采樣函數(shù)決定，不能反映非采樣時刻的信息。對于兩個不同的連續(xù)函數(shù)和，如果有=，則對應的z變換有=。因此，z變換對應唯一的采樣函數(shù)，但并不對應唯一的連續(xù)函數(shù)。3.2.1Z變換定義及表達式2.Z變換的基本定理（1）線性定理若和的z變換分別為和，和為常數(shù)，則（3-15）（2）滯后（右移）定理設對于時有，，則滯后k個采樣周期的函數(shù)的z變換為（3-16）（3）超前（左移）定理，則超前k個采樣周期的函數(shù)的z變換為

（3-17）3.2.1Z變換定義及表達式（4）初值定理，且存在，則（3-18）（5）終值定理設對于時有，且為收斂序列，即存在有界終值，則（3-19）3.2.2Z反變換所謂z反變換，是已知z變換表達式，求相應離散時間序列或采樣信號的過程。的z反變換記為（3-20）表示z反變換符號。如前所述，z變換只是建立了或與之間的一一對應關系，則通過z反變換得到的也只是在采樣時刻的值。常用的z反變換有如下三種：部分分式法、冪級數(shù)展開法（長除法）和留數(shù)計算法。3.2.2Z反變換1.部分分式法部分分式法又稱查表法。連續(xù)時間信號大部分是由基本信號組合而成，可以將分解為對應基本信號的部分分式，進而通過查z變換表得到基本信號的z反變換。z反變換的部分分式法可分為特征方程無重根和有重根兩種情況，下面僅僅介紹無重根的計算。3.2.2Z反變換設已知的z變換函數(shù)無重極點，先求出的極點，再將展開成如下形式（3-21）式中，、分別為在及處的留數(shù)，即，由上式求得的、代入式（3-21），得的部分分式形式（3-22）3.2.2Z反變換逐項查z變換表，得

（3-23）最后寫出已知對應的采樣函數(shù)

（3-24）3.2.2Z反變換

例3.2求的反變換解：由于所以有查表得從而有3.2.2Z反變換2.冪級數(shù)展開法冪級數(shù)展開法也稱長除法，以下兩種情況多用此法進行z反變換。（1）z變換比較復雜，不能寫成簡單形式；（2）z反變換需要以數(shù)值序列表示。由z變換的定義（3-25）因此只要將要進行z反變換的展開成冪級數(shù)形式，并按的升冪排列，即可獲得對應的時間序列。3.2.2Z反變換例3.3已知，求，解：1）首先將分子分母展開并同時除以，寫成包含多項式之比，得2）用分子除以分母，把展開成冪級數(shù)形式3.2.2Z反變換把上式和z變換定義式比較，可得3.2.2Z反變換在求反變換時，采樣周期T未知，因而反變換求出的是序列，而不是或序列。若給定對應的采樣周期T，則對應的采樣信號為3.2.2Z反變換3.留數(shù)計算法設已知z變換函數(shù)，對于其z反變換值，可由下式計算（3-29）式中，是積分的閉合回線，包圍了的所有極點。設共有等m個極點，根據(jù)柯西留數(shù)定理，上式也可寫為（3-30）即等于的全部極點的留數(shù)之和。例3.4設z變換函數(shù)試用留數(shù)法解其z反變換。解：該函數(shù)有兩個極點：1和2，分別求出對這兩個極點的留數(shù)。則3.2.3脈沖傳遞函數(shù)1.什么是脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)定義為：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量z變換與輸入量z變換之比。（3-31）其關系如圖3.3（a）所示。對于采樣系統(tǒng)，輸入為采樣信號，輸出為連續(xù)信號。為了用脈沖傳遞函數(shù)表示，在輸出端虛設一個與輸入開關同步動作的采樣開關，如圖3.3（b）中虛線所示，從而使其變成離散系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)仍如式（3.31）。（a）（b）圖3-3脈沖傳遞函數(shù)

3.2.3脈沖傳遞函數(shù)若已知系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，系統(tǒng)輸出量的z變換可表示為（3-32）通過z反變換，即可求得輸出的采樣信號：（3-33）通常已知，因此要求輸出采樣信號，關鍵要先求取系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。3.2.3脈沖傳遞函數(shù)2.脈沖傳遞函數(shù)的求?。?）由系統(tǒng)的脈沖響應求取脈沖傳遞函數(shù)可視為離散系統(tǒng)的單位脈沖響應的z變換，因，故（3-34）（2）根據(jù)連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求取對于采樣系統(tǒng)，連續(xù)傳遞函數(shù)已知，（1）用拉氏反變換求取脈沖響應函數(shù)：。（2）按周期T對采樣，其離散系統(tǒng)脈沖響應為（3-35）

3.2.3脈沖傳遞函數(shù)（3）根據(jù)式（3.34）得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為不能簡單地令代入而得到。因為是連續(xù)函數(shù)的拉氏變換，而是采樣信號的z變換，它除了與連續(xù)環(huán)節(jié)有關外，還包括采樣開關的作用。因此應理解為（3-36）上式常表示為（3-37）3.2.3脈沖傳遞函數(shù)3.差分方程與脈沖傳遞函數(shù)關系對于同一離散系統(tǒng)，既可用差分方程描述，又可用脈沖傳遞函數(shù)描述，因此兩者之間可相互轉(zhuǎn)換。（1）由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)差分方程為

(3-38)或（3-39）3.2.3脈沖傳遞函數(shù)零初始條件下，對式（3-39）進行z變換，得則系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

（3-40）式中，為該系統(tǒng)的特征多項式。3.2.3脈沖傳遞函數(shù)（2）由脈沖傳遞函數(shù)求差分方程設已知系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)如式（3-40），可得對上式進行反變換，得到對應的差分方程3.2.3脈沖傳遞函數(shù)4.脈沖傳遞函數(shù)的極點與零點（1）極點由z變換的定義，可知的極點與的極點依一一映射得到。因此，結(jié)合的物理意義，的極點位置除了與的極點有關外，還與采樣周期密切相關。若采樣周期T足夠小，不管的極點分布如何，都密集地映射在附近。（2）零點與極點相互映射不同，與不存在零點相互映射的公式。研究表明，的零點是采樣周期的復雜函數(shù)。3.3計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性是保證控制系統(tǒng)正常工作的首要條件。對于連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定是指該系統(tǒng)在受到外部擾動作用而偏離其平衡狀態(tài)，擾動消失后，系統(tǒng)能夠回到原平衡狀態(tài)。反之，如果系統(tǒng)不能回到原平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身固有特性，與系統(tǒng)外部輸入信號的有無、強弱無關。分析連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性時，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)特征方程的所有特征根（或極點）都分布在s平面的左半平面，即系統(tǒng)所有特征根具有負實部。s平面的左半平面是系統(tǒng)特征根分布的穩(wěn)定域，s平面虛軸是穩(wěn)定邊界。若有特征根位于虛軸上，則系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定，工程上也視為不穩(wěn)定。3.3.1s平面與z平面的映射關系z與s具有指數(shù)關系式中，T是采樣周期。令，代入上式，則（3-41）則s域映射到z域的基本關系式為，（3-42）圖3-4s平面與z平面之間的關系，3.3.1s平面與z平面的映射關系實際的計算機控制系統(tǒng)中，采樣頻率與被采信號的最高頻率滿足：，根據(jù)采樣定理（），系統(tǒng)實際工作頻率在主頻區(qū)（），又由，因此s平面主頻區(qū)對應的范圍為。除主頻區(qū)外，每變化一個，s平面上的點沿虛軸移動一個的距離，相應地，映射在z平面的點將逆時針重復畫一個單位圓，出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象。因此，在討論s平面和z平面之間的映射關系時，主要討論s平面主頻區(qū)與z平面之間的關系即可。圖3-4中s平面把主頻區(qū)分為①~⑤段，分別對應z平面的①~⑤段。s平面與z平面映射關系如表3-2。z平面②~③、④~⑤段實際就在負實軸（）上。表3-2s平面與z平面映射關系區(qū)域區(qū)域虛軸①~②段①~②段（上半圓）②~③段②~③段③~④段③點、④點④~⑤段④~⑤段虛軸⑤~①段⑤~①段（下半圓）s右半平面單位圓外3.3.1s平面與z平面的映射關系根據(jù)圖3-4和表3-2可知：s平面左半面映射到z平面單位圓內(nèi)部；s平面右半平面映射到z平面單位圓外部；s平面虛軸映射到z平面單位圓上。因此，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件為：（1）如果離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)特征根都位于z平面單位圓內(nèi)部，則系統(tǒng)穩(wěn)定；（2）如果有特征根在單位圓上，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；（3）如果有特征根在單位圓外部，則系統(tǒng)不穩(wěn)定3.3.1s平面與z平面的映射關系圖中陰影部分即為兩平面的穩(wěn)定區(qū)域。

圖3.5s平面與z平面的穩(wěn)定區(qū)域3.3.2計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性圖3.6離散控制系統(tǒng)

圖3-6為某離散控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，脈沖傳遞函數(shù)為：（3-43）現(xiàn)設m<n，并將上式分母寫成因式相乘的形式（3-44）3.3.2計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

為閉環(huán)極點，設輸入單位脈沖函數(shù)（代表瞬時擾動），即，則

(3-45)假設n個極點相異，將式(3-45)分解部分分式

(3-46)對其進行反變換，得系統(tǒng)脈沖響應為

(3-47)3.3.2計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性若使系統(tǒng)穩(wěn)定，則在時，上述衰減至零，則有

(3-48)式(3-48)中每個分量在時，均衰減至零，則有

(3-49)由于，要使上式成立，則有所有極點（），即所有極點都在z平面單位圓內(nèi)。上述結(jié)論在，以及有重根時均成立。下面討論脈沖傳遞函數(shù)極點位于不同區(qū)域，其對應的脈沖響應序列特性。3.3.2計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.若為實數(shù)圖3-7離散系統(tǒng)實數(shù)極點的脈沖響應3.3.2計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性如圖3-7，對應于圖中的①-⑥所示極點，有以下特點。①，對應脈沖響應分量是發(fā)散序列。如圖3-7中①點；②，對應脈沖響應分量是等幅序列，如圖3-7中②點；③時，對應脈沖響應分量是單調(diào)衰減序列，如圖3-7中③點；④，對應脈沖響應分量是正負交替的衰減序列，如圖3-7中④點；⑤時，對應脈沖響應分量是正負交替的等幅序列，如圖3-7中⑤點；⑥時，對應脈沖響應分量是正負交替的發(fā)散序列，如圖3-7中⑥點。3.3.2計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性2.極點中含有共軛復數(shù)對令共軛極點對為