(四)整式的乘法與因式分解

期末整體復(fù)習(xí)提優(yōu)專(zhuān)題復(fù)習(xí)提優(yōu)(四)整式的乘法與因式分解

一、冪的運(yùn)算例1.下列計(jì)算正確的是(

C

)A.

a4÷

a5＝

a9B.

a3·

a4＝

a12C.

(－

a2)4＝

a8D.

(－2

a2)3＝－6

a6

正確識(shí)別各個(gè)選項(xiàng)的冪的運(yùn)算類(lèi)別，然后根據(jù)相應(yīng)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算判

斷.C二、整式的運(yùn)算及求值例2.已知(2

x2＋

mx

－

n

)(

x

－1)展開(kāi)的結(jié)果中，不含

x2和

x

項(xiàng).(

m

，

n

為常數(shù))(1)求

m

，

n

的值；解：(1)原式＝2

x3－2

x2＋

mx2－

mx

－

nx

＋

n

＝2

x3＋(

m

－2)

x2－(

m

＋

n

)

x

＋

n

.∵(2

x2＋

mx

－

n

)(

x

－1)展開(kāi)的結(jié)果中，不含

x2和

x

項(xiàng)，∴

m

－2＝0，

m

＋

n

＝0，∴

m

＝2，

n

＝－2.(2)在(1)的條件下，求(

m

－

n

)(

m2＋

mn

＋

n2)的值.解：(2)(

m

－

n

)(

m2＋

mn

＋

n2)＝

m3＋

m2

n

＋

mn2－

m2

n

－

mn2－

n3＝

m3－

n3.把

m

＝2，

n

＝－2代入，得原式＝23－(－2)3＝8－(－8)＝16.

(1)先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則展開(kāi)，再合并同類(lèi)項(xiàng)，然后根據(jù)題意

得出關(guān)于

m

，

n

的方程，解之即可求解；(2)先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后，再代入

m

，

n

值計(jì)算即可.三、乘法公式例3.(2024運(yùn)城鹽池期末)化簡(jiǎn)：(2

x

＋3)2－(2

x

＋3)(2

x

－3).解：原式＝(2

x

＋3)2－(4

x2－9)＝4

x2＋12

x

＋9－4

x2＋9＝12

x

＋18.

正確利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算即可.四、因式分解例4.(1)(2023常州中考)分解因式：

x2

y

－4

y

＝

?.(2)(2023懷化中考)分解因式：2

x2－4

x

＋2＝

?.

先提公因式，再運(yùn)用公式法分解因式，注意分解要徹底.y

(

x

＋2)(

x

－2)

2(

x

－1)2

一、選擇題1.

下列計(jì)算正確的是(

B

)A.

3

x3·2

x2

y

＝6

x5B.

2

a2·3

a3＝6

a5C.

(－2

x

)·(－5

x2

y

)＝－10

x3

y

D.

(－2

xy

)·(－3

x2

y

)＝6

x3

y

B123456789101112131415161718192.

下列因式分解正確的是(

D

)A.

x2－4＝(

x

＋4)(

x

－4)B.

x2＋2

x

＋1＝

x

(

x

＋2)＋1C.

3

mx

－6

my

＝3

m

(

x

－6

y

)D.

x2

y

－

y3＝

y

(

x

＋

y

)(

x

－

y

)D123456789101112131415161718193.

(2024南昌期末)若

x2＋

kx

＋25是完全平方式，則

k

的值是(

D

)A.

－10B.

10C.

5D.

10或－10D123456789101112131415161718194.

計(jì)算

a2(

a

＋1)－

a

(

a2－2

a

－1)的結(jié)果為(

C

)A.

－

a2－

a

B.

2

a2＋

a

＋1C.

3

a2＋

a

D.

3

a2－

a

C123456789101112131415161718195.

如圖，方形網(wǎng)格能驗(yàn)證下列哪個(gè)選項(xiàng)中的等式成立(

D

)A.

(

a

＋

b

＋

c

)2＝

a2＋

b2＋

c2B.

(

a

＋

b

＋

c

)2＝

a2＋

b2＋

c2＋2

abc

C.

(

a

＋

b

＋

c

)2＝

a2＋

b2＋

c2＋

ab

＋

bc

＋

ac

D.

(

a

＋

b

＋

c

)2＝

a2＋

b2＋

c2＋2

ab

＋2

bc

＋2

ac

D12345678910111213141516171819

A.

6B.

12C.

36D.

72C123456789101112131415161718197.

若

a

＋

b

＝3，

x

＋

y

＝1，則

a2＋2

ab

＋

b2－

x

－

y

＋2

023的值是(

D

)A.

0B.

2

023C.

2

027D.

2

031D123456789101112131415161718198.

如圖，點(diǎn)

C

是線(xiàn)段

BG

上的一點(diǎn)，以

BC

，

CG

為邊向兩邊作正方形，面積分別是

S1和

S2，兩正方形的面積和

S1＋

S2＝40.已知

BG

＝8，則圖中陰影部分的面積為

(

A

)A.

6B.

8C.

10D.

12A12345678910111213141516171819二、填空題9.

(2024珠海金灣區(qū)期末)計(jì)算：－12＋(π－3.14)0＝

?.10.

多項(xiàng)式

x2＋

mx

＋6因式分解得(

x

－2)(

x

＋

n

)，則

m

＝

?.11.

已知(

x2＋

mx

－3)(2

x

＋

n

)的展開(kāi)式中不含

x

的一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是－6，則

mn

的

值為

?.0

－5

6

12345678910111213141516171819

±3或1

16

25

20

12345678910111213141516171819三、解答題16.

(1)計(jì)算：3

a3

b2÷

a2＋

b

·(

a2

b

－3

ab

)；解：原式＝3

ab2＋

a2

b2－3

ab2＝

a2

b2.

1234567891011121314151617181917.

(1)若

a

＝

b

＋2，求代數(shù)式

a2－2

ab

＋

b2的值；解：∵

a

＝

b

＋2，∴

a

－

b

＝2，∴

a2－2

ab

＋

b2＝(

a

－

b

)2＝22＝4.(2)已知

a

，

b

滿(mǎn)足

ab

＝3，

a

－

b

＝2，求

a2

b3－

a3

b2的值；解：∵

ab

＝3，

a

－

b

＝2，∴

a2

b3－

a3

b2＝

a2

b2(

b

－

a

)＝－(

a

－

b

)·(

ab

)2＝－2×32＝－18.(3)長(zhǎng)和寬分別為

a

，

b

的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14，面積為10，求

a2

b

＋

ab2的值.解：∵長(zhǎng)和寬分別為

a

，

b

的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14，面積為10，∴2(

a

＋

b

)＝14，

ab

＝10，∴

a

＋

b

＝7，∴

a2

b

＋

ab2＝

ab

(

a

＋

b

)＝10×7＝70.1234567891011121314151617181918.

(1)如圖1，若大正方形的邊長(zhǎng)為

a

，小正方形的邊長(zhǎng)為

b

，則陰影部分的面積

是

；若將圖1中的陰影部分裁剪下來(lái)，重新拼成如圖2的一個(gè)長(zhǎng)方形，則

它的長(zhǎng)為

，寬為

，面積為

?；(2)由(1)可以得到一個(gè)公式：

?；a2－

b2

a

＋

b

a

－

b

(

a

＋

b

)(

a

－

b

)

(

a

＋

b

)(

a

－

b

)＝

a2－

b2

12345678910111213141516171819(3)利用你得到的公式計(jì)算：2

0222－2

024×2

020.解：2

0222－2

024×2

020＝2

0222－(2

022＋2)(2

022－2)＝2

0222－(2

0222－4)＝2

0222－2

0222＋4＝4.1234567891011121314151617181919.

提供示例支架【問(wèn)題情境】我們知道形如

a2±2

ab

＋

b2的式子稱(chēng)為完

全平方式.對(duì)于一些不是完全平方式的多項(xiàng)式，我們可做如下變形：先添加一個(gè)適

當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方

法叫做配方法.配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，不僅可以將有些看似不

能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題及求代數(shù)式最大、最

小值等問(wèn)題.12345678910111213141516171819例如：分解因式

x2－2

x

－3.解：原式＝

x2－2

x

＋1－1－3＝(

x2－2

x

＋1)－4＝(

x

－1)2－4＝(

x

－1＋2)(

x

－1－2)

＝(

x

＋1)(

x

－3).例如：求

x2＋4

x

＋6的最小值.解：原式＝

x2＋4

x

＋4－4＋6＝(

x2＋4

x

＋4)＋2＝(

x

＋2)2＋2.∵(

x

＋2)2≥0，∴當(dāng)

x

＝－2時(shí)，

x2＋4

x

＋6有最小值2.12345678910111213141516171819【解決問(wèn)