第十二章-點的運動

第三篇運動學(xué)與動力學(xué)下一頁第十二章點的運動第十三章剛體的基本運動第十四章點的合成運動第十五章剛體的平面運動第十六章動力學(xué)基本方程、動量定理、動量矩定理第十七章動能定理第十八章達朗伯原理第三篇運動學(xué)與動力學(xué)下一頁上一頁第十二章點的運動下一頁上一頁第十二章點的運動第一節(jié)用失徑法表示點的位置、速度和加速度第二節(jié)用直角坐標法確定點的位置、速度和加速度第三節(jié)用自然法確定點的位置、速度和加速度課堂練習(xí)下一頁上一頁一、運動方程、軌跡OMr=下一頁上一頁第一節(jié)用失徑法表示點的位置、速度和加速度二、點的速度==v=·rdtrdDtDrlimt?D0三、加速度··?====rdtvdDtDvaDtdt2rd20lim一、點的直角坐標運動方程kzjyixr++=當點運動時，x、y、z都是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即：消去時間t可得到動點M的軌跡方程。下一頁上一頁第二節(jié)用直角坐標法確定點的位置、速度和加速度動點M的直角坐標運動方程?t?yü===)()()(321tfztfytfx解：以垂直導(dǎo)軌的交點為原點，作直角坐標系Oxy。設(shè)M點的坐標為x，y。由圖可得；jjsin31cos32lylx==將代入上式，得點M的運動方程為twj=tlytlxwwsin31cos32==例1已知連桿AB長為l，連桿兩端分別與滑塊鉸接，滑塊可在兩互垂直的導(dǎo)軌內(nèi)滑動，角求連桿上M點的運動方程和軌跡方程。,twj=lAM32=從運動方程中消去時間t，得點M的軌跡方程為l94222yx=+點M的軌跡為橢圓下一頁上一頁二、點的速度和加速度在直角坐標軸上的投影kvjvivvzyx++=dtrdkdtdzjdtdyidtdxv++==①dtvzxydtdzvdyvdtdx===\,,22yvv2zxvv++=zyx,,,vvkvvjvvviv==),cos(,v=cos())cos(xaykjaiaaz++=kdtdvjdvzyx++idtdvdt=dtvda=②下一頁上一頁iaa)aayx=),,),,,2za22yxaaa++=akajaaaz==cos(cos(cos(10=v例2跨過起重架上滑輪C的繩子，一端掛重物B，另一端A被拖著沿水平方向勻速運動，速度為m/s，而A點高為h=1m，滑輪高為H=9m，不計滑輪重和重物尺寸。運動開始時，重物在地面上處，繩子A端在處。求重物B上升的軌跡方程，速度和加速度方程以及重物上升到架頂所需時間。0B0A解：以地面處為坐標原點O，作x軸鉛垂向上，設(shè)瞬時t重物B的坐標為x，因繩長保持不變，故繩繞過滑輪C拉過的長度等于重物B

上升的高度0BBB00CACAx-==下一頁上一頁2220208)()(tAACACA+=+=m，故8,000=-==hHCAtvAA在中，CAA0D代入式（a），可得B重物上升的運動方程為8642-+=tx則重物B的速度方程為t264tdtdxv+==重物B的加速度方程為)(t=3264+64dtdva=當重物B升到架頂時，x=H=9m，代入運動方程可解得所需時間t=15s。下一頁上一頁一、運動方程)(tfs=弧坐標是時間t的單值連續(xù)函數(shù)。二、自然軸系下一頁上一頁第三節(jié)用自然法確定點的位置、速度和加速度當點的軌跡已知時，以點的軌跡作為一條曲線形成的坐標軸來確定的位置，描述點的運動，這種方法稱為自然坐標法。坐標系是以動點M為坐標原點，以軌跡上過M點的切線和法線為坐標軸，并規(guī)定切線坐標軸以指向弧坐標的正方向為其正方向，法線坐標軸以指向曲線內(nèi)凹的方向即指向曲率中心的一方為其正方向。此正交坐標系稱為自然坐標軸系，簡稱自然軸系。三、點的速度四、點的加速度下一頁上一頁tt×=×=vdtdSt?D0×=×DD=dSrddtdSDDSrtSt?D0limlimtt0?D?Dtr0(=DD=v×DDDDtStr)limlimvvvtdtdvdtddtvdadtdtddtttt×+×=×+×===dtSd22)(①切向加速度表示速度大小的變化ta②法向加速度表示速度方向的變化na下一頁上一頁t=tt×=22dtSddtdvat?DD?D20SvtDD×=t0limtSSvvdtdvattnDD×DD=DD==?ttt0)(limlimlim0vdStSt)(dt==DD?D由圖可知：nnaaaaaattarctan,22=+=下一頁上一頁jttjjjjttttD?D=D?D?D?DD=D=-=D于是時，當122sin,002sin22sin2'Stnvdtdvaaanvannrtrt22,+===\=即2rjjjjjt1)2sin(lim2sin2limlim000==DD×DD=DD=DD\?D?D?DdSdSSSttt（勻速圓周運動）（勻速直線運動或靜止）（直線運動）（勻速運動）（圓周運動）（勻速運動）（直線運動）（勻速曲線運動）（勻變速直線運動）常數(shù)==><rt,02a03=><a常數(shù)==><va,05t常數(shù)=><r607=><ta08=><na常數(shù)==><naa,09t常數(shù)==><taan,01常數(shù)常數(shù)==><taan,10（勻變速曲線運動）1.指出在下列情況下，點M作何種運動？下一頁上一頁課堂練習(xí)￥?=><r,04na2.點作曲線運動畫出下列情況下點的加速度方向。點作勻速運動11M><點作加速運動22M><點作減速運動13M><3.有何不同？就直線和曲線說明。adtvd=（直線、曲線都一樣），adtdv=為速度的大小變化率，在曲線中應(yīng)為切向加速度。dtdva=t下一頁上一頁4.判斷下列運動是否可能出現(xiàn)，若能出現(xiàn)判斷是什么運動？（加速運動）（不可能）（勻速曲線運動）（不可能或改作直線加速運動）vMMavMvMaaav（不可能）（減速曲線運動）（不可能或改作直線減速運動）MvaMavMav下一頁上一頁

′5.①點作直線運動時，若其速度為零，其加速度也為零。②點作曲線運動時，若其速度大小不變，加速度是否一定為零。答：①不一定。速度為零時加速度不一定為零（自由落體上拋到頂點）。②加速度不一定為零，只要點作曲線運動，就有向心加速度。6.切向加速度和法向加速度的物理意義？答：表示速度大小的變化dtdva=tr2van=表示速度方向的變化下一頁上一頁解：qMOMMs10==OAOOAOO11,D=因為等腰三角形，例3一曲柄擺桿機構(gòu)，曲柄端點鉸接一套管，套管套在擺桿上。當曲柄端動時，通過套管帶動桿繞軸擺動。已知曲柄長OA=10cm，的單位為t的單位為s，擺桿長=24cm，距離=10cm，求M點的擺動方程和t=1s的位置、速度和加速度。1OMO1jpj,42t=,radMO1OO1下一頁上一頁qj2=，于是故運動方程cm3421242221ttMOsppj=′′==scm8.186==pv2scm8.186==pta22scm8.1423==pna222scm9.23=+=naaat。===8.51,7.12tanaaaantscm6tdtdsvp==2scm6pt==dtdva22222scm2324)6(ttvanppr===cm32tsp=下一頁上一頁例4列車沿圓弧軌道做勻減速運動，初速度540=vkm/h，經(jīng)過800m后，車速降為18=vkm/h。如果圓弧半徑R=1000m，求列車經(jīng)過這段路程所需要的時間及通過起點和末點時的加速度。解：將列車視為動點，設(shè)列車前進的方向為弧坐標正方向，取起點O為弧坐標的原點。當t=0時，00=s下一頁上一頁初速度sm1560601000540=′′=v末速度sm56060100018=′′=v2220sm225.01000150===Rvan222sm025.010005===Rvan列車在起點和末點的法向加速度為()2220202sm125.08180021552-=-=×-=--=ssvvat得列車的切向加速度為mss8000=-以及路程代入()02022ssavv-+=ts80125.01550=--=-=tavvt，可求得列車經(jīng)過這段路程所需的時間為再由tavvt+=0下一頁上一頁()()222220sm257.0225.0125.0