1.3弧度制課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第一章三角函數(shù)3弧度制北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解弧度的意義,掌握1弧度的角的定義.2.能進(jìn)行角度和弧度的換算,熟記特殊角的弧度數(shù).3.掌握弧度制下扇形的弧長(zhǎng)和面積公式,會(huì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.4.通過學(xué)習(xí),理解角度制與弧度制都是度量角的方法,二者是辯證統(tǒng)一的.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)一

弧度與弧度制1.在單位圓中,把長(zhǎng)度等于

的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角.其單位用符號(hào)

表示,讀作

.

注意成立的前提條件2.在單位圓中,每一段弧的長(zhǎng)度就是它所對(duì)圓心角的弧度數(shù).這種以弧度作為單位來度量角的方法,稱作

.

rad弧度

弧度制

1名師點(diǎn)睛1.1弧度的角與1度的角所指含義不同,大小更不同.2.無論是以“弧度”還是以“度”為單位來度量角,角的大小都與“半徑”大小無關(guān).3.用“度”作為單位度量角時(shí),“度”或“°”不能省略,而用“弧度”作為單位度量角時(shí),“弧度”或“rad”通常省略不寫.4.當(dāng)圓心角一定時(shí),它所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是一個(gè)確定的值,與所在圓的半徑大小無關(guān).5.一般地,弧度與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng),正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)大圓中1弧度的角比小圓中1弧度的角大.(

)(2)圓心角為1弧度的扇形的弧長(zhǎng)都相等.(

)(3)“度”和“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位.(

)××√2.在同一個(gè)表達(dá)式中,能不能同時(shí)出現(xiàn)角度制和弧度制?提示

角度制和弧度制是兩種不同的角的度量方法,兩者有著本質(zhì)的不同,因此在同一個(gè)表達(dá)式中兩種度量方法不能混用.知識(shí)點(diǎn)二

弧度與角度的換算

2.弧度數(shù)公式:

,即圓心角的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于該圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑之比.

3.弧長(zhǎng)公式:

,即弧長(zhǎng)等于所對(duì)圓心角的弧度數(shù)的絕對(duì)值與半徑之積.采用角度制時(shí)的相應(yīng)公式為4.扇形的面積公式:l=|α|r名師點(diǎn)睛

一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表過關(guān)自診1.[人教B版教材例題]把

化成角度數(shù).2.[人教A版教材例題]把67°30'化成弧度.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一弧度制的概念【例1】

下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.弧度與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)C.根據(jù)弧度的定義,180°等于π弧度D.無論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與所在圓的半徑的大小有關(guān)D解析

無論是用角度制還是用弧度制度量角,角的大小均與圓的半徑大小無關(guān),而是與弧長(zhǎng)和半徑的比值有關(guān),故D項(xiàng)錯(cuò)誤.規(guī)律方法

弧度制與角度制的異同1.用角度制和弧度制度量零角時(shí),單位不同,但數(shù)值相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角時(shí),單位不同,數(shù)值也不同.2.以弧度為單位表示角的大小時(shí),“弧度”或“rad”通常省略不寫,但以度為單位表示角的大小時(shí),“度”或“°”不能省略.變式訓(xùn)練1下列說法正確的是(

)A.1弧度是1度的圓心角所對(duì)的弧B.1弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧C.1弧度是1度的弧與1度的角之和D.1弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角的大小,它是角的一種度量單位D解析

弧度是度量角的大小的一種單位,1弧度是長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角的大小.故選D.探究點(diǎn)二弧度與角度的換算【例2】

(1)把112°30'化成弧度;(2)把rad化成度;(3)將-1485°化成弧度.規(guī)律方法

弧度制與角度制換算的關(guān)鍵與方法(1)關(guān)鍵:抓住互化公式π

rad=180°.(3)角度化弧度時(shí),應(yīng)先將分、秒化成度,再化成弧度.變式訓(xùn)練2下列各角中,與240°角終邊相同的角為(

)C探究點(diǎn)三用弧度制表示角及其范圍【例3】

如圖所示,用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)、始邊與x軸的非負(fù)半軸重合、終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合.規(guī)律方法

用弧度制表示象限角、軸線角、終邊相同的角的方法(1)用弧度制表示象限角的集合如下:(2)用弧度制表示軸線角的集合如下:終邊落在x軸上的角為{α|α=kπ,k∈Z};(3)用弧度制表示終邊相同的角的集合為{β|β=α+2kπ,k∈Z}.變式訓(xùn)練3終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合是

,終邊在直線y=-x上的角的集合是

.

探究點(diǎn)四與扇形弧長(zhǎng)、面積有關(guān)的問題【例4】

(1)已知扇形的周長(zhǎng)為8cm,圓心角為2,求該扇形的面積;解

設(shè)扇形的半徑為r

cm,弧長(zhǎng)為l

cm,由圓心角為2,依據(jù)弧長(zhǎng)公式可得l=2r,從而扇形的周長(zhǎng)為l+2r=4r=8,解得r=2,則l=4.(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積等于4cm2,求其圓心角的弧度數(shù).規(guī)律方法

弧度制下有關(guān)弧長(zhǎng)、扇形面積問題的解題策略(1)扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式涉及四個(gè)量,即面積S,弧長(zhǎng)l,圓心角α,半徑r,已知其中的三個(gè)量一定能求得第四個(gè)量(通過方程求得),已知其中的兩個(gè)量能求得剩余的兩個(gè)量(通過方程組求得).(2)在研究有關(guān)扇形的相關(guān)量的最值時(shí),往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.(3)注意扇形圓心角的弧度數(shù)的取值范圍是(0,2π),實(shí)際問題中注意根據(jù)這一范圍進(jìn)行取舍.變式訓(xùn)練4已知扇形的周長(zhǎng)是30cm,當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí),才能使扇形的面積最大?最大面積是多少?解

設(shè)扇形的圓心角為α(0<α<2π),半徑為r

cm,面積為S

cm2,弧長(zhǎng)為l

cm,則l+2r=30,故l=30-2r,本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)弧度與弧度制的概念;(2)弧度與角度的相互轉(zhuǎn)化;(3)扇形的弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算.2.方法歸納:消元法、配方法.3.常見誤區(qū):對(duì)1弧度的定義的理解;弧度與角度混用.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345678910A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.在半徑為5cm的扇形中,圓心角為2,則扇形的面積為(

)A.25cm2 B.10cm2 C.15cm2 D.5cm2A解析

扇形面積為S=×2×52=25(cm2).故選A.123456789102.角α=-2,則α所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C123456789103.已知扇形AOB的周長(zhǎng)為10,面積為6,則該扇形的圓心角為(

)B123456789104.在半徑為3cm的圓中,的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為(

)A123456789105.如果一個(gè)圓的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍,則該弧所對(duì)的圓心角是原來的

倍.

312345678910B級(jí)關(guān)鍵能力提升練6.若集合P={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},Q={α|-4≤α≤4},則P∩Q=(

)A.?B.{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}C.{α|-4≤α≤4}D.{α|0≤α≤π}B解析

當(dāng)k=-1,0時(shí),集合P和Q的公共元素滿足-4≤α≤-π,或0≤α≤π,當(dāng)k取其他值時(shí),集合P和Q無公共元素,故P∩Q={α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}.123456789107.(多選)若角α的終邊在直線y=-x上,則角α的集合為(

)AD12345678910A12345678910123456789109.一個(gè)半徑為2的扇形,如果它的周長(zhǎng)等于所在圓的半圓的弧長(zhǎng),那么扇形的圓心角是

弧度,扇形的面積是

.

π-2

2(π-2)解析

設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,圓心角為