《冶金傳輸原理》期末計(jì)算試題及答案模塊5相似理論與量綱分析

模塊5和體理卷鳥(niǎo)/狗臺(tái)新

計(jì)算題：

1不可壓縮粘性流體在粗糙管內(nèi)的定常流動(dòng)，其壓強(qiáng)降與粘度口，長(zhǎng)度/、粗糙度￡、管徑

d、流速v及密度。有關(guān)，用n定理導(dǎo)出壓強(qiáng)降的表達(dá)式。

2已知粘性流體在管內(nèi)流動(dòng)，其流動(dòng)與速度v,密度P,粘性系數(shù)P，管道直徑d有關(guān)，用瑞

利法求各量間的依變關(guān)系。

3按1：30比例制成一根與空氣管道幾何相似的模型管，用粘性為空氣的

的50倍，而密度為800倍的水做模型實(shí)驗(yàn)。

（1）若空氣管道中的流速為6m/s,問(wèn)模型管中水流速應(yīng)多大才能與原模型相

似？

（2）若在模型中測(cè)得不降為226.8kpa,試求原模型中相應(yīng)樂(lè)降為多少？

（3）問(wèn)模型管中仍以空氣為介質(zhì)可否？其流速應(yīng)多大才能與原模型相似？

4一潛艇長(zhǎng)50米，水上航速6米/秒，做船模水槽試驗(yàn)確定該潛艇的興波阻力。該船模的

幾何尺寸為實(shí)船的五十分之一，試計(jì)算船模在水槽中的拖拽速度。

5某水庫(kù)模型，當(dāng)打開(kāi)水閘時(shí)，4分鐘內(nèi)水放空。如模型與原型的尺寸比G=1/225,

求原型水庫(kù)水放空的時(shí)間。

6在圓管層流中，沿壁的切應(yīng)力To與管徑d、流速V及流體粘性系數(shù)U有關(guān)。用量綱分

析法導(dǎo)出此關(guān)系的一般表達(dá)式。

7環(huán)形管的壓強(qiáng)降A(chǔ)P與環(huán)形管的內(nèi)徑R、外徑Rz、管長(zhǎng)L、流體的密度P、動(dòng)力粘度P

及平均流速V有關(guān)，試建立它們之間的關(guān)系式。

8在拖池中作船模實(shí)驗(yàn)，船模比例尺為1/50,實(shí)船的航速為25km/h,假設(shè)流動(dòng)（1）重力、

（2）表面張力、（3）粘性離起主導(dǎo)作用，試計(jì)算船模的速度應(yīng)為多少才能保證動(dòng)力相似。

設(shè)實(shí)驗(yàn)和實(shí)船都是在海水中。

9某大壩的泄洪道寬為20m,設(shè)計(jì)泄洪能力為125m3/s?，F(xiàn)準(zhǔn)備用

1：15的模型來(lái)研究此泄洪道的流通特性。試確定模型的寬和流量。對(duì)應(yīng)于泄洪道泄洪24h,

模型應(yīng)工作多長(zhǎng)時(shí)間。

10一潛艇的水上航速為607m/s.水下航速為5.2m/s,為了決定他在水面航行的行波阻力

和水下航行的粘性阻力，分別在水池和風(fēng)洞中進(jìn)行船模實(shí)驗(yàn)。設(shè)船模的幾何尺寸為實(shí)船的

1/65,試分別計(jì)算船模在水池中的拖拽速度和風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)時(shí)的風(fēng)速。設(shè)水和空氣的運(yùn)動(dòng)粘度分

別為1.145X10-6m2/s和1.45X105m2/s.

第五章相M理卷導(dǎo)量佝合析

計(jì)算題：

1解：根據(jù)與壓強(qiáng)有關(guān)的物理量可以寫(xiě)出物理方程：

F=(A/?,u,I,￡,d,v,p)=0

物理方程中有7個(gè)物理量，選取d,v,P作為基本量，可以組成4:(7-3)個(gè)無(wú)量綱量,

它們是：

△p〃

冗、-——二J——冗)--------

1ahC

d'V'p'22VApc2

用基本量綱表示中的物理量，得

^p=\MT2];/=[ML-1T1]V=[LT_,]P=[A/L-3]

根據(jù)物理方程量綱一致性原則有：

對(duì)L-l=ai+bi-3ci

T-2=-bi

Ml=Ci

解得ai=O,bi=2,Ci=l故有

兀、=--=Eu

Pv~

用基本量綱表示中的物理量，得

M匚T=趴LT'>(MZ73)G

根據(jù)量綱一致性原則得出=1,b2=l,C2=l故有

-pvdRe

用基本量綱表示中的各物理量，得相同的量綱方程

七=—'廠戶(hù)(“廠產(chǎn)

根據(jù)量綱一致性原則得as.產(chǎn)1,b3.i=0,c3.?=0故有

_￡

~~d~~d

將所有值代入式并將提出，可得

ASylpV

△P=fRe，7~—

\d)d2

2解：已知/(v,p,//,J)=0

y=f(p，〃，d)

v=kpaMbdc

-,-3

[LT]=K[MU3][MLp[Mr1T-1P[L]C

r1=-3a—b+cra=—\

Y-\=b(AJb=0

0=aJt-bc=-l

所以v=kp-'從cT'

人也二Re

4

3解.：(1)根據(jù)相似原理，對(duì)幾何相似管，當(dāng)Re相等時(shí)，流動(dòng)達(dá)到力學(xué)相似，若以腳標(biāo)p

表示原型，m表示模型

1V

由Re相等:PPPP_P，〃M”

%

則u=v-=6x^—x—x—=6x—=1\25m/s

PPmIm%800118

(2)由Eu數(shù)相等:△P△P

12?12

I2m

△Pp=Mm.2.2

Pm

6

=226.8xl03x—x=80.64%

80()11.25；

（3）說(shuō)明：以空氣為介質(zhì)作模型：由Re相等，[”=匕=30

則=180/n/5,此時(shí)空氣壓縮性不能忽視，故不能用空氣作介質(zhì)，

則用水質(zhì)后，vm=l[.25m/s

4解：波阻力主要是水受重力作用而產(chǎn)生的，安排模型試驗(yàn)時(shí)應(yīng)以佛汝德數(shù)作為決定性相

似準(zhǔn)則，即

FF

m,n=rop

模型與原型的尺度比為五十分之一，故模型船長(zhǎng)

故

V臉=6?葛=0"

即潛艇模型在水槽中的拖拽速度為0.83米/秒。

5解：水庫(kù)閘門(mén)瀉水，主要受重力作用，所以佛汝德數(shù)為決定性相似準(zhǔn)數(shù)，由題14可知

CQ=c}

因CQ=**=*=c：/c

4ipFpipip

則c?=c；/c/c=Z=c?

tP

求得原型水庫(kù)水防空時(shí)間為

2___

tp=tm/C}=4xJ225=60min

6解：由于變量（物理量只有四個(gè)，因此可以直接應(yīng)用雷利的方法。）

即寫(xiě)出變量之間的函數(shù)關(guān)系為％=/（&V、//）

按MLT量綱制寫(xiě)出量綱式為

[M/LT2]=[L]X[L/TY[M/LTY

對(duì)量綱式的指數(shù)求解為

M：l=Z

L：-1=X+Y-Z

T：-2=-Y-Z

聯(lián)立解以上三式得X=-lY=1Z=1

代入函數(shù)式可得

由實(shí)驗(yàn)已證實(shí)有為=K^V/d=8〃V/d

7解：首先選定P、V、R為基本變量，因此可組成7-3=4個(gè)無(wú)量綱數(shù)。即:

句=PX'VY'R^P(1)

兀2=pX?vY?R,R?(2)

=pxW^R7iL(3)

冗4乙"(4)

對(duì)(1)式進(jìn)行量綱分析，由

|O|=M"TI〃碟叱陷/次2|

M：O=Xi+l

L：0=-3XI+Y!+ZI-1

T：0=-Y1-2

得XF-1Y尸-2Z,=l

2

所以nx=AP/pV

而(2)式的無(wú)量綱數(shù)應(yīng)為穴2=R」R\

(3)式顯而易見(jiàn)：43=UR\

(4)式很明顯就是以R表示的雷諾數(shù)，則知=夕丫曷/〃

2

即A^/pV=乩亦4/〃,R2/A)

2

所以AP=pV^pVR{/^R2/ReL/R1)

8解：(1)重力起主導(dǎo)作用時(shí)，模型與原型Fr應(yīng)相等，即

(v/7ig)m=v/7ig

因gm=g，所以

vin==25/V50=3054km/h

(2)表面張力起主導(dǎo)時(shí)，模型與We應(yīng)相等，即

22

(v/p/cr)w=vlp/a

因?qū)嶒?yàn)時(shí)仍用海水，則

5”P(pán)m=P

所以“=卬匹'=25同=177km/h

(3)粘性力起主導(dǎo)作用時(shí)，模型與原型的Re應(yīng)相等，即

(3〃或=加〃〃

因Pm=P"m=〃

所以匕”=v//lm=1250km!h

這樣高的速度實(shí)際上是很難實(shí)現(xiàn)的。

9解：按照幾何相似，模型的寬應(yīng)為

b,n=b?ki=20Xl/15=1.33m

除了寬以外，其他的幾何尺寸也應(yīng)具有同樣的比例尺。

這種有自由面的流動(dòng)主要是重力起作用，故模型和原型Fr相等則可認(rèn)為動(dòng)力相似，即

(v/7te)m=v/7te

因gm=g，則

%=口7^=病

時(shí)間比例系數(shù)、長(zhǎng)度比例系數(shù)和速度比例系數(shù)之間的關(guān)系式(5-6),并利用式(e),可得

m

廠1s

所以tm=kl?r=VT750x24=6.2/?

可見(jiàn)模型的實(shí)驗(yàn)時(shí)間比對(duì)應(yīng)原理的工作時(shí)間短得多。只要長(zhǎng)度的比例系數(shù)k￡l。模型的實(shí)驗(yàn)

時(shí)間就可比對(duì)應(yīng)的工作時(shí)間縮短。這一點(diǎn)很有用，這說(shuō)明發(fā)生在模型的漫長(zhǎng)過(guò)程，可以在模

型實(shí)驗(yàn)中段時(shí)間內(nèi)完成。

10解：(1)水池試驗(yàn)

興波阻力是由于力受到重力作用產(chǎn)生的。所以船模試驗(yàn)應(yīng)保持與實(shí)船航行的Fr相等。依

長(zhǎng)度比例系數(shù)ki=1/65。由于Fr相等，且gm=g，得

vm==-71/65x6.7=0.83

在水池中進(jìn)行興波阻力試驗(yàn)時(shí)，船模的拖拽速度為0.83m/s。

(2)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)

粘性阻力是由于粘性力產(chǎn)生的。在低速風(fēng)洞試驗(yàn)時(shí)可以不考慮Ma,只要求Re相等就

可以認(rèn)為船模有實(shí)船相似。即

(v--l}=-v-l

I)my

，曰l匕"c"1.45x10-5

得=v------=5.2x65x--------------=4280勿?/s

l?,v1.145xl0-6

風(fēng)洞試驗(yàn)不可以達(dá)到這樣高的風(fēng)速，可見(jiàn)單靠加大風(fēng)速來(lái)滿(mǎn)足相似是很困難的。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，

常采用在足夠大的Re(Re>3X106)的條件下進(jìn)行試驗(yàn)，將試驗(yàn)結(jié)果延伸的辦法。這樣還

是能夠比較準(zhǔn)確地估算出對(duì)應(yīng)實(shí)船的Re的粘性阻力系數(shù)的。

第五章相似原理與模型研究方法

【5-1】若作用在圓球上的阻力尸與求在流體中的運(yùn)動(dòng)速度V、求的直徑。、流

體密度「、動(dòng)力粘性系數(shù)〃，試用)定理將阻力表示為有關(guān)量的函數(shù)。

【解】本問(wèn)題的物理量共有5個(gè)(Rp、V、。、〃)，即N=5,選夕、V、。為

基本物理量，則可寫(xiě)出兩個(gè)無(wú)量綱萬(wàn)項(xiàng)：

7rLQ5爐，町一萬(wàn)石鏟

由量綱和諧原理可得到

F〃

2

'02V2PDyp

第一個(gè)無(wú)量綱乃項(xiàng)稱(chēng)為阻力系數(shù)，記作G,；第二個(gè)無(wú)量綱九項(xiàng)稱(chēng)為雷諾數(shù)。這

兩個(gè)獨(dú)立的無(wú)量綱數(shù)的關(guān)系是

CD=/(Re)

函數(shù)關(guān)系/(Re)通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。

【5-2】通過(guò)氣輪機(jī)葉片的氣流產(chǎn)生噪聲，假設(shè)產(chǎn)生噪聲的功率為P,它也旋轉(zhuǎn)

速度葉輪直徑。、空氣密度0、聲速c有關(guān)，試證明氣輪機(jī)噪聲功率滿(mǎn)足

P=parD5f(a)D/c)

【解】由題意可寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式

f(p、①、D、p、c)=0

現(xiàn)選。、p、3為基本物理量，因此可組成兩個(gè)無(wú)量綱的萬(wàn)項(xiàng)：

_F_c

=cox'py'D=''町=一

基于MLT量綱制可得量綱式

[MZ?/T3]=[1/Tp[M/^]V,[Lf

M：1=

L：2=-3M+Z[

T：-3=-%1

聯(lián)立上三式求得=3?y=1,Z]=5

同理可得%=二

■coD

故有—=

p*\(oD)

一般常將c/o。寫(xiě)成倒數(shù)形式，即GQ/C,其實(shí)質(zhì)就是旋轉(zhuǎn)氣流的馬赫數(shù)，因此上

式可改寫(xiě)為

P=p加O"(GD/C)

[5-3]長(zhǎng)度與直徑之比為一定的圓柱以恒定的轉(zhuǎn)速〃旋轉(zhuǎn)與均勻來(lái)流流速為丫

的流體中。假設(shè)維持旋轉(zhuǎn)的功率P僅取決于流體密度0、運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)V、圓柱

直徑。及流速V和轉(zhuǎn)速〃，試用/定理證明

32

P=(pv/D)f(yD/vfnD/v)

【解】本題中物理量的個(gè)數(shù)N=6,基本量綱數(shù)r=3,因此有N-r=3個(gè)無(wú)量

綱的4項(xiàng)。

選0,乙。為基本物理量，則

_P_V_.

px'vy'DZi9巧一pX2vy2D：29/一°與戶(hù)

對(duì)勺項(xiàng)由量綱和諧原理求其指數(shù)，即

\M￡/T3]=\M/￡]1\L[I

M：l=x,

L：2=-3%]+2yt+馬

T：_3=_y

解得%]=1?y=3,zt=-1

PD

所以

對(duì)巧項(xiàng)由量綱和諧原理求其指數(shù)，即

[〃小M針歸附[4

M：0=x2

L：1=-3X2+2y2+z2

T：-i=-y2

解得x2=0fy2=1,z2=-l

所以7T=—

2V

此無(wú)量綱數(shù)就是雷諾數(shù)。

對(duì)巧項(xiàng)由量綱和諧原理求其指數(shù)，即

[1/T]=M針3/卜時(shí)

M：0=x3

L：0=-3x34-2y3+z3

T：-1=-%

解得x3=0,y3=1,z3=-2

此無(wú)量綱數(shù)就是以旋轉(zhuǎn)速度表示的雷諾數(shù)

故該問(wèn)題的無(wú)量綱形式為

3二尸（犯，乃3）

即P=（p荷/。）/（丫。/%〃。的）

【5-4】用/定理推倒魚(yú)雷在水中所受阻力FD的表達(dá)式，這個(gè)阻力FD和魚(yú)雷的速

度V、魚(yú)雷的尺寸/、水的動(dòng)力粘性系數(shù)〃以及水的密度「有關(guān)。

【解】依題意有/（心，匕/,0,〃）=0

選/，匕夕為基本物理量，可得到5-3=2個(gè)無(wú)量綱乃項(xiàng)，即

3二百萬(wàn)茄，4=?/

對(duì)匹進(jìn)行量綱分析，由

[ML/T2]=[L]x'[L/T]y'[M

M：1=Z）

L：l=X[+y_3Z]

7：-2=一必

得％=2，丁[=2,Z]=l

故"廣鑫

對(duì)町進(jìn)行量綱分析，由

[M/LT]=[LY2[L/T]y2[M/l}]Z2

M：l=z2

L：-1=+y2-3Z2

T-T=f

得a=i,y2=i,z?=i

故_J1

pivRe

所以魚(yú)雷在水中所受阻力的后表達(dá)是為

22

FD=plVf（Re）

[5-5]用萬(wàn)定理分析管道均勻流動(dòng)的關(guān)系式。假設(shè)流速V和水力坡度J、水力

半徑R、邊界絕對(duì)粗糙度6、水的密度「、動(dòng)力粘性系數(shù)〃有關(guān)。

【解】依題意有/（匕/,R,M2，4）=0

選R”,「為基本物理量，可得到6-3=3個(gè)無(wú)量綱乃項(xiàng)，即

=J='=M

RW"，乃2一商萬(wàn)方'町"斤防萬(wàn)7

對(duì)t]、乃2進(jìn)行量綱分析，容易看出

對(duì)町進(jìn)行量綱分析，由

[M/LT]=[L]X3[L/T]yi[M/

M：1=z3

L：-1=x3+y3-3Z3

T：-i=-y3

得七=1,%=1,4=1

所以，=/0/H,Re）

[5-61作用于沿圓周運(yùn)動(dòng)的物體上的力尸與物體的質(zhì)量相、流速丫和圓的半徑

R有關(guān)，試用萬(wàn)定理證明產(chǎn)與機(jī)P/R成正比。

【解】依題意有/（根,匕尺尸）=0

選九KR為基本物理量，可得到4-3=1個(gè)無(wú)量綱九項(xiàng)，即

F

/~mx'Vy'R:'

對(duì)可進(jìn)行量綱分析，由

[ML/T2]=[M]x'[L/T]y'[L]Zl

M：1=%

L：1=x+Z]

TJ-2二f

得％=1,X=2,Z[=-1

所以尸與成正比。

【5-7】煤油管路上的文德利流量計(jì)〃=300mm,d{=150mm,流量Q=100Us,

煤油運(yùn)動(dòng)粘度匕ESxlO'n</s,煤油密度g=820kg/m3。用匕=lxl0$m2/s的

水在縮小為圓形1/3的模型上試驗(yàn)，試求模型上的流量是多少？如果在模型上測(cè)

出水頭損失%2=02m,收縮管段上壓強(qiáng)差A(yù)p2=lbar,試求煤油管路上的水頭損

失和收縮管段的壓強(qiáng)差。

【解】管流用雷諾模型法。他的三個(gè)基本比例尺依題給數(shù)據(jù)，是：

比例長(zhǎng)度百=2=q=3

2a

運(yùn)動(dòng)粘度比例尺a=工==4.5

v21x10

密度比例尺之=為=倭=0.82

Pl1UUU

流量比例尺3Q=46=4.5X3=13.5

.?.模型上的流量2=}黑=7.417s

壓強(qiáng)比例尺￡=蜂=°另2：4.52二1845bar

〃年32

所以實(shí)物上的壓強(qiáng)差

bp】-fjp=1x1.845=1.845bar

水頭損失是單位重量流體的能量降低，他的比例尺可以由雷諾模型法中的

功、能比例尺頭=外消2除以重量比例尺/=電亨來(lái)求出（因?yàn)?=咫，而重力

加速度的比例尺4=1，2=心）。于是水頭損失比例尺是

為吟二等號(hào)二母12.25

3

e>GbpbibiVJ

所以實(shí)物上的水頭損失%=與詼=0.2x2.25=0.45m油柱

【5-8】汽車(chē)高度4=2m,速度%=108knVh,行駛環(huán)境為2（TC時(shí)的空氣。模型

實(shí)驗(yàn)的空氣為0℃,氣流速度為〃2=6OWso

（1）試求模型中的汽車(chē)高度為；

（2）在模型中測(cè)得正面阻力為￡=1500N,試求實(shí)物汽車(chē)行駛時(shí)的正面阻力為

多少？

【解】（TC、20C時(shí)模型與實(shí)物空氣的密度分別是02=L293xlO-3kg/m3,

p、=1.205x10?kg/m3

0°C、2（TC時(shí)模型與實(shí)物的運(yùn)動(dòng)粘度分別是匕=13.7x10"n?/s,

匕=15.7xl0'6m2/s

用雷諾模型法，它的比例尺是：

^77777777777777777777

運(yùn)動(dòng)粘度比例尺4=力=?7歿：=1.146

%13.7x10^

密度比例尺^(guò)=—=1205x10：=093

Pp.1.293x10，

速度比例尺不=:黑賒=0.5

比例長(zhǎng)度a=Z=^^=2.292

加0.5

得模型汽車(chē)高度為

h2

必二工=二一=0.873m

「就2.292

據(jù)雷諾模型法可得力的比例尺是

6P=B力試=0.93x2.2922x0.52=1.22

于是可得實(shí)物上的正面阻力為

"P?31500xl.22=1830N

[5-9]在實(shí)驗(yàn)室中用①=20的比例模型研究溢流堰的流動(dòng)。

(1)如果圓形堰上水頭〃=3m試求模型上的堰上水頭；

(2)如果模型上的流量。=0.19m3/s,試求圓形上的流量；

(3)如果模型上的堰頂真空度兒=200mm水柱，試求原型上的堰頂真空度。

【解】水工結(jié)構(gòu)的重力流應(yīng)當(dāng)用富魯?shù)履Ｐ头?，其基本比利尺是?/p>

長(zhǎng)度比例尺4=20

密度比例尺當(dāng)=1

在富魯?shù)履Ｐ头ㄖ?/p>

流量比例尺多=2產(chǎn)=1789

堰頂真空度比例尺心=卜=且=5?/=1x20=20

%P2

于是可得模型上的堰上水頭為

=—=0.15m

,G20

原型上的堰頂真空度為

4]=hvl8hv=0.2x20=4m水柱

[5-10]題中的左圖是用于水管的孔板流量計(jì)，孔板前后的壓強(qiáng)差用水銀差壓計(jì)

測(cè)量。實(shí)驗(yàn)得知其流量系數(shù)保持不變時(shí)的最小流量為。=1617s,此時(shí)差壓計(jì)讀

數(shù)〃=45mm。右圖是準(zhǔn)備用于空氣管道的孔板流量計(jì)的設(shè)