重難點(diǎn)突破-高二數(shù)學(xué)上冊(cè)?？碱}（人教A版2019選修一）01 通過(guò)空間向量解決立體幾何中的角度問(wèn)題（高考真題）含答案

董睢京突破--離二政學(xué)上冊(cè)常考題專(zhuān)練，人數(shù)A版2019選哮一）專(zhuān)題

01通苞空同向量解決五體幾何中的角度間勉，高考靠題專(zhuān)練）

題回。直線與平面所成的角

1.（2020?海南）如圖，四棱錐P-A88的底面為正方形，PD_L底面A8CD.設(shè)平面皿）與平面P8C的

交線為/.

（1）證明：/!.平面PDC；

（2）已知叨=AO=1,Q為/上的點(diǎn)，QB=近,求尸3與平面QC。所成角的正弦值.

2.(2020?山東)如圖，四棱錐P-45co的底面為正方形，PQ_L底面ABCD.設(shè)平面皿＞與平面PBC的

交線為/.

(1)證明：/_1_平面PDC;

(2)已知PD=AZ)=1,。為/上的點(diǎn)，求只3與平面QC￡)所成角的正弦值的最大值.

3.(2020?天津)如圖，在三棱柱ABC-AAG中，CG_L平面ABC,AC±BC,AC=BC=2,CC,=3,

點(diǎn)、D,￡分別在棱伍和棱CG上，且4)=1,CE=2,M為棱4月的中點(diǎn).

(I)求證：C.MLB.D-,

(II)求二面角的正弦值；

(III)求直線A?與平面力8避所成角的正弦值.

4.(2021?浙江)如圖，在四棱錐P-AB8中，底面/WCD是平行四邊形，ZABC=120°,AB=\,BC=4,

PA=y/]5,M,N分別為3C,PC的中點(diǎn)，PDA.DC,PMA.MD.

(I)證明：ABLPM；

(11)求直線AV與平面PZW所成角的正弦值.

5.(2018?浙江)如圖，已知多面體48(7-486,8,C0均垂直于平面ABC,NABC=120。，A,A=4,

GC=1,AB=BC=B、B=2.

(I)證明：A與，平面48c;

(ID求直線AG與平面所成的角的正弦值.

題國(guó)自二面角的平面角及求法

6.（2021?新高考n）在四棱錐?！狝8c。中，底面他CD是正方形，若4）=2,QD=QA=舊,QC=3.

（I）求證：平面QAD_L平面438；

（II）求二面角8-QD-A的平面角的余弦值.

7.(2020?新課標(biāo)I)如圖，方為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，/正為底面直徑，AE=AD.AABC

是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn),PO=—DO.

6

(1)證明：A4_L平面P3C；

(2)求二面角8-PC-E的余弦值.

D

8.(2019?新課標(biāo)H)如圖，長(zhǎng)方體ABC。-ABCQ的底面ABC。是正方形，點(diǎn)E在棱的上，BELEC,.

(1)證明：平面EBC；

(2)若AE=AE，求二面角B-EC-G的正弦值.

9.（2021?天津）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-AAG〃中，E,F分別為棱8C,8的中點(diǎn).

（1）求證：￡）尸//平面AEG；

（2）求直線AC與平面AEG所成角的正弦值；

（3）求二面角A-AG-E的正弦值.

10.（2021?北京）己知正方體A88-ABC〃，點(diǎn)E為A"中點(diǎn)，直線用弓交平面C"E于點(diǎn)F.

（1）求證：點(diǎn)廠為AG中點(diǎn)；

（2）若點(diǎn)M為棱A,8,上一點(diǎn)，且二面角CF-E的余弦值為好，求4竺.

3

II.(2021?乙卷)如圖，四棱錐P-45CZ)的底面是矩形，P￡)_L底面438,PD=DC=\,“為BC中點(diǎn),

且依_LAW.

(1)求8C；

(2)求二面角A-BM-3的正弦值.

12.(2021?甲卷)已知直三棱柱ABC-A耳G中，側(cè)面的用3為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC

和CG的中點(diǎn)，。為棱A與上的點(diǎn)，BF^AB」

(1)證明：BFJ.DE；

(2)當(dāng)4。為何值時(shí)，面BBCC與面。莊所成的二面角的正弦值最?。?/p>

13.(2019?新課標(biāo)I)如圖，直四棱柱ABC￡>-A瓦G2的底面是菱形，例=4,AB=2,ZBAD=60°,

E,M,N分別是8C,BB、,A力的中點(diǎn).

(1)證明：MN//平面C]DE；

(2)求二面角A-M&-N的正弦值.

14.(2021?新高考I)如圖，在三棱錐A-3co中，平面4犯_L平面38,AB^AD,O為3。的中點(diǎn).

(1)證明：OA1.CD-.

(2)若AOC￡)是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱仞上，DE=2E4,且二面角￡-8。一￡)的大小為45。,

求三棱錐A-BCD的體積.

15.（2020?江蘇）在三棱錐A—88中，已知C8=C￡>=逐，皮）=2,O為次）的中點(diǎn)，AO_L平面88,

AO=2,E為AC中點(diǎn).

（1）求直線43與所成角的余弦值；

（2）若點(diǎn)尸在8c上，滿足設(shè)二面角尸一￡>E—C的大小為6,求sin。的值.

16.(2020?新課標(biāo)HI)如圖，在長(zhǎng)方體A8CD-ABC。中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱。。，網(wǎng)上，且2DE=ER,

BF=2FB、.

(1)證明：點(diǎn)G在平面小廠內(nèi)；

(2)若A8=2,AD=\,e=3,求二面角A-E/-A的正弦值.

17.（2019?天津）如圖，AE_L平面的8,CF//AE,AD//BC,ADYAB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求證：8尸//平面ADE;

(II)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(III)若二面角-尸的余弦值為工，求線段C戶的長(zhǎng).

3

18.（2019?新課標(biāo)HI）圖1是由矩形4）￡3、RtAABC和菱形3FGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1,

BE=BF=2,Z/?C=60°.將其沿AB,8C折起使得郎與跖重合，連結(jié)OG,如圖2.

圖1圖2

（1）證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面A8C_L平面8CGE；

（2）求圖2中的二面角B-CG—A的大小.

19.(2018?新課標(biāo)III)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形A8CD所在的平面與半圓弧8所在平面垂直，M是8上

異于C,。的點(diǎn).

(1)證明：平面4WE>_L平面8WC；

(2)當(dāng)三棱錐M-體積最大時(shí).，求面M鉆與面所成二面角的正弦值.

20.(2018?新課標(biāo)I【)如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=BC=2y[2,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的

中點(diǎn).

(1)證明：PO_L平面A8C；

(2)若點(diǎn)M在棱上，且二面角M-P4-C為30。，求PC與平面K4M所成角的正弦值.

21.（2019?北京）如圖,在四棱錐尸一"8中，B4_L平面ABCZ）,AD1.CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,

pp1

BC=3.E為尸。的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且——=-.

PC3

(I)求證：C￡>_L平面BM>；

(II)求二面角的余弦值;

(III)設(shè)點(diǎn)G在心上，且竺=2.判斷直線AG是否在平面用內(nèi)，說(shuō)明理由.

PB3

專(zhuān)題01通過(guò)變間向量解決五體幾百中的角度

同題(離專(zhuān)熏題專(zhuān)練)

題因。直線與平面所成的角

1.(2020?海南)如圖，四棱錐P-A8co的底面為正方形，PO_L底面A8CD.設(shè)平面K4D與平面P8C的

交線為/.

(1)證明：/_!_平面PDC；

(2)已知PD=A￡>=1,Q為/上的點(diǎn)，QB=&,求P8與平面QC￡>所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：過(guò)P在平面R4Q內(nèi)作直線〃/4),

由AZV/BC,可得"/BC,即/為平面F4Z)和平面PBC的交線,

PZ)J_平面BCu平面:.PD±BC,

又BC_LCD,CD'、|PO=。，.?.BC，平面PO),

1//BC,；」上平面PCD；

(2)解：如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ZM,DC,OP所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

D-xyz,

PD=AD=\,Q為/上的點(diǎn)，QB=6,

PB=y/3,QP=\,

貝lj￡)(o,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),B(l,1,0),作PQ//AZ),則尸。為平面

與平面P8C的交線為心因?yàn)椤?=夜，AQAB是等腰直角三角形，所以Q(l,0,1),

則0,1),PB=(1,1,-1),DC=(0,1,0),

設(shè)平面QC。的法向量為“=(“，b,c),

n-DC=0仍=0

則(，,?《，取c=l,可得z〃=(—1,0,1),

nDQ=0[a+c=0

n?PB-1-1瓜

/.cos<〃，PnBD>=------=-=_==——,

InilFBI百?&3

二尸8與平面QC。所成角的正弦值為弓.

2.(2020?山東)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PZ)_L底面A8CD.設(shè)平面皿>與平面PBC的

交線為/.

(1)證明：/_L平面PDC；

(2)已知PD=4)=1,Q為/上的點(diǎn)，求PB與平面所成角的正弦值的最大值.

【解答】解：(1)證明：過(guò)P在平面以。內(nèi)作直線//MD,

由AD〃3C,可得1//BC,即/為平面皿＞和平面PBC的交線，

PDJ_平面488,8Cu平面A3CD,.\PD1BC,

又BC1CD,CZT'PD=。，.?.BC，平面PCD,

〃/8C,平面PCD；

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ZM,DC,DP所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則。(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),3(1,1,0),

設(shè)。(加，0,1),DQ=(m,0,1),PB=(1,I,-1),DC=(0,1,0),

設(shè)平面QCO的法向量為〃=(a,b,c),

niIn-DC=0/=0—r/口,八

則《,/.<，取a=—1,可得〃=(—1,0,m)9

n-DQ=0+c=0

PB>"-l-m

.,.COS<?，

73-Vl+w2

11+w|乖>1+2m+m2

PB與平面QCD所成角的正弦值為

>/3-71+rrr3YX+m1

=堂.、又二匹，坐?\丘=坐，當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=1取等號(hào)，

3V1+w23V23

，PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為乎.

3.(2020?天津)如圖，在三棱柱A8C-AqG中，CGJ?平面ABC,AC1BC,AC=BC=2,CC,=3,

點(diǎn)O,E分別在棱例和棱CC上，且AD=1,CE=2,例為棱兒用的中點(diǎn).

(I)求證：C.M1B.D；

(II)求二面角3-耳E-O的正弦值；

(III)求直線4?與平面。SE所成角的正弦值.

【解答】解：以C為原點(diǎn)，C4,CB,CG的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

則C(0,0,0),A(2,0,0),8(0,2,0),0(0,0,3),

4(2,0,3),男(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),例。，I,3),

(I)證明：依題意，CtM=(1,1,0),B、D=(2,-2,-2),

GM?80=2-2+0=0,1B.D；

(II)依題意，CA=(2,0,0)是平面84Et的一個(gè)法向量,

EB、=(0,2,1),ED=(2,0,-1),

設(shè)"=(x,y,z)為平面。gE的法向量，

則卜3=0,即py+z=o,不妨設(shè)x=],則”=(1,—1,2),

n-ED=0[2x-z=Q

.?.cos<CA,…金。監(jiān)

\CA\-\n\6

/.sin<C4,n>=

.?.二面角B-8E—D的正弦值我；

6

(III)依題意，AB=(-2,2,0),

由(II)知，”=(1,-1,2)為平面。8乃的一個(gè)法向量,

―…—.〃=_@,

\AB\-\n\3

.??直線,與平面。與E所成角的正弦值為年

4.(2021?浙江)如圖，在四棱錐尸中，底面ABCD是平行四邊形，ZABC=U0°,AB=\,BC=4,

PA=y/15,M,N分別為BC,PC的中點(diǎn)，PDLDC,PMVMD.

(I)證明：AB±PM；

(II)求直線AN與平面PDW所成角的正弦值.

【解答】(I)證明：在平行四邊形他CD中，由已知可得，CD=AB=\,

CM=-BC=2,ZDCM=60°,

2

由余弦定理可得，DM2=CD2+CM2-2CDxCMxcos60°

=l+4-2xlx2x—=3,

2

貝IJCC>2+￡)M2=1+3=4=CM2,EPCD1DM,

又PD上DC,PD[yDM=D,，Cr>_L平面P￡)M,

而PMu平面PDW,：.CDLPM,

CDIIAB,..ABYPM-,

(II)解：由(I)知，C￡>_L平面PDM,

又CDu平面ABCD,平面ABCDJ_平面PDM,

且平面ABCDC平面燈泌=DM,

PM±MD,且PMu平面PDM,;.RM_L平面ABCD,

連接AM,則PM_LM4,

在AAfiM中，AB=i,BM=2,ZABM=\20°,

可得AAf=l+4-2xlx2x(-1)=7,

又PA二岳,在RtAPMA中，求得PM=dPA?-MA?=2也，

取AO中點(diǎn)E,連接ME,則ME//CD,可得ME、MD、兩兩互相垂直，

以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以M￡>、ME、MP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

貝2,0),P(0,0,2啦)，C(G,-l,0),

又N為PC的中煎，：.N吟桓),4V=(孚-|,后)，

平面PDM的一個(gè)法向量為〃=(0,1,0),

設(shè)直線AN與平面PDM所成角為6,

5

.m.\AN-n\2V15

則milsin0n=|cos<AN,n>|=-----------=—j===——=------.

同.卬區(qū)互商6

V44

故直線AN與平面PDM所成角的正弦值為姮.

z

5.(2018?浙江)如圖，已知多面體ABC—48cl,,B、B,C。均垂直于平面ABC,zS4BC=120°,A4=4,

C,C=1>AB=BC=B、B=2.

(I)證明:AQJL平面A/G；

(II)求直線AG與平面A88,所成的角的正弦值.

【解答】（/）證明：4A_L平面ABC,gB_L平面4?C,

/L4,//BB,,

AA=4,BB]=2,AB=2,

：（（）2

.Ag=7W+M-BBt=2V2,

又AB,={AB。+BB：=2叵,A4,2=AB'+AB：,

/.AB】_L44，

同理可得：AB1工B?，

又AR'BQ=耳，

ABiJ_平面A4G.

（〃）解：取AC中點(diǎn)。，過(guò)。作平面43c的垂線03,交AG于。,

AB=BC,:.OBVOC,

AB=BC=2,Zft4C=120°,.?.08=1,OA=OC=C,

以。為原點(diǎn)，以O(shè)B,OC,8所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:

則4(0,-石，0),8(1,0,0),B,(l,0,2),0(0,6，1),

.-.AB=0,50),BBX=(0,0,2),ACt=(0,2上,1),

設(shè)平面4期的法向量為〃=(x,y,z),則""8=°,

小叫=0

.X+°,令y=l可得九=(-6，1,0),

2z=0

_2后回

/.cos<n,AC>=

t|n||ACJ~2xy/13~13

設(shè)直線AC】與平面ABB1所成的角為。，則sin6>=(cos<〃,4G>|=-^.

直線AC,與平面ABB,所成的角的正弦值為嚕.

題照二面角的平面角及求法

6.(2021?新高考0)在四棱錐Q-ABCZ)中，底面ABC。是正方形，若AT>=2,QD=QA=^5,QC=3.

(I)求證：平面04。_L平面ABC。；

(II)求二面角8-QD-A的平面角的余弦值.

Q

【解答】(I)證明：AQC￡>中，CD=AD=2,Q￡>=石，QC=3,所以CD?+Q￡>?=QC?,所以COLQO；

又C￡)_L4),AD^QD=D,AOu平面。4。，QZ)u平面QA￡),所以CQ_L平面QA。；

又CDu平面ABC￡),所以平面QAZ)J.平面43c3.

(II)解：取AZ)的中點(diǎn)O,在平面AfiCZ)內(nèi)作Or_LA￡),

以O(shè)D為y軸，OQ為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-孫z,如圖所示:

則0(0,0,0),8(2,-1,0),D(0,1,0),2(0,0,2),

因?yàn)?,平面A。。，所以平面4)。的一個(gè)法向量為a=(1,0,0),

設(shè)平面BZ)Q的一個(gè)法向量為￡=(x,y,z),

由BD=(-2,2,0),。。=(0,-1,2),

得?如。，即「「。

/?OQ=0[-y+2z=0

令z=l,得y=2,x=2,所以力=(2,2,1)；

0aB2+0+02

所以cos<a，H>=____?_____________=_

\a\-\p\lx「4+4+13

所以二面角3-QZ5-A的平面角的余弦值為|.

7.(2020?新課標(biāo)I)如圖，力為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.AAfiC

是底面的內(nèi)接正三角形，。為。。上一點(diǎn)，PO=—DO.

6

(1)證明：E4,平面PBC；

(2)求二面角3—PC—E的余弦值.

【解答】解：(1)不妨設(shè)圓。的半徑為1,OA=OB=OC=\,AE=AD=2,AB=BC=AC=&

DO=ND解-OM=&PO=J^DO=顯,

62

PA=PB=PC=y]PO2+AO2=—,

2

在AE4c中，PA2+PC2=AC2,故R4_LPC,

同理可得R4_LP8,又PB']PC=P,

故E4_L平面PBC；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有8(半,;,0)((-[，3,0)/(0,0,1),E(0,1,0),

故BC=(-6,0,0),CE=g,；,0),CP=g,-；,1),

設(shè)平面PCE的法向量為〃=(x,y,z),

與1

+-=O

22

取X=

21正

--+Z=O

222

所以平面PCE的法向量為n=(1,-73,-76),

由(1)可知Q4_L平面PBC,不妨取平面PBC的法向量為AP=(0,l,

故8.=制=半’即二面角八y―E的余弦值為竽.

8.（2019?新課標(biāo)n）如圖，長(zhǎng)方體ABCD-ABCQ的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱A4,上，BE1ECt.

（1）證明：5￡_L平面EBC；

（2）若AE=AE,求二面角8-EC-C的正弦值.

【解答】證明：（1）長(zhǎng)方體458-A4GA中，gqj■平面A%4,

B￡工BE,BEA.EC,,

8°。明=G,.?.BEL平面EB?.

解：（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)4E=AE=1,則BE=E4，3E_L平面ESC，/.BE±EBt,

BE2+EB；=2BE2=BB'=4,..BE1=2,

AE2+AB2=l+AB2=BE2=2,=

則E(l,1,1),A(l,1,0),旦(0,1,2),C,(0,0,2),C(0,0,0),

BC±EBt,EB[±面EBC,

故取平面EBC的法向量為相=E4=（-l,0,1）,

設(shè)平面EC0的法向量”=(x,y,z),

n-CC.=0fz=0?.ZH-

由J，得《，取x=l,得"=(1,—1,0),

n-CE=0|/+y+z=0

mn1

cos<m,n>=------=——,

\m\\n\2

二面角8-EC-C的正弦值為乎.

9.（2021?天津）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC?！校珽,尸分別為棱5C,8的中點(diǎn).

（1）求證：QF//平面AE￡；

（2）求直線AG與平面AEG所成角的正弦值；

（3）求二面角A-AG-E的正弦值.

【解答】（1）證明：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則A（0，0,2）,EQ,1,0）,G（2,2,2）,

故AG=(2,2,0),EG=(0,1,2),

設(shè)平面aEC的法向量為〃=(x,y,z),

則卜的二°,即/+)'=°,

n-FC,=0[y+2z=0

令z=l,則x=2,y=-2,故〃=(2,-2,l),

又F(1,2,0),R(0,2,2),

所以FR=(-1,1,2),

則"?FR=0,又〃尸仁平面AEC,

故〃F//平面AEG；

(2)解:由(1)可知,AC,=(2,2,2),

|nMC|1

則Icos<n,ACt>|=.=—,

In||AC,|3x2V39

故直線AC與平面AEG所成角的正弦值為Y；

(3)解:由(1)可知,AA,=(0,0,2),

設(shè)平面44,6的法向量為"?=3,仇c),

「1m-AA.=0fc=0

則，即，八，

m-A,Ct=01。+方=。

令。=1,則6=-1,故，”=(1,一1,0),

所以|cos<m,ri>|==-土尸=2叵，

\“m\\"nI\3x夜3

故二面角A-AG-E的正弦值為J1-(半產(chǎn)=1.

10.(2021?北京)已知正方體ABCr>—A4G〃，點(diǎn)E為中點(diǎn)，直線4cl交平面QDE于點(diǎn)尸.

(1)求證：點(diǎn)F為B|G中點(diǎn)；

(2)若點(diǎn)M為棱人由上一點(diǎn)，且二面角M—CF-E的余弦值為趙，求4絲.

3Ag

【解答】(1)證明：連結(jié)DE,

在正方體43CO-A8CR中，CDUC\D\,CRu平面入8?口,C￡)U平面

則CDH平面AB￡R,因?yàn)槠矫鍭BGRC平面CDEF=EF,

所以CD//EF,則EF//CtDt,

故A4〃EF//GR,又因?yàn)锳R//AG，

所以四邊形4線/王為平行四邊形，四邊形EFCR為平行四邊形，

所以AE=B7,ED,=FC,,

而點(diǎn)E為AR的中點(diǎn)，所以AE=ER,

微B、F=FC\,則點(diǎn)F為BQ的中點(diǎn)；

(2)解：以點(diǎn)片為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,設(shè)點(diǎn)M(m,0,0),且加<0,

則C(0,2,-2),E(-2,1,0),F(0,1,0),

故FE=(-2,0,0),FC=(0,1,-2),FM=,

設(shè)平面CMF的法向量為，〃=（a力,1）,

m-FM=0ma-h=0

則,即ar1

m?FC=0b-2=0

所以a=2,b=2,故機(jī)=(2,2,1),

mm

設(shè)平面CDEF的法向量為〃=(%y,1),

5=。，即-2x=0

則,

n-FC=0j-2=0

所以x=0,y=2,故〃=(0,2,1),

因?yàn)槎娼荕-CF-E的余弦值為亞，

3

m.i..\m'n\5__________y/5

則|cos<m,n>|=------

成I4~廠——號(hào)‘

IIMI—+4+1xV2"+1

解得"2=±1,又加<0,

所以zn=-1,

故I

11.（2021?乙卷）如圖，四棱錐P—A3CD的底面是矩形，PE），底面A3C￡>,PD=DC=1,"為BC中點(diǎn),

且.

(1)求BC；

(2)求二面角A—的正弦值.

【解答】解：(1)連結(jié)班)，因?yàn)榈酌鍭BCD，且4Wu平面MC。，

則AM_LPZ),又4W_LP3,PB[\PD=P,PB,PDu平面PBD,

所以AA/_L平面尸3D,又BDu平面PBD,則AM_L3￡),

所以ZAB￡>+Z4OB=90。，又ZA3O+ZM43=90。，

則有NA￡)3=NM4B,所以RtADABsRtAABM,

則絲=里，所以J_BC2=I,解得8C=血；

ABBM2

(2)因?yàn)镈4,DC,。尸兩兩垂直，故以點(diǎn)。位坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則A(板,0,0),8(0,1,0),Af(J,1,0),P(0,0,1),

2

所以4尸=(-V2,0,1),AM=(--,1,0),BM=(--,0,0),BP=(-夜,-1,1)，

22

設(shè)平面4WP的法向量為〃=(x,y,z),

-\[^.x+z=0

”"二°,即.

則有■

--x+y=o'

n-AM=0

2

令*=&，則y=l,z=2>故"=(&」,2),

設(shè)平面3Mp的法向量為機(jī)=(p，4，r),

m-BM=0-丁=。

則有,即《

m?BP=0一&p_g+r=0

令4=1,則r=l,故加=(0』,l),

33m

所以|cos<〃,〃z>|=

IHIIWI/x夜14

設(shè)二面角A—PM—B的平面角為a,

則sina=《1-cos2a=y/]-cos2<n.m>=

1414

所以二面角A-PM-B的正弦值為叵

12.（2021?甲卷）已知直三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面A4,耳B為正方形，43=BC=2,E,F分別為AC

和CG的中點(diǎn)，D為棱人片上的點(diǎn)，BFLA.B,.

(1)證明：BFA.DE■,

（2）當(dāng)片￡＞為何值時(shí)，面8MGC與面。FE所成的二面角的正弦值最??？

,1

【解答】(I)證明：連接AF,

E,尸分別為直三棱柱A8C-A4G的棱AC和CC1的中點(diǎn)，且AB=BC=2,

:.CF=1,BF=5

BF±A,Bt,A8//AA，

:.BFA.AB

22他2222夜

：.AF=yjAB+BF=3+4=3;AC=JAF-CF=>/3-l=2，

AC2=AB2+BC2,即

故以3為原點(diǎn)，BA,BC,8g所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

貝|J4(2,0,0),8(0,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),尸(0,2,1),

設(shè)Bp=m,則。(機(jī)，0,2),

BF=(0,2,1),DE=(l-m,1,-2),

BFDE=O,即即_LZ)E.

(2)解：AB,平面，平面的一個(gè)法向量為0=(1,0,0),

由(1)知，DE=(l-m,1,-2),EF=(-1,1,1),

設(shè)平面DEF的法向量為"=y,z),則〃S"二°,即(1一機(jī))龍+y-2z=0

/?EF=0-x+y+z=0

令x=3,則丁="?+1,z=2—m,.二〃=(3,m+1,2—機(jī))，

pn3

/.cos<p,n>=------=---/，==/------------------------------

2

\p\'\n\ixj9+(m+1)2+(2—6)2,2加一2機(jī)+14/2(m--)+—

.?.當(dāng)機(jī)=」時(shí)，面B8CC與面。莊所成的二面角的余弦值最大，此時(shí)正弦值最小，

21

故當(dāng)用。=3時(shí)，面88CC與面0石所成的二面角的正弦值最小.

13.(2019?新課標(biāo)I)如圖，直四棱柱ABCD-A4CQ的底面是菱形，M=4,AB=2,Zfi4D=60。,

E,M,N分別是BC,BB1,A。的中點(diǎn).

(1)證明：MN"平面QDE；

(2)求二面角A-M4,-N的正弦值.

【解答】(1)證明：如圖，過(guò)N作M/LAO,則N////A4,,且刖/=；偌，

又MB//4A，MB=g/L4,,.?.四邊形NMBH為平行四邊形，則

由M///41,，N為AQ中點(diǎn),得〃為4)中點(diǎn)，而E為3C中點(diǎn)，

：.BE//DH,BE=DH,則四邊形BED〃為平行四邊形，則BH//DE,

：.NM//DE,

NMU平面QDE,DEu平面GOE,

.?.例/7//平面6。￡：；

(2)解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于3c的直線為x軸，以。C所在直線為y軸，以。2所在直線為z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

則N(冬-1,2),M由,1,2),小行，-1,4),

w=(2T0)，2(冬-g⑵,

設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為機(jī)=(x,y,z),

且

=3

2x+—y=0

由

G一,取x=\/5,得機(jī)=-1),

x-gy+2z=0

=一

2

又平面肱切的一個(gè)法向量為〃=(1,0,0),

m-n_>/3_\/15

?.cos<m,n>=

\m\-\ii\x/55

.?.二面角A-MA.-N的正弦值為Jl-cos?<m,〃>=/(警2=半?

14.(2021?新高考I)如圖，在三棱錐A-88中，平面他D_L平面BCD,AB=AD,0為a)的中點(diǎn).

(1)證明：Q41CD；

(2)若△(%?￡)是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱4)上，DE=2EA,且二面角E-BC-。的大小為45。，

求三棱錐A-BCD的體積.

C

【解答】解：(1)證明：因?yàn)?5=4),0為的中點(diǎn)，所以

又平面平面88,平面ABDC平面8a>=BO,AOu平面ABD,

所以4。_L平面BCD,又C3u平面8Q9,

所以AOLCD；

(2)方法一：

取03的中點(diǎn)尸，因?yàn)锳OCD為正三角形，所以CFLOD,

過(guò)。作OA///CF與BC交于點(diǎn)M,則

所以O(shè)M,OD,04兩兩垂直，

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)N,OD,。4為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則8(0,-1,0),cg,；,O),0(0,1,0),

17/

設(shè)4(0,0,t),則E(0,-,一),

33

因?yàn)椤?_L平面8c0,故平面8c。的一個(gè)法向量為04=(0,0,f),

設(shè)平面BCE的法向量為H=(x,y,z),

又BC=(今別即畤爭(zhēng)，

A/3,3八

n?BC=0——x+—y=0

所以由,得4H《22

n-BE=042f八

—y+—z=0

,33

令%=百，貝!|y=_],z=—,故〃=(G,T,2),

因?yàn)槎娼荅-8C-。的大小為45。,

所以|cos<。4>|=°川

\n\\OA\

解得r=l,所以。4=1,

又=gxlxlx*=曰,所以5刖=冬

5AXX1

VA-BCD=11ABCD,°=1^y=^-

方法二：

過(guò)七作環(huán)上班)，交BD于點(diǎn)、F,過(guò)戶作FG,8c于點(diǎn)G,連結(jié)EG,

由題意可知，EF//AO,又A。，平面BCD

所以￡F_L平面BCD,又3Cu平面38,

所以EFLBC,又BCLFG,FGQEF=F

所以BCJ■平面EFG,又EFu平面￡FG,

所以BCLEG,

則NEG尸為二面角E—8C-O的平面角，即N￡G9=45。,

又CD=DO=OB=OC=1,

所以ZBOC=120。，則NOCB=ZOBC=30°,

故48=90。，

所以尸G//CD,

H4OEDFEF2

因?yàn)閠一=—=——=-

ADODAO3

31?

則AO二一尸=一，￡>尸=一

233

所喳弓,則叫?

2

3

23

所以所=G/=—,則AO=—斯=1,

32

XX

所以%BCD=~S印CD.AO=—-GX1X1=.

532o

15.（2020?江蘇）在三棱錐A—BCD中，已知CB=C￡>=6,BD=2,O為處的中點(diǎn)，4。_1_平面88,

AO=2,E為AC中點(diǎn).

(1)求直線他與。E所成角的余弦值;

(2)若點(diǎn)尸在BC上，滿足=設(shè)二面角尸一DE—C的大小為。，求sin。的值.

4

CB=CD,O為加的中點(diǎn)，:.COLBD.

0A所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

BD=2,：.OB=OD=1,則OC=J8C2-O82=后斤=2.

B(1,0,0),A(0,0,2),C(0,2,0),項(xiàng)-1,0,0),

E是AC的中點(diǎn)，￡(0,1,1),

AB=(l,0,-2),DE=(1,1,1).

設(shè)直線A3與DE所成角為a,

|A8?。臼|1-2|

則cosa=

\AB\-\DE\~VT+4-71+1+115

即直線AB與。石所成角的余弦值為姮；

15

(2)BF=-BC,BF=-BC,

44

設(shè)F(x,y,z),則(x-1,y,z)=(--,-,0),F(-,1,0).

-'4242

/.DE=(1,1,1),DF=(-,-,0),DC=(1,2,0).

42

設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為m=(占,y,4),

m?DE=玉+y+Z]=0

由，7]，取引=—2,得加=(—2,7,—5)；

mDF=-%+-y=0

4121

設(shè)平面DEC的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,z2),

n?DE=x,+%+z=0■g

由《2/272,取w=_2,得〃=(-2,1,1).

n-DC=x2+2y2=0

.-.Icos.1=也辿=/二+7=叵

\m\-\n\J4+49+25?<4+1+113

16.(2020?新課標(biāo)HI)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A4CQ中，點(diǎn)E,F分別在棱。R,B4上，且2OE=ER,

BF=2FB-

(1)證明：點(diǎn)C1在平面用內(nèi)；

(2)若他=2,4)=1,A4,=3,求二面角A-EF-A的正弦值?

【解答】(1)證明：在AA上取點(diǎn)M,使得AM=2AM,連接EM,BM,EC,,FCt,

在長(zhǎng)方體ABCD-A4G〃中，有DDJ/AAJ/BB\,S.DD]=AA]=BBt.

又2DE=ED\,AM=2AM,BF=2FB,,:.DE=AM=FBt.

四邊形BFAM和四邊形EDAM都是平行四邊形.

AF//MB,,且=M與，AD//ME,且AD=ME.

又在長(zhǎng)方體ABC。—AAGQ中，有AO//4G，且4。=百0，

.?.4G//A/E且4cl=ME,則四邊形4GEM為平行四邊形，

EC、"MB、,且EC；=MB,,

又AF"MB、,且AF=M4，.-.AF//EQ,且AF=E0,

則四邊形AFC,E為平行四邊形，

.?.點(diǎn)G在平面的'內(nèi)；

(2)解：在長(zhǎng)方體ABCD-ABCR中，以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以GR,GC所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

AB=2,AD=\,A4=3,2DE=ED,,BF=2FB、,

"(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A(2,1,0),

貝IJE尸=(-2』,一1),AE=(0,-l,-l),AE=(0,-l,2).

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為馬=(X1,y,Z|).

則｛，取石=1,得勺=(1』,一1)；

勺?AE=-y]一Z1=0

設(shè)平面A.EF的一個(gè)法向量為%=U2,j2,z2).

%-EF=-2X+y-z=0

則《222取9=1,得%=(1,4,2).

%?A￡*=-y2+2Z2=0

”「”1+4-277

cos<〃],n2>=

I“II?I%I5后一7

設(shè)二面角A-EF—A為e,則Sind=

二面角A-EF-A,的正弦值為年.

17.(2019?天津)如圖，AE_L平面ABC。，CF//AE,ADIIBC,AD±AB,AB=AD=\,AE=BC=2.

(I)求證：8尸//平面ME;

(ID求直線CE與平面印組所成角的正弦值；

(III)若二面角E—3D—F的余弦值為！，求線段CV的長(zhǎng).

3

【解答】(I)證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AD,AE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

可得A(0,0,0),B(l,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).

設(shè)C尸=/?(/?>0),則尸(1,2,h).

則的=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得8F-A8=0.

又直線BFC平面AD