高中數(shù)學(xué) 1.2 第3課時導(dǎo)數(shù)的四則運算法則同步測試 新人教B版選修2-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.2第3課時導(dǎo)數(shù)的四則運算法則同步測試新人教B版選修2-2一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝a4＋5a2x2－x6A．4a3＋10ax2－x6 B．4a3＋10a2xC．10a2x－6x5 D．[答案]C[解析]f′(x)＝(a4)′＋(5a2x2)′－(x6)′＝－6x5＋10a22．函數(shù)y＝2sinxcosx的導(dǎo)數(shù)為()A．y′＝cosx B．y′＝2cos2xC．y′＝2(sin2x－cos2x) D．y′＝－sin2x[答案]B[解析]y′＝(2sinxcosx)′＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.3．下列求導(dǎo)運算正確的是()A．(x＋eq\f(1,x))′＝1＋eq\f(1,x2) B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3x D．(x2cosx)′＝－2xsinx[答案]B[解析]根據(jù)對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則可知B正確．4．(·貴州湄潭中學(xué)高二期中)曲線f(x)＝xlnx在x＝1處的切線方程為()A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝x－1 D．y＝x＋1[答案]C[解析]∵f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在x＝1處曲線f(x)的切線方程為y＝x－1.5．函數(shù)y＝(x－a)(x－b)的導(dǎo)數(shù)是()A．a(chǎn)b B．－a(x－b)C．－b(x－a) D．2x－a－b[答案]D[解析]解法1：y′＝(x－a)′(x－b)＋(x－a)(x－b)′＝x－b＋x－a＝2x－a－b.解法2：∵y＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab∴y′＝(x2)′－[(a＋b)x]′＋(ab)′＝2x－a－b，故選D.6．函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋a2,x)(a>0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0，則x0是()A．a(chǎn)B．±aC．－aD．a(chǎn)2[答案]B[解析]解法1：f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋a2,x)))′＝eq\f(2x·x－x2＋a2,x2)＝eq\f(x2－a2,x2)，∴f′(x0)＝eq\f(x\o\al(2,0)－a2,x\o\al(2,0))＝0，得：x0＝±a.解法2：∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋a2,x)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a2,x)))′＝1－eq\f(a2,x2)，∴f′(x0)＝1－eq\f(a2,x\o\al(2,0))＝0，即xeq\o\al(2,0)＝a2，∴x0＝±a.故選B.7．下列函數(shù)在x＝0處沒有切線的是()A．y＝3x2＋cosx B．y＝xsinxC．y＝eq\f(1,x)＋2x D．y＝eq\f(1,cosx)[答案]C[解析]∵函數(shù)y＝eq\f(1,x)＋2x在x＝0處不可導(dǎo)，∴函數(shù)y＝eq\f(1,x)＋2x在x＝0處沒有切線．故選C.8．(·濟南市高二下學(xué)期期末測試)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝ax B．f(x)＝logaxC．f(x)＝xex D．f(x)＝xlnx[答案]D[解析]若f(x)＝ax，則f′(x)＝(ax)′＝axlna，x∈R，不滿足題意，排除A；若f(x)＝logax，則f′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0，a≠1)，x≠0，不滿足題意，排除B；若f(x)＝xex，則f′(x)＝ex＋xex，x∈R，不滿足題意，排除C，故選D.二、填空題9．函數(shù)y＝2x3－3x2＋4x－1的導(dǎo)數(shù)為____________．[答案]6x2－6x＋4[解析]y′＝(2x3)′－(3x2)′＋(4x)′＝6x2－6x＋4.10．(·江西文，11)若曲線y＝xlnx上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標(biāo)是________．[答案](e，e)[解析]本題主要考查求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋1，設(shè)P(x0，y0)，∵P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，∴y|x＝x0＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e，將x0＝e代入y＝x·lnx得y0＝e，∴P點坐標(biāo)為(e，e)，解答本題的關(guān)鍵在于掌握曲線在某點處的切線斜率為此點處的導(dǎo)數(shù)值．11．曲線y＝sin3x在點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))處切線的斜率為________．[答案]－3[解析]設(shè)u＝3x，則y＝sinu，∴y′x＝cosu·(3x)′＝3cosu＝3cos3x∴所求斜率k＝3·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(π,3)))＝3cosπ＝－3.三、解答題12．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝3x－lgx；(2)y＝(x2＋1)(x＋1)；(3)y＝eq\f(x＋3,x2＋3)；(4)y＝－sinx＋ex.[解析](1)y′＝(3x)′－(lgx)′＝3x·ln3－eq\f(1,xln10).(2)y＝(x2＋1)(x＋1)＝x3＋x2＋x＋1，∴y′＝3x2＋2x＋1.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,x2＋3)))′＝eq\f(x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′,x2＋32)＝eq\f(x2＋3－x＋3·2x,x2＋32)＝eq\f(－x2－6x＋3,x2＋32).(4)y′＝(－sinx)′＋(ex)′＝－cosx＋ex.一、選擇題1．已知曲線y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，則切點的橫坐標(biāo)為()A．3 B．2C．1 D.eq\f(1,2)[答案]A[解析]由f′(x)＝eq\f(x,2)－eq\f(3,x)＝eq\f(1,2)得x＝3.故選A.2．曲線y＝xsinx在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))處的切線與x軸、直線x＝π所圍成的三角形的面積為()A.eq\f(π2,2) B．π2C．2π2 D．eq\f(1,2)(2＋π)2[答案]A[解析]曲線y＝xsinx在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))處的切線方程為y＝－x，所圍成的三角形的面積為eq\f(π2,2).故選A.3．(·新課標(biāo)Ⅱ理，8)設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝()A．0 B．1C．2 D．3[答案]D[解析]本題考查導(dǎo)數(shù)的基本運算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義．令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－eq\f(1,x＋1).∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.聯(lián)立解得a＝3，故選D.4．(·全國大綱文，10)已知曲線y＝x4＋ax2＋1在點(－1，a＋2)處切線的斜率為8，則a＝()A．9 B．6C．－9 D．－6[答案]D[解析]y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a∴a＝－6.二、填空題5．若f(x)＝log3(x－1)，則f′(2)＝________.[答案]eq\f(1,ln3)[解析]∵f′(x)＝[log3(x－1)]′＝eq\f(1,x－1ln3)(x－1)′＝eq\f(1,x－1ln3)，∴f′(2)＝eq\f(1,ln3).6．(·新課標(biāo)全國文)曲線y＝x(3lnx＋1)在點(1,1)處的切線方程為________________．[答案]4x－y－3＝0[解析]本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線方程的求法．y′＝3lnx＋4，故y′|x＝1＝4，所以曲線在點(1,1)處的切線方程為y－1＝4(x－1)，化為一般式方程為4x－y－3＝0.在求過某一點的切線方程時，先通過求導(dǎo)得出切線的斜率，利用點斜式即可寫出切線方程，注意最后應(yīng)將方程化為一般式．7．(·三亞市一中月考)曲線y＝eq\f(x,2x－1)在點(1,1)處的切線為l，則l上的點到圓x2＋y2＋4x＋3＝0上的點的最近距離是________．[答案]2eq\r(2)－1[解析]y′|x＝1＝－eq\f(1,2x－12)|x＝1＝－1，∴切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圓心(－2,0)到直線的距離d＝2eq\r(2)，圓的半徑r＝1，∴所求最近距離為2eq\r(2)－1.三、解答題8．設(shè)y＝8sin3x，求曲線在點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))處的切線方程．[解析]∵y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，∴曲線在點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))處的切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝eq\f(π,6)＝24sin2eq\f(π,6)·coseq\f(π,6)＝3eq\r(3).∴適合題意的曲線的切線方程為y－1＝3eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，