人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)課件

第十一章三角形章末整合集訓(xùn)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)課件

與三角形有關(guān)的線段1.

如圖，人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的道理是(

D

)A.

兩點(diǎn)之間，線段最短B.

垂線段最短C.

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等D.

三角形具有穩(wěn)定性D123456789101112132.

(2023·石家莊趙縣期中)已知六組三條線段的比：①2∶3∶4；②1∶2∶3；③2∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥6∶8∶10.其中可構(gòu)

成三角形的有(

C

)A.

1組B.

2組C.

3組D.

4組C123456789101112133.

如圖，△

ABC

三邊上的中線

AD

，

BE

，

CF

交于點(diǎn)

G

，若

S△

ABC

＝

24，則圖中陰影部分的面積是

?.8

123456789101112134.

在△

ABC

中，

AB

＝8，

AC

＝1.

(1)

BC

的取值范圍為

?.(2)若

BC

是整數(shù)，則

BC

的長(zhǎng)為

；△

ABC

是

三角形(按邊

分類).(3)已知

AD

是△

ABC

的中線，若△

ACD

的周長(zhǎng)為10，則三角形

ABD

的

周長(zhǎng)為

?.7＜

BC

＜9

8

等腰17

12345678910111213思路點(diǎn)撥5.

在△

ABC

中，(1)若△

ABC

為等腰三角形，且周長(zhǎng)為16，一邊長(zhǎng)為6，則另兩邊長(zhǎng)分別

為

?；

若腰長(zhǎng)為6，則三邊長(zhǎng)分別為6，4，6，∴另兩邊長(zhǎng)分別為6，4；若

底邊長(zhǎng)為6，則三邊長(zhǎng)分別為5，5，6，∴另兩邊長(zhǎng)分別為5，5.6，4或5，5

12345678910111213(2)若∠

B

＝∠

C

＝36°，

D

為邊

BC

上一點(diǎn)，連接

AD

，當(dāng)△

ADC

為等

腰三角形時(shí)，∠

ADB

的度數(shù)為

?；72°或108°

(3)若∠

B

＝80°，∠

C

＝60°，

CE

是△

ABC

的角平分線，

D

是射線

CE

上一點(diǎn)，連接

DB

，當(dāng)△

BDC

為直角三角形時(shí)，∠

DBA

的度數(shù)為

?；(4)若∠

B

＝∠

C

，

BD

是

AC

邊上的高，∠

ABD

＝40°，則∠

C

的度數(shù)

為

?.20°或10°

65°或25°

12345678910111213[結(jié)論]在解決以上問題的過程中都需要“分類討論”，具體為：(1)因等腰三角形中

不確定，需“分類討

論”；(2)因等腰三角形中

不確定，需“分類討論”；(3)因直角三角形中

不確定，需“分類討論”；(4)“高”的問題因

不確定，需“分類討論”.已知邊為腰長(zhǎng)還是底邊長(zhǎng)已知角為頂角還是底角直角頂點(diǎn)三角形的形狀12345678910111213

與三角形有關(guān)的角

A.

銳角三角形B.

直角三角形C.

鈍角三角形D.

無(wú)法確定【解析】設(shè)∠

A

＝

x

°，則∠

B

＝2

x

°，∠

C

＝3

x

°.由∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＝180°，得

x

＋2

x

＋3

x

＝180，∴

x

＝30，故∠

C

＝30°×3＝90°.∴△

ABC

是直角三角形.B123456789101112137.

(2023·承德承德縣期末)如圖，已知

P

是射線

ON

上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)

O

重合)，∠

O

＝30°，若△

AOP

為鈍角三角形，則∠

A

的取值范圍是

(

D

)A.

0°＜∠

A

＜60°B.

90°＜∠

A

＜180°C.

0°＜∠

A

＜30°或90°＜∠

A

＜130°D.

0°＜∠

A

＜60°或90°＜∠

A

＜150°D12345678910111213【解析】∠

O

＝30°，若∠

A

為鈍角，則90°＜∠

A

＜180°－30°，即90°＜∠

A

＜150°；若∠

A

為銳角，則0°＜∠

APN

＜90°.∵∠

APN

＝∠

O

＋∠

A

，∴∠

A

＋30°＜90°.∴0°＜∠

A

＜60°.綜上，∠

A

的取值范圍為0°＜∠

A

＜60°或90°＜∠

A

＜150°.123456789101112138.

(2023·石家莊新華區(qū)期末)如圖，在△

ABC

中，∠

A

＝80°，

E

，

F

分別是

AC

，

AB

上的點(diǎn)，點(diǎn)

D

在

BC

的延長(zhǎng)線上，連接

DE

，

DF

，其中

∠

BFD

＝α，∠

DEC

＝β，則∠

EDF

＝

(用含α，β的代

數(shù)式表示).80°＋β－α

12345678910111213【解析】∵α是△

AFH

的一個(gè)外角，∴α＝∠

A

＋∠

AHF

.

∵∠

A

＝80°，∴∠

AHF

＝α－80°.∵β是△

DEH

的一個(gè)外角，∴β＝∠

EDF

＋∠

DHE

.

∵∠

DHE

＝∠

AHF

，∴β＝∠

EDF

＋∠

AHF

.

∴β＝∠

EDF

＋α－80°.∴∠

EDF

＝80°＋β－α.123456789101112139.

如圖，已知∠

MON

＝40°，

OE

平分∠

MON

，

A

，

B

，

C

分別是射

線

OM

，

OE

，

ON

上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)

A

，

B

，

C

不與點(diǎn)

O

重合)，連接

AC

交

射線

OE

于點(diǎn)

D

.

設(shè)∠

OAC

＝

x

.(1)如圖1，若

AB

∥

ON

，則①∠

ABO

的度數(shù)是

.②當(dāng)∠

BAD

＝

∠

ABD

時(shí)，

x

＝

；當(dāng)∠

BAD

＝∠

BDA

時(shí)，

x

＝

?.20°

120°

60°

12345678910111213(2)如圖2，若

AB

⊥

OM

，則是否存在這樣的

x

的值，使得△

ADB

中有

兩個(gè)相等的角？若存在，求出

x

的值并畫出相應(yīng)的圖形；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

分以下兩種情況：12345678910111213①當(dāng)點(diǎn)

D

在線段

OB

上時(shí)，若∠

BAD

＝∠

ABD

，如圖1所示，則

x

＝∠

OAB

－∠

BAD

＝∠

OAB

－∠

ABO

＝90°－70°＝20°；若∠

BAD

＝∠

BDA

，如圖2所示，12345678910111213

12345678910111213若∠

ADB

＝∠

ABD

，如圖3所示，則

x

＝∠

OAB

－∠

BAD

＝90°－(180°－2∠

ABO

)＝90°－(180°－

2×70°)＝50°；12345678910111213

12345678910111213

多邊形及其內(nèi)角和10.

如圖，△

HFG

的邊

FH

，

FG

分別經(jīng)過五邊形

ABCDE

的兩個(gè)相鄰

的頂點(diǎn)

E

，

D

，點(diǎn)

F

在五邊形內(nèi).已知∠

HFG

＝70°，∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＝280°，則∠1＋∠2＝(

D

)A.

180°B.

170°C.

160°D.

150°D1234567891011121311.

游戲中有數(shù)學(xué)智慧.找起點(diǎn)游戲規(guī)定：從起點(diǎn)走五段相等直路之后

回到起點(diǎn)，要求每走完一段直路后向右邊偏行，以下選項(xiàng)正確的是

(

A

)A.

每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B.

每段直路要短C.

每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D.

每段直路要長(zhǎng)第11題圖A12345678910111213

第11題圖1234567891011121312.

(2023·衡水桃城區(qū)三模)如圖，正十邊形與正方形共邊

AB

，延長(zhǎng)正

方形的一邊

AC

與正十邊形的一邊

ED

，兩線交于點(diǎn)

F

，設(shè)∠

AFD

＝

x

°，則

x

的值為(

B

)A.

15B.

18C.

21D.

24第12題圖B12345678910111213【解析】如圖，延長(zhǎng)

AB

交

DF

于點(diǎn)

H

，

∴∠

AHF

＝∠

HBD

＋∠

HDB

＝72°.∵∠

BAC

＝90°，∴∠

AFD

＝90°－∠

AHF

＝18°，即

x

＝18.第12題圖1234567891011121313.

(2023·河北中考改編)將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，

其俯視圖如圖1，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線

l

上.兩側(cè)

螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中

間正六邊形的一邊與直線

l

平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個(gè)

頂點(diǎn).(1)求圖1中∠β的度數(shù)；解：(1)∵正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為120°，∴∠β＝360°－120°×2＝120°.12345678910111213(2)求圖2中∠α的度數(shù).解：(2)如圖.根據(jù)中間正六邊形的一邊與直線

l

平行及多邊形外角和，得∠

ACB

＝

180°－120°＝60°，∠

BAC

＝∠α＝90°－60°＝30°.12345678910111213第十二章全等三角形章末整合集訓(xùn)

全等三角形的判定1.

下列各圖中，

a

，

b

，

c

為三角形的邊長(zhǎng)，根據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，判

斷甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形和如圖所示的△

ABC

不一定全等的是

(

A

)A1234567892.

如圖，在一個(gè)平分角的儀器中，

AB

＝

AD

，

BC

＝

DC

.

利用它畫圖

時(shí)，先將點(diǎn)

A

放在角的頂點(diǎn)，

AB

和

AD

沿著角的兩邊放下，沿

AC

畫一

條射線

AE

，

AE

即為所求.操作中△

ADC

≌△

ABC

依據(jù)的數(shù)學(xué)道理是

(

C

)CA.

兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等B.

兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等C.

三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等D.

兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等第2題圖1234567893.

如圖所示，已知

BC

＝

EC

，∠

BCE

＝∠

ACD

，要使△

ABC

≌△

DEC

，則應(yīng)添加的一個(gè)條件為

(填寫一個(gè)即

可).第3題圖AC

＝

DC

(答案不唯一)

1234567894.

如圖，

AB

交

CD

于點(diǎn)

O

，在△

AOC

與△

BOD

中，有以下三個(gè)條件：①

OC

＝

OD

；②

AC

＝

BD

；③∠

A

＝∠

B

.

請(qǐng)你在上述三個(gè)條件

中選擇兩個(gè)作為條件，另一個(gè)能作為這兩個(gè)條件推出來(lái)的結(jié)論，并證明

你的結(jié)論(只要求寫出一種正確的選法).(1)你選的條件為

，結(jié)論為

；(填序號(hào))①③

②(答案不唯一)

123456789(2)證明你的結(jié)論.

123456789

全等三角形的判定與性質(zhì)5.

如圖，

AD

＝

BC

，

AE

＝

CF

，

E

，

F

是

BD

上的兩點(diǎn)，

BE

＝

DF

，

∠

AEB

＝100°，∠

ADB

＝30°，則∠

BCF

的度數(shù)為(

C

)A.

30°B.

60°C.

70°D.

80°C1234567896.

如圖，已知線段

AB

＝20米，

MA

⊥

AB

于點(diǎn)

A

，

MA

＝6米，在線段

MA

上有一點(diǎn)

C

，射線

BD

⊥

AB

于點(diǎn)

B

，點(diǎn)

P

從點(diǎn)

B

出發(fā)向點(diǎn)

A

運(yùn)動(dòng)，

每秒走1米，點(diǎn)

Q

從點(diǎn)

B

出發(fā)向點(diǎn)

D

運(yùn)動(dòng)，每秒走3米，點(diǎn)

P

，

Q

同時(shí)從

點(diǎn)

B

出發(fā)，則出發(fā)

x

秒后，使△

CAP

與△

PBQ

全等，則

x

的值為(

A

)A.

5B.

5或10C.

10D.

6或10A123456789

1234567897.

如圖，在Rt△

ABC

中，

AC

＝

BC

，∠

ACB

＝90°，

CF

交

AB

于點(diǎn)

E

，

BD

⊥

CF

于點(diǎn)

D

，

AF

⊥

CF

.

(1)求證：

BD

＝

CF

；(1)證明：∵∠

ACB

＝90°，∴∠

ACF

＋∠

BCD

＝90°.∵

BD

⊥

CF

，∴∠

CBD

＋∠

BCD

＝90°.∴∠

ACF

＝∠

CBD

.

∵

BD

⊥

CF

，

AF

⊥

CF

，∴∠

BDC

＝∠

F

＝90°.123456789

123456789(2)若

AF

＝9，

DF

＝10，則

BD

＝

?.【解析】∵△

ACF

≌△

CBD

，

AF

＝9，∴

CD

＝

AF

＝9，

BD

＝

CF

.

∵

DF

＝10，∴

CF

＝

CD

＋

DF

＝19.∴

BD

＝

CF

＝19.19

123456789

角平分線的性質(zhì)與判定

123456789根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是(

A

)A.

∠1＝∠2且

CM

＝

DM

B.

∠1＝∠3且

CM

＝

DM

C.

∠1＝∠2且

OD

＝

DM

D.

∠2＝∠3且

OD

＝

DM

A1234567899.

[觀察發(fā)現(xiàn)]如圖1，

OP

平分∠

MON

，先在

OM

，

ON

上分別取

OA

，

OB

，使

OA

＝

OB

，再在

OP

上任取一點(diǎn)

D

，連接

AD

，

BD

，請(qǐng)你猜想

AD

與

BD

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解：[觀察發(fā)現(xiàn)]

AD

＝

BD

.

理由：∵

OP

平分∠

MON

，∴∠

DOA

＝∠

DOB

.

∵

OA

＝

OB

，

OD

＝

OD

，∴△

OAD

≌△

OBD

(SAS).∴

AD

＝

DB

.

123456789[拓展應(yīng)用]如圖2，在△

ABC

中，∠

ACB

是直角，∠

B

＝60°，

AD

，

CE

分別是∠

BAC

，∠

BCA

的平分線，

AD

，

CE

相交于點(diǎn)

F

，請(qǐng)你寫

出

FE

與

FD

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.[拓展應(yīng)用]

FE

＝

FD

.

理由：如圖，在

AC

上截取

AG

＝

AE

，連接

FG

，易得△

AEF

≌△

AGF

，∴∠

AFE

＝∠

AFG

，

FE

＝

FG

.

123456789∵∠

ACB

是直角，即∠

ACB

＝90°，∠

B

＝60°，∴∠

BAC

＝30°.∵

AD

，

CE

分別是∠

BAC

，∠

BCA

的平分線，

∴∠

FAC

＋∠

FCA

＝15°＋45°＝60°＝∠

AFE

＝∠

CFD

.

∴∠

AFE

＝∠

AFG

＝∠

CFD

＝60°.123456789∴∠

CFG

＝180°－60°－60°＝60°.∴∠

CFG

＝∠

CFD

.

又∵

FC

為公共邊，∴△

CFG

≌△

CFD

(ASA).∴

FG

＝

FD

.

∴

FE

＝

FD

.

123456789第十三章軸對(duì)稱章末整合集訓(xùn)

軸對(duì)稱1.

下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形且對(duì)稱軸條數(shù)最多的圖形是(

B

)B12345678910112.

如圖，將一張三角形紙片

ABC

沿過點(diǎn)

B

的直線折疊，使點(diǎn)

C

落在

AB

邊上的點(diǎn)

E

處，折痕為

DB

，則下列結(jié)論一定正確的是(

D

)A.

AD

＝

BD

B.

AE

＝

AC

C.

ED

＋

EB

＝

DB

D.

AE

＋

CB

＝

AB

D12345678910113.

已知在平面直角坐標(biāo)系中，

A

，

B

兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－2，3)和(2，

3)，有下列四個(gè)結(jié)論：①

A

，

B

關(guān)于

x

軸對(duì)稱；②

A

，

B

關(guān)于

y

軸對(duì)稱；③

A

，

B

之間的距離為6；④

A

，

B

之間的距離為4.其中正確的結(jié)論有

個(gè).2

1234567891011

線段垂直平分線的判定4.

如圖，

AD

為△

ABC

的角平分線，

DE

⊥

AC

于點(diǎn)

E

，

DF

⊥

AB

于點(diǎn)

F

，

EF

交

AD

于點(diǎn)

M

.

求證：

AD

垂直平分

EF

.

1234567891011

1234567891011

等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)與判定5.

(2023·廊坊霸州市期中)如圖，上午8時(shí)，漁船從

A

處出發(fā)，以20海里/

時(shí)的速度向正西方向航行，9時(shí)30分到達(dá)

B

處.從

A

處測(cè)得燈塔

C

在南偏

西30°方向，距

A

處30海里處.則

B

處到燈塔

C

的距離是(

C

)A.

20海里B.

25海里C.

30海里D.

35海里C1234567891011【解析】如圖，連接

BC

.

∴∠

BAC

＝90°－∠1＝60°.∵

AC

＝30海里，∴

AB

＝

AC

.

∴△

ABC

是等邊三角形.∴

BC

＝

AC

＝30海里.12345678910116.

在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AB

邊的垂直平分線與

AC

所在直線相交所

得的銳角為40°，求∠

B

的度數(shù).解：此題分兩種情況討論：(1)如圖1，

AB

邊的垂直平分線與

AC

邊交于點(diǎn)

D

，與

AB

邊交于點(diǎn)

E

，

∠

ADE

＝40°，則∠

A

＝50°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

＝(180°－50°)÷2＝65°.1234567891011(2)如圖2，

AB

邊的垂直平分線與

CA

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

D

，與

AB

邊交于

點(diǎn)

E

，∠

ADE

＝40°，則∠

DAE

＝50°.∴∠

BAC

＝130°.∵

AB

＝

AC

，∴∠

B

＝∠

C

＝(180°－130°)÷2＝25°.綜上所述，∠

B

的度數(shù)為65°或25°.12345678910117.

如圖，△

ABC

是等邊三角形，

D

是邊

BC

上(除

B

，

C

外)的任意一

點(diǎn)，∠

ADE

＝60°，且

DE

交△

ABC

的外角∠

ACF

的平分線

CE

于點(diǎn)

E

.

求證：(1)∠1＝∠2；證明：(1)∵△

ABC

是等邊三角形，∠

ADE

＝60°，∴∠

ADE

＝∠

B

＝60°.又∵∠

ADC

＝∠2＋∠

ADE

＝∠1＋∠

B

，∴∠1＝∠2.1234567891011(2)

AD

＝

DE

.

證明：(2)如圖，在

AB

上取一點(diǎn)

M

，使

BM

＝

BD

，連

接

MD

，則∠

BMD

＝∠

BDM

.

∵△

ABC

是等邊三角形，∴∠

B

＝∠

ACB

＝60°，

AB

＝

BC

.

∴∠

BMD

＝60°.∴∠

AMD

＝120°.1234567891011

1234567891011

含30°角的直角三角形的性質(zhì)8.

(2023·石家莊第48中學(xué)期末)如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，

∠

ABC

＝60°，

BC

＝4

cm，

D

為

BC

的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)

E

以1

cm/s的速度

從

A

點(diǎn)出發(fā)，沿著

A

→

B

→

A

的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)

E

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

t

s(0≤

t

＜12)，連接

DE

，當(dāng)△

BDE

是直角三角形時(shí)，

t

的值為(

D

)A.

4B.

7或9C.

4或9D.

4或7或9第8題圖D1234567891011【解析】在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

ABC

＝60°，則∠

A

＝180°

－∠

ACB

－∠

ABC

＝30°，∵

BC

＝4

cm，∴

AB

＝2

BC

＝8

cm.∵

D

為

BC

中點(diǎn)，∴

BD

＝2

cm.∵0≤

t

＜12，∴點(diǎn)

E

的運(yùn)動(dòng)路線為從

A

到

B

，再?gòu)狞c(diǎn)

B

到

AB

的中點(diǎn)，按運(yùn)動(dòng)時(shí)間分為0≤

t

≤8和8＜

t

＜12兩種情況.第8題圖1234567891011

②當(dāng)8＜

t

＜12時(shí)，則此時(shí)

E

點(diǎn)又經(jīng)過

t

＝7秒時(shí)的位置，此時(shí)

t

＝8

＋1＝9.綜上所述，

t

的值為4或7或9.第8題圖12345678910119.

(2023·邯鄲第23中學(xué)期末)如圖，已知∠

AOB

＝60°，

OP

平分∠

AOB

，

PC

⊥

OA

于點(diǎn)

C

，

D

是

OB

上的動(dòng)點(diǎn)，若

PO

＝6

cm，則

PD

長(zhǎng)

的最小值是

?.第9題圖3

cm

1234567891011

軸對(duì)稱的相關(guān)作圖10.

(2023·唐山第12中學(xué)期末)如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，∠

A

＝

36°，點(diǎn)

D

，

P

分別是圖中所作直線和射線與

AB

，

CD

的交點(diǎn).根據(jù)圖

中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是(

D

)A.

∠

ABP

＝∠

A

B.

AD

＝

CD

C.

∠

PBC

＝∠

ACD

D.

∠

BPC

＝118°D1234567891011

1234567891011∵

DA

＝

DC

，∴B選項(xiàng)不符合題意.∵

DA

＝

DC

，∴∠

ACD

＝∠

A

＝36°.∴∠

PBC

＝∠

ACD

＝36°.∴C選項(xiàng)不符合題意.∵∠

PBC

＝36°，∠

ACD

＝36°，∴∠

PCB

＝36°.∴∠

BPC

＝180°－36°－36°＝108°.∴D選項(xiàng)符合題意.123456789101111.

要在一條筆直的公路

l

邊上建一個(gè)快遞配送點(diǎn)，方便為同側(cè)的

A

，

B

兩個(gè)居民小區(qū)發(fā)送快件.(1)試確定快遞配送點(diǎn)

P

的位置，使它分別到

A

，

B

兩個(gè)居民小區(qū)的距離

相等，請(qǐng)?jiān)趫D1中，畫出點(diǎn)

P

的大致位置；解：(1)如圖1所示，點(diǎn)

P

即為所求.1234567891011(2)試確定快遞配送點(diǎn)

M

的位置，使它到

A

，

B

兩個(gè)居民小區(qū)的距離之

和最短.請(qǐng)?jiān)趫D2中，畫出點(diǎn)

M

的大致位置；解：(2)如圖2所示，點(diǎn)

M

即為所求.1234567891011(3)如圖3，

D

是△

ABC

內(nèi)一點(diǎn)，連接

BD

，

DC

，延長(zhǎng)

BD

交

AC

于點(diǎn)

E

.

∵在△

DEC

中，

DE

＋

EC

＞

DC

①，在△

ABE

中，

AB

＋

AE

＞

BD

＋

DE

②，∴①＋②，得

DE

＋

EC

＋

AB

＋

AE

＞

DC

＋

BD

＋

DE

.

∴

AB

＋

AC

＞

BD

＋

DC

.

如果在

A

，

B

兩個(gè)居民小區(qū)之間規(guī)劃一個(gè)正方形生態(tài)保護(hù)區(qū)，送快遞的

路線不能穿過該區(qū)域.請(qǐng)同學(xué)們用以上這個(gè)結(jié)論，在圖4中，畫出快遞配

送點(diǎn)

Q

的大致位置，使得它到兩個(gè)居民小區(qū)路程之和最短.1234567891011解：(3)如圖3所示，點(diǎn)

Q

即為所求.1234567891011第十四章整式的乘法與因式分解章末整合集訓(xùn)

冪的運(yùn)算

A.

3B.

4C.

6D.

92.

不一定相等的一組是(

D

)A.

a

＋

b

與

b

＋

a

B.

3

a

與

a

＋

a

＋

a

C.

a3與

a

·

a

·

a

D.

3(

a

＋

b

)與3

a

＋

b

BD123456789101112131415161718193.

已知

a

＝255，

b

＝344，

c

＝433，

d

＝522，則這四個(gè)數(shù)從大到小排列

是

?.【解析】

a

＝255＝3211，

b

＝344＝8111，

c

＝433＝6411，

d

＝522＝2511，

∵81＞64＞32＞25，∴

b

＞

c

＞

a

＞

d

.b

＞

c

＞

a

＞

d

123456789101112131415161718194.

在冪的運(yùn)算中規(guī)定：若

ax

＝

ay

(

a

＞0且

a

≠1，

x

，

y

是正整數(shù))，則

x

＝

y

，利用上面結(jié)論解答下列問題：(1)若9

x

＝36，求

x

的值；解：∵9

x

＝36，32

x

＝36，∴2

x

＝6.解得

x

＝3.12345678910111213141516171819(2)若3

x＋2－3

x＋1＝18，求

x

的值；解：∵3

x＋2－3

x＋1＝18，∴3

x＋1×3－3

x＋1＝18.∴2×3

x＋1＝2×32.∴

x

＋1＝2.解得

x

＝1.12345678910111213141516171819(3)若

m

＝2

x

＋1，

n

＝4

x

＋2

x

，用含

m

的代數(shù)式表示

n

.解：∵

m

＝2

x

＋1，

n

＝4

x

＋2

x

，∴2

x

＝

m

－1.∴

n

＝(2

x

)2＋2

x

＝2

x

(2

x

＋1)＝

m

(

m

－1)＝

m2－

m

.12345678910111213141516171819

整式的乘除5.

(2023·唐山路北區(qū)期中)如果(

x

＋

m

)(

x

－5)＝

x2－3

x

＋

k

，那么

k

，

m

的值分別是(

C

)A.

k

＝10，

m

＝2B.

k

＝10，

m

＝－2C.

k

＝－10，

m

＝2D.

k

＝－10，

m

＝－2C12345678910111213141516171819

(2)(30

x4－20

x3＋10

x

)÷10

x

；解：原式＝3

x3－2

x2＋1.(3)(

x

－3

y

)(3

x

＋

y

).解：原式＝3

x2－3

y2－8

xy

.123456789101112131415161718197.

先化簡(jiǎn)，再求值：已知

x

(

x

－1)－(

x2－

y

)＝－3，求

x2＋

y2－2

xy

的值.解：∵

x

(

x

－1)－(

x2－

y

)＝－3，∴

x2－

x

－

x2＋

y

＝－3.∴

x

－

y

＝3.

∴

x2＋

y2－2

xy

＝(

x

－

y

)2＝32＝9.8.

小明與小樂兩人共同計(jì)算(2

x

＋

a

)(3

x

＋

b

)，小明抄錯(cuò)為(2

x

－

a

)(3

x

＋

b

)，得到的結(jié)果為6

x2－13

x

＋6；小樂抄錯(cuò)為(2

x

＋

a

)(

x

＋

b

)，得到

的結(jié)果為2

x2－

x

－6.(1)式子中的

a

，

b

的值各是多少？12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819(2)請(qǐng)計(jì)算出原題的答案.解：(2)(2

x

＋

a

)(3

x

＋

b

)＝(2

x

＋3)(3

x

－2)＝6

x2＋5

x

－6.12345678910111213141516171819

乘法公式9.

(2

m

＋3)(－2

m

－3)的計(jì)算結(jié)果是(

C

)A.

4

m2－9B.

－4

m2－9C.

－4

m2－12

m

－9D.

－4

m2＋12

m

－910.

若

a4＋

b4＋

a2

b2＝5，

ab

＝2，則

a2＋

b2的值是(

B

)A.

－2B.

3C.

±3D.

2【解析】∵

ab

＝2，∴

a2

b2＝4.∴

a4＋

b4＝1.∵

a4＋

b4＋2

a2

b2＝(

a2＋

b2)2＝1＋2×4＝9，∴

a2＋

b2＝3.CB1234567891011121314151617181911.

(2023·石家莊第40中學(xué)期中)當(dāng)

n

為自然數(shù)時(shí)，(

n

＋1)2－(

n

－3)2一

定能被下列哪個(gè)數(shù)整除(

D

)A.

5B.

6C.

7D.

8【解析】(

n

＋1)2－(

n

－3)2＝(

n

＋1＋

n

－3)(

n

＋1－

n

＋3)＝4(2

n

－2)＝8(

n

－1)，∴當(dāng)

n

為自然數(shù)時(shí)，(

n

＋1)2－(

n

－3)2一定能被8整除.D1234567891011121314151617181912.

若

x

，

y

均為實(shí)數(shù)，43

x

＝2

021，47

y

＝2

021，則43

xy

×47

xy

＝(

)

x＋

y

.【解析】∵43

x

＝2

021，47

y

＝2

021，∴43

xy

×47

xy

＝(43

x

)

y

×(47

y

)

x

＝2

021

y

×2

021

x

＝2

021

x＋

y

.2021

1234567891011121314151617181913.

現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的長(zhǎng)方形紙片(邊長(zhǎng)如圖).(1)取甲、乙紙片各1塊，其面積和為

?；【解析】(1)∵甲、乙都是正方形紙片，其邊長(zhǎng)分別為

a

，

b

，∴取甲、乙紙片各1塊，其面積和為

a2＋

b2.a2＋

b2

12345678910111213141516171819(2)嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再

取乙紙片4塊，還需取丙紙片

塊.【解析】(2)要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，則它們的面積和為

a2＋4

b2，若再加上4

ab

(剛好是4個(gè)丙)，則a2＋4

b2＋4

ab

＝(

a

＋2

b

)2，則剛好能組成邊長(zhǎng)為

a

＋2

b

的正方形，如圖所示，∴應(yīng)取丙紙片4塊.4

12345678910111213141516171819

因式分解14.

(2023·邯鄲永年區(qū)期末)下列多項(xiàng)式因式分解：①

x2－6

xy

＋9

y2＝(

x

－3

y

)2；②16＋

a4＝(4＋

a2)(4－

a2)；③25

ab2＋10

ab

＋5

b

＝5

b

(5

ab

＋2

a

)④

x2－(2

y

)2＝(

x

－2

y

)(

x

＋2

y

).其中正確的有(

B

)A.

1個(gè)B.

2個(gè)C.

3個(gè)D.

4個(gè)【解析】①

x2－6

xy

＋9

y2＝(

x

－3

y

)2是正確的；②16＋

a4不能因式分解，故原來(lái)的因式分解錯(cuò)誤；③25

ab2＋10

ab

＋5

b

＝5

b

(5

ab

＋2

a

＋1)，故原來(lái)的因式分解錯(cuò)誤；④

x2－(2

y

)2＝(

x

－2

y

)(

x

＋2

y

)是正確的；故其中正確的有2個(gè).B1234567891011121314151617181915.

(2023·邢臺(tái)平鄉(xiāng)縣期末)已知

x

，

y

，

z

是正整數(shù)，

x

＞

y

，且

x2－

xy

－

xz

＋

yz

＝23，則

x

－

z

等于(

B

)A.

－1B.

1或23C.

1D.

－1或－23B12345678910111213141516171819

1234567891011121314151617181916.

若｜

a

＋2｜＋

a2－4

ab

＋4

b2＝0，則

a

＝

，

b

＝

?.17.

老師有(

n

＋5)2－(

n

－1)2個(gè)禮物(其中

n

≥1，且

n

為整數(shù))，現(xiàn)在將

這些禮物平均分給班級(jí)的同學(xué)，恰好能分完，那么下列選項(xiàng)中：①4

個(gè)；②12個(gè)；③(

n

＋2)個(gè)；③(6

n

＋8)個(gè)，可以是班級(jí)的同學(xué)個(gè)數(shù)的

是

?.－2

－1

①②③

12345678910111213141516171819【解析】(

n

＋5)2－(

n

－1)2＝(

n

＋5＋

n

－1)(

n

＋5－

n

＋1)＝12

n

＋24，∵12

n

＋24＝4(3

n

＋6)，12

n

＋24＝12(

n

＋2)，12

n

＋24＝2(6

n

＋12)，∴(

n

＋5)2－(

n

－1)2能夠被4或12或

n

＋2整除.∴班級(jí)的同學(xué)個(gè)數(shù)可以是4或12或

n

＋2.1234567891011121314151617181918.

分解因式：(1)6

ab3－24

a3

b

；解：原式＝6

ab

(

b2－4

a2)＝6

ab

(

b

＋2

a

)·(

b

－2

a

).(2)

m2

x2＋

n2

y2－

m2

y2－

n2

x2；解：原式＝

m2

x2－

m2

y2－

n2

x2＋

n2

y2

＝

m2(

x2－

y2)－

n2(

x2－

y2)

＝(

x2－

y2)(

m2－

n2)

＝(

x

＋

y

)(

x

－

y

)(

m

＋

n

)(

m

－

n

).12345678910111213141516171819(3)4

m2

n2－(

m2＋

n2)2；解：原式＝(2