數(shù)學資料 十一多元函數(shù)積分

十一多元函數(shù)積分

1.化三重積分/二0工/口//也山)也為三次積分，其中積分區(qū)域Q分別是:

(1)由雙曲拋物面xy=z及平面x+y-l=0,z=0所圍成的閉區(qū)域；

(2)由曲面Z=*2+y2及平面z=l所圍成的閉區(qū)域；

⑶由曲面Z=f+2y2及2=2-寸所圍成的閉區(qū)域；

22

(4)由曲面cz=xy(c>0),5+3=l,z=0所圍成的第/卦限內(nèi)的閉區(qū)域。

ab

解：(1)積分區(qū)域Q如圖10-38所示,

0<%<1

a可表示為：<0<^<i-x

Q<z<xy

故/=IoMo'dyj；'/(”'％?比

⑵積分區(qū)域0如圖10-39所示。

圖10-39

Q可表示為：?-Vl-x2<y<\ll-x2

x2+y2<z<1

故/=J：時￡由工\J(x,y,z)dz.

(3)由［z=x消去z得/+2丁=2——

z=2-x2

即f+y2=i,所以o在xOy面的投影區(qū)域為d+Jwi,如圖10-40所示。

圖10-40

Q可表示為:

TWxW1,—\/l—%2<y<yfl—x2,f+zJwzWZ-f

故

/=￡呵%肛；J(”z)dz.

⑷積分區(qū)域如圖10-41所示。

Q可表示為：

04x4a,04y4—~x2,04z4

ac

圖10-41

故

xy

dyj?f(x,y,z)dz.

2.在直角坐標系下計算三重積分：

⑴DL產(chǎn)“ddydz淇中◎是由曲面z=xy與平面y=x,x=l和z=0所圍成的閉區(qū)域;

dRlvd

(2)fff—-3,其中。為平面x=0,〉=0*=0,》+)，+2=1所圍成的四面體；

“Ja(l+x+y+z)3

(3)JU。z2dxdydz,Q是兩個球：x2+y2+z2^/?2和f+y2+z2W2Rz(R>0)的公共部分；

⑷孫zdxdydz，其中。是由x=a(a>0),y=x,z=y,z=0所圍成；

⑸JJJjad)dz，其中Q是由W+z2-y2=i,網(wǎng),產(chǎn)2所圍成；

(6)[[[)4n*(jLydjdz，其中Q是由y==0,x+z=四所圍成。

JJJcx2

解：(1)積分區(qū)域。如圖10-42所示。

y

圖10-42

?？杀硎緸椋?/p>

0<x<l

<0<y<x

Q<z<xy

JJL孫與*d)，dz=｛呵；dy「孫2z3dz=￡xdxj；fdyrz3dz

=IoWoH。dy=；卜呵;3%

1p入1

=—xdx=.

28J。364

(2)積分區(qū)域。如圖10-43所示，?？杀硎緸椋?/p>

0<%<1

<0<y<l-x

0<z<l-x-^

1

X

圖10-43

故

1

fffgdz=dz

JJJa(]+x+y+z)'J。四%(1+尤+y+z)3

l-x-y

1

dy

-2(l+x+y+z)2

0

=W；12(1+U卜

(3)積分區(qū)域。如圖10-44所示。

x2+y2=-R~

，且平面z=￡把積分

由方程f+)P+z2=R及f+y2+z2=2Rz得兩球的交線為:-4

R2

z-——

2

區(qū)域。分為兩部分，且積分區(qū)域。在z軸上的投影區(qū)間為[0,R],記過0,-上任意一點Z的

L2」

平行于xOy面的平面與。相交的平面區(qū)域為功(z),過-,R上任意一點z的平行于xOy面

L2」

的平面與。的相交的平面區(qū)域為￡>2(Z)，則

RR

BLz2dxdydz=[2dz4⑶z&dy+[dz晨⑶z&dy

RR

=J?z2dz/⑶曬+

2222

=J(；nz(2RZ-z)dz4-p兀Z(R2-z)dz

2

RR

￡2(2TIRZ3-7CZ4)dz+(7t/?2Z2-7TZ4)dz

2

-R

~2成_3兀_5

+--------Z-------Z

25035_R

2

⑷積分區(qū)域Q如圖10-45所示

圖10-45

0<X<6/

。可表示為:<0<y<x

0<z<y

故

2

z）

JJL到zdxdydz=|>-￡'dy^xyzdz=J：龍用；Wj；zdz=J：龍回；廣一dy

20

1

—x5dx=—x6=——a6

,（）848o48

⑸積分區(qū)域◎如圖10-46所示。

圖10-46

。在y軸上的投影區(qū)間為[0,2],故

v2v,2

JJJ。e'drdydz=J；e’dyjj。dxdz=J；e-n(l+y)dy=兀J；(e+>e')dy

2v2

=TI￡e'dr+TTJOyed_y=ne-兀+兀［y?e',］；-2TI￡je'dj

=37i(e2-l).

(6)積分區(qū)域。如圖10-47所示。

0<x<-

2

?？杀硎緸椋?lt;0<y<\fx

°-z-rx

故

?71?71

y^dxdydz=1詈叱仔加，J：'dz=

四『sinxdx—L.xsin血=2—L

4Jo2Jo42

3.如果三重積分JJj；/(x，y,z)drdydz的被積函數(shù)大為y,z)是三個函數(shù)力(x),力(y),力(z)的乘

積,即加,y,z)N(x)?力。)?力(z),積分區(qū)域為aWxWb,cW)Wd,/WzW〃i,證明，這個三重

積分等于三個單積分的乘積，即

JJLj(x)力(y)力(z)dxdydz=J/(x)dxj力(y)dyj力(z)dz

證：

JJ[J(x)人(y)力(z)d_rdydz=J：ckJ：d)J"(x)/2(y)&z)dz

=f(f『f\(x)啟y)&z)dz]dy}dx=f{J：[<3啟y)『f^z)dz]

=￡{[/何"(2)回[門2(>)同卜=￡{[『加)同]￡72(例小(小

=[『力(z)dz][『人(y)dy]J"(x)dx=￡f,(x)drj：力(y)d)J：力(z)dz.

4.利用柱面坐標計算下列三重積分：

(1)zd也其中。是由曲面Z=72-X2-/及Z=V+y2所圍成的閉區(qū)域；

⑵幾，+y2)dv,其中Q是由曲面V+y2=2z及平面z=2所圍成的閉區(qū)域.

解：(1)由z=)2-=2-y2及z=》2+y2消去得“2+,2=1,因而區(qū)域。在xQy面上的投

影區(qū)域為V+y241,如圖10一48所示，在柱面坐標系下：Q可表示為:

0<r<l,0<0<2TI,r2<z<V2-r2

故JJj^zdv=J"d0j'^d/'j,'zdz

-2兀J；r(2-r2-r4)dr

「21416]’7

=7Tr——r——r=——兀

L46Jo12

(2)積分區(qū)域如圖10-49所示，在柱面坐標系下，Q可表示為

2

0<6><2n,0<r<2,—<z<2

2

22

故JJfQU+y)dv

=r2rdrdOdz

=仙可)知Edz

2

=2打：(2,一g，川廠=2n[；，一卷N]2

16

-■-71.

3

5.利用球面坐標計算下列三重積分：

(1)Jf￡(x2+y2+z2)dv,其中。是由球面d+y2+z2=i所圍成的閉區(qū)域;

⑵口11加，其中。由不等式犬+y2+(z-a)2工〃2+y2<Z?所確定.

解：(1)(^2+y2+z2)dv=r4sin夕drd0d。

=『dOj；sin^d^j'r4dr

i<4

=2兀[-cos切片[-r5]{)=-^?

(2)積分區(qū)域。如圖10-50所示，在球面坐標系下，?？杀硎緸?/p>

TT

Q<0<2TU,0<(p<—,0<r<2acos(p

4

故JJJQzd"=JJJQsin(pdrd(pd0

r2Kr-r2acQS(p-

=J()d0^sin^cos^d^J^rdr

=2兀［sinecos°—(2tzcos(p)4d(p

A-------?

oy

it

=87ta4j^sin^cos5(pd(pX

n圖10-50

4

8兀/--cos>

6o

74

=—na.

6

6.選用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝腥胤e分：

(1)JJL孫du,其中Q為柱面Y+y2=】及平面z=1,2=0,》=0,〉=0所圍成的第1卦限

內(nèi)的閉區(qū)域；

7%2+/+Z2dv，其中Q是由球面/+了2+22=2所圍成的閉區(qū)域;

(2)

⑶幾,(/+丁川叭其中。是由曲面422=25。2+y2)及平面2=5所圍成的閉區(qū)域;

⑷ILL("2+產(chǎn)川丫，其中。由不等式0<a4JV+y'+z'4A,zN0所確定。

解:(1)積分區(qū)閉◎如圖10-51所示.利用柱面坐標計算，Q在柱面坐標系下表示為:

MJ

1_______

圖10-51

兀

0<。<一。?1,OWzWl,故

2

,14

fffxydv=「defrdrfrsinOcos她巡sin26d2可了dr

JJJcJoJoJo

兀

2

=p(-cos20

o8

本題也可采用直角坐標計算，在直角坐標系下，?？杀硎緸?

0<x<l,0<y<d'-x2,0<z<l,

故

(2)積分區(qū)域Q如圖10-52所示?用球面坐標計算，在球面坐標系下?？杀硎緸?

0<r<cos(p

0<

*<2TI

八兀

0<(p<—

a”

圖10-52

故

BLM+v+idxJJLr-r~sin(pdrd(pd3=rsin^r

n

廣”.4.兀152兀

=2兀J?—sm9cos(pa(p=-----cos*(p-—.

。425Q10

(3)積分區(qū)域。如圖10-53所示。利用柱面坐標計算，在柱面坐標系下，?？杀硎緸?

0?。<2兀

*0<r<2

5「

-r<z<5

12

金

圖10-53

故

低(爐+冷殺=巾/?汨出妞=J；d可)也Jjdz

2

「-)2

一|,

=2.，(545

dr=2TT—r—r=8兀

L42Jo

(4)積分區(qū)域如圖10-54所示。利用球面坐標計算，在球面坐標系下，O可表示為:

0<6?<2TT

TT

o49記

a<r<A

故

BL，+y2)du=JJL產(chǎn)sin2夕/sin(pdrd(pd0

=jjnd^￡2sin3^!xl^jAr4dr

47155、

=——(A-a).

15

7.利用三重積分計算由下列曲面所圍成的立體的體積：

⑴z=6-x2-y2及z=舊+y?.

⑵x2+y2+z2=2“z(a>0)及x2+y2=z2(含有z軸的部分);

(3)z=y/x2+y2及z=f+y2；

(4)z=y]5—x2+y2及f+y2=4z.

解：(1)曲面圍成的立體。如圖10-55所示。

在柱面坐標系下，。可表示為：

0<^<2TI

0<r<2

r<z<6-r2

圖10-55

用柱面坐標可求得Q的體積

v=fffdv=fffrdrdddz=fd^f2“dz

JJJ。JJJaJoJoJr

1「]]-|2q,

=2TI[(6r-r2-r3)dr=2/r3r2——r3—r4=一兀

Jo

L34Jo3

(2)曲面圍成的立體。如圖10-56所示。

在球面坐標系下?？杀硎緸椋?/p>

圖10-56

利用球面坐標可求得Q的體積：

v=JU。dv=r2sin(pdrd(pd0=sinr2dr

n

-2TI￡2-<73COS3=2TI-—a3-^-cos4(p4=na3.

(3)曲面圍成的立體。如圖10-57所示。

在柱面坐標系下，◎可表示為：

0<6><27T

0<r<l

r2<z<r

圖10-57

利用柱面坐標可求得a的體積:

3

v==J。d^￡rd/^j,dz=2兀/(r-r)dr

]4T兀

二271—r=—

4」o6

(4)曲面圍成的立體O如圖10-58所示。在柱面坐標系下，Q可表示為:

0<6><2^-

0<r<2

<z<一產(chǎn)

利用柱面坐標可求得Q的體積：

vdv

=WL=JJL-=『呵:叫尸出

4

23

=2兀J：一/^jdr=2兀j；r>/5-rdr-/rdr

二—p(5—川-統(tǒng)—4).

3Iodo。

8.球心在原點，半徑為R的球體，在其上任意一點的密度的大小與這點到球的距離成正比,

求這球體的質量。

解：利用球面坐標計算：

Q：0<r<7?,0<0<2K,0<(p<7i,夕?，則

712

M=pdv=￡d8J；sin網(wǎng)(p\：kr?rdr

=2K-[-COS^?—r4=kjiR4.

L4Jo

9.求球面/+y2+z2=a2含在圓柱面y+,2=辦內(nèi)部的那部分面積。

解：如圖10-29所示:

圖10-29

上半球面的方程為Z=J"一》2一y2,由

dz-Xdz_

2

dx-x2—y2辦yja一入2_y2

得

dza

4J荷-XT

由對稱性知

包'

A岫=4/八:7dxdy

產(chǎn)racoaO]

rdrdO4*呵

,（）

4COS8

2工時2金=城一產(chǎn)）=

JoJo一2面-一戶AO

0

=4aFQ(1_sin0)d0=2a~(兀-a).

J0

10.求錐面Z=jd+y2被柱面Z2=2X所割下部分的曲面面積。

解:由/=/+/,Z2=2X兩式消去Z得

f+），2=2x,則所求曲面在xOy面上的投影區(qū)域D為：f+JwZr,而

dzxSz=y

辦出+V

上

x+y2f+y2

故所求曲面的面積為.

Adxdy=J]。y/2dxdy-d'J：V2rdr

2cos9_n

r9d6=4何:cos?2A/2(1+cos20)d0=夜兀.

0

11.求底面半徑相等的兩個直交圓柱面f+y2=R2及W+Z2=R2所圍立體的表面積。

解：由對稱性知，所圍立體的表面積等于第一卦限中位于圓柱面?號2=網(wǎng)內(nèi)的部分面積的

16倍,如圖10-30所示。

圖10-30

這部分曲面的方程為z=，R2—f，于是所求面積為.

-7次2-『

K2

ydx=\6J[oRdx=16R.

Jo

12.設有一等腰直角三角形薄片，腰長為“，各點處的面密度等于該點到直角頂點的距離的

平方，求這薄片的重心.

解：建立直角坐標系如圖10-34所示。

圖10-34

由已知p(x,y)=/+_/,

且

-a-x

M==]■:叫『，+dr

-0

=j[ax1-x3+—(a-x)3]d.r=-xi--x4--(a-x)4=—aA.

J。3L3412Jo6

M,=乩yp(x,y)dxdy=J：ydyj；'(/+/)dx=￡，yay2-/+1(cz-y)3Jly=-^a5.

22335

My=y)dxdy=J：dxJ：\(x+y?)dy=J：xax-x+-(a-x)dx=—a.

篙2

從而工=歹=畢一=-a

-1/5

6

即所求重心為

13.已知均勻矩形板（面密度為常量0）的長和寬分別為6和人計算此矩形板對于通過其

形心且分別與一邊平行的兩軸的轉動慣量。

解：取形心為原點，取兩旋轉軸為坐標軸，建立坐標系如圖10-36所示.

bhh]

A=Vpdxdy=Jj山僅y2pdy="J%py2dy=—pbh3,

~2~2~2"

bhb-a

2

Jy==3p/drjldy=區(qū)phxdx=—phb\

~2~2~212

14.計算下列對弧長的曲線積分:

⑴L（/+y2）由，其中L為圓周x=“cosr,y=“sin/（0W/W2兀）；

（2）1e促+/山，其中心為圓周f+y2=/,直線尸工及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整

個邊界；

⑶[—：-------ydv,其中T為曲線x=e'cosr,y=e'sim,z=e'上相應于t從0變到2的這段弧;

Jrx2+y2+z2

⑷J「x2yzds,其中廠為折線A8CQ,這里A,B,C,。依次為點(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),

(1,3,2)；

解：(1)[(*2+y2)小=￡(/cos2t+a2sin21)"^(-asint)2+(acos/)2dr

=1%，用5=2/，，

Jo

(2)如圖10-67所示，L=L^L2+L3

其中Li：y=O(OWxW〃)，從而

[gk=J；e—=e〃—l

L<x=acost,y二asin'OWW—

4

(n_________________________n

故[e\"-vds=j；e"5/(-4?sint)2+(?cos/)2dr=jjaeadt=?aed.

心3：尸狀（。WxW---ci）.

___E顯a

2

+,[廣％缶?收&=6標=e"-1.

故JaJo

0

所以

1e^d5=fe^ch+fek由+fe^d5

LJL)JL,J￡3

=(e"-l)+%e"+e"-l=e"(2+%)-2.

(3)ds=Jxf+yj+z/df

=J(e'cost-ersint)2+(ersinf+e'cosZ)2+e2/dr

=V3ezdZ.

z

￡■尤222cLy=￡2,22,22,V3edr

人~ry4VI-V-OlliIIVz

=2e-，dr=e-，=(1-e-2),

￡T-T04

x=0

(4)AB:<y=0(0<r<2),

z=0

x=t

BC:ly=O(0<r<l),

z=2

x=\

CD:<y=t(0<t<3).

z=2

故

￡x2yzds=j_x2yzds+j_x2yzds+x2yzds

=f20dr+「Odf+f32rVl+O2+O2dr

JoJoJo

=/2ME=9.

Jo

15.計算曲面積分U、J,(x,y,z)ds,其中2為拋物面z=2-*+y2)在xOy面上方的部分，

艮x,y9z)分別如下:

(1)段,y,z)=x2+y2;(3)段,y,z)=3z.

解：拋物面Z=2-(f+),2)與屹y面的交線是宜刀面上的圓工2+),2=2,因而曲面2在xQy面上的

投影區(qū)域￥+)?<2,且ds=Jl+z；+z；dxdy=^/l+4x2-i-4y2dxdy

故⑴JJJ(x，y，z)由=J)*。(V+y2)/1+4x'+4y'dxdy

=fr2Vl+4r2rdr

JoJo

=AJ：+1)-l]Vl+4r2d(4r2+1)

=—￡[(4r2+1)2-(1+4r2)2]d(4r2+1)

?！?,-2,-T-149

=77￡(4r+1)2一三(1+4產(chǎn)/=石兀

161_53Jo3。

(3)JJJ(x,y,z)ds=JJ,3zds=J/。3[2-(x2+^2)]yjl+Ax2+4y2dxdy

=6兀*《<[；-[9一(1+4/)](1+4/)2](1+4r2)

3兀「222號應UI

=T79x-(l+4r-)2--(l+4r)2=—

16L35Jo10

16.計算現(xiàn)J，+y2)ds,其中N是:

(l)錐面z=+y2及平面2M所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面;

(2)錐面z2=3(￥+y2)被平面z=0和z=3所截得的部分。

解：(1)E=g+Z，其中：

2：z=1,(。U,:x2+j2<Y).ds=dxdy,

當：z=正+9<％-x2+y2<1)

I22

ds=1+~--dxdy=y/2dxdy.

yr+yx+y

故

i

71

jj(x2+y~)dv=J/。(，2+、2)心切=￡dr~-rdr=2K-—

。下

(x2+/)d5=JJ/,(x2+y2)V^dxdy==q兀.

因此

JL，+V)出=JJ，+y2)由+"(/+y2)由=5q兀=\+Ji兀

JJ2jgJJZ2222

2

(2)所截得錐面為z=國d+y2(q:x+/<3)

小卜〕"^7卜卜；^7).二2曬

故

JJjx?+y2)ds=2，，,(/+V)★dy=2j)d，//dr=9兀.

17.計算下列對坐標的曲線積分：

(l)￡(x2-y2)dx,其中L是拋物線尸2上從點(0,0)到點(2,4)的一段??；

⑵j町心其中L為圓周(尸〃尸+y2=a2(a>0)及x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界

(按逆時針方向繞行);

(3)￡ydx+xdy,其中L為圓周x=Rcosf,產(chǎn)Rsin/上對應f從0到■^的一段弧:

⑷Ly咨*'其中L為圓周,+尸按逆時針方向繞行);

(5)￡,x2dr+zdy-)xlz,其中「為曲線k*仇產(chǎn)acos8,z=asind上對應6從0至!］兀的一段弧;

(6)￡x3dr+3zy2dy+(~x2y)dz，其中「是從點(3,2,1)到點(0,0,0)的一段直線；

⑺14-dy+ydz,其中「為有向閉拆線ABC4,這里A,B,C依次為點(1,0,0),(0,1,0),

(0,0,1);

（8）￡（x2-2^）dx+（/-2xy^dy,其中L是拋物線尸?上從點（_1,［）到點（］/）的段弧.

解：（1）L：y=x,x從0變到2,

——2

工任_力網(wǎng)=￡2(x2-x4)<lr=[#_#]=_.

(2)如圖1IT所示,L=L]+L2.其中心的參數(shù)方程為

x=a+acost

0</<n

y=asinf

L2的方程為y=0(0<x<2a)

故(xydx=「AycLv+x)dv

=J()a(l+cost)4sinr(4+〃cosr)dr+J()Odr

=J：/(-sin2r)(l+cos/)df

=一/(J。sin2tdt+￡sin2rdsinrj

3

=——兀a

2

(3)￡ydx+xdy=|J[/?sinr(-/?sinr)+RcostRcos/]dr

J：

=R2jjcos2d

n

=X-sin2z2

[2Jo

=0

(4)圓周的參數(shù)方程為：x=acostfy=〃sinf,/:0-2兀.

故r(x+y)dr-(x-y)dy

JAx2+y2

=-^J：[(〃cosZ+〃sin。(一asinf)-(〃cosf-asinf)acosf]df

=-2兀

(5)x2dx+zdy-ydz

=,&+"sin0,“(-sin，)-?cos%cose)d。

x=3t

(6)直線，的參數(shù)方程是y=2ft從1-0.

故|x3dx+3zy2dy+(-x2y)dz

=J：[27/.3+3/.4/?2+(—9r?2r)]dr

=J：87/df

10

=87--r4

4,

87

=----

4

⑺「二通+前+亂(如圖11-2所示)

—IV=1-X..

AB：Y，x從0―1

|z=0

J而dr-dy+ydz=J：[l-1)]公=-2.

—[x=0..

BC:\,z從Of

[y=i-z

Jdr-dy+ydz=口一㈠)+0_z)]dz

=￡(2-z)dz

上，2T

L2Jo

——3

2

---[y=0

CA:《fx從0―>1

\z=l-x

1_dx-d>,+ydz=￡[l-04-0]d!x=l.

故jdx-dy+ydz

=(J而+b+k)&d)，+ydz

=(-2)+|+l=g

⑻L("_2肛)泣+(,2-2x)^dy

=’[("2一2*,12)+(工4-2x?x2),2x]d￥

=JJx2-2x3+2x5-4x4)dx

14

=-----

15

18.應用格林公式計算下列積分：

(1)jr(2x-y+4)dx+(3x+5y-6)dy,其中L為三頂點分別為(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形正

向邊界；

⑵(x2ycosx+2xysinx-y2ev)dx+(x2sinx-2yex)dy,其中L為正向星形線

222

爐+y3=。3(4〉0)；

⑶J/(2刈3一y2cosx)dx+(l-2ysinx+3x2y2)d)，，其中L為拋物線小加上由點⑴,。)到(],[)

的一段弧；

(4)￡(X2-y)dr-(x+sin2y)dy>L是圓周yuJZx-x2上由點(0,0)到(1,1)的一段弧;

⑸L(e*siny-毆)&+(e*cosy-,”)dy,其中，〃為常數(shù)，乙為由點(a,0)到(0,0)經(jīng)過圓jc+y2=ax

上半部分的路線（a為正數(shù)）.

2

解：(1)L所圍區(qū)域。如圖11-4所示，P=2x-y+4,

Q=3X+5)L6,—=3,"=-1,由格林公式得

&dy

(⑵-y+4)dx+(3x+5y-6)dy

=j￡4drdy

=4j￡drdy

=4x—x3x2

2

=12

(2)P=A2ycosx+2xysinx-y2eA,Q=x2sinx-2>,e\

Qp,

貝lj——=x2cosx+2xsinx-2yex,

C7y<2Z>rxr

-y-=x~cosx+2xsmx-2)e?

從而”=孚，由格林公式得.

小小

22A2

Jz(xycosx+2xysinx-ye)d^+(xsinx-2ye')dy

=0

(3)如圖11-5所示，記04,AB,80圍成的區(qū)域為。.（其中80二乜）

2

圖11-5

P=2x)^-y2cosx,Q=1-2ysiar+3jt2},2

6P_人2n°。N2

——oxy—2ycosx,—=6xy—2ycosx

dydx

由格林公式有：

1L+川+?=IL管系卜dy=0

故￡Pdx+Qdy=AI%2改+Qdy

=J。iPdx+Qdy+jPdx+Qdy

=Jo20dx+J：(]_2ys嗚+3.土，dy

=m-2[，+1'2,)，

--71-

4

(4)L、AB、B。及。如圖11-6所示.