KS5U2024高考壓軸卷-數(shù)學（理）（全國甲卷） 含解析

KS5U2024高考壓軸卷全國甲卷數(shù)學試卷(理工農醫(yī)類)說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4頁．考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效．考試結束后，將答題卡交回．2．本試卷滿分150分，120分鐘完卷．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位i，cosθ和sinθ聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美，被譽為“數(shù)學中的天橋”，若復數(shù)滿足，則正確的是（）A.的共軛復數(shù)為 B.的實部為1C.的虛部為i D.的模為13.在的展開式中，含項的系數(shù)是（）A.16 B.19 C.21 D.244.已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.5.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的（）A. B.C. D.6.已知向量，為坐標原點，動點滿足約束條件，則的最大值為（）A. B.2 C. D.37.2023年7月28日至8月8日，第31屆世界夏季大學生運動會在成都市舉行，組委會將5名大學生分配到A，B，C三個路口進行引導工作，每個路口至少分配一人，每人只能去一個路口．若甲、乙要求去同一個路口，則不同的分配方案共有（）A.18種 B.24種 C.36種 D.48種8.α，β，γ為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則m⊥β的一個充分條件是A. B.C. D.9.如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進了社會經(jīng)濟發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系．(a，b．為常數(shù))，若該果蔬在7℃的保鮮時間為288小時，在21℃的保鮮時間為32小時，且該果蔬所需物流時間為4天，則物流過程中果蔬的儲藏溫度(假設物流過程中恒溫)最高不能超過（）A.14℃ B.15℃ C.13℃ D.16℃10.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．如圖是以正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為，則該多面體外接球的表面積為（）A. B.C. D.11.設是雙曲線的左、右焦點，O是坐標原點，點P是C上異于實軸端點的任意一點，若則C的離心率為（）A. B. C.3 D.212.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且，，則不等式的解集是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡上．13.已知為偶函數(shù)，則______.14.已知的三邊長，則的面積為__________.15.已知兩點，若直線上存在唯一點P滿足，則實數(shù)m的值為__________．16.已知F為拋物線的焦點，過點F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點A、B，若拋物線C在A、B兩點處的切線相交于點P，則的最小值為_______．三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知為各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和,.（1）求的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為,若對恒成立，求實數(shù)的最大值.18.某公司為了確定下季度的前期廣告投入計劃，收集并整理了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如表(其中有些數(shù)據(jù)污損不清)：月份123456廣告投入量27810收益20303437他們分別用兩種模型①，②進行擬合，得到相應的回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值．（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪個模型?（2）殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除．（i）剔除異常數(shù)據(jù)后，求出（1）中所選模型的回歸方程；（ii）若廣告投入量x=19，則（1）中所選模型收益的預報值是多少萬元?(精確到0.01)附：對于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：.19.如圖，在多面體中，四邊形為菱形，平面平面，平面平面,是等腰直角三角形，且.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍.20.已知橢圓的離心率為其左右焦點分別為下頂點為A，右頂點為B，的面積為（1）求橢圓C的方程;（2）設不過原點O的直線交C于M、N兩點，且直線的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍．21.設函數(shù)，．（1）試研究在區(qū)間上的極值點；（2）當時，，求實數(shù)a的取值范圍．請考生在22、23二題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．[選修4--4：坐標系與參數(shù)方程]22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；（2）點分別為曲線與直線上的動點，求的最小值.[選修4--5:不等式選講]23.已知a、b、c、d均為正數(shù)，且．（1）證明:若，則;（2）若，求實數(shù)t的取值范圍．KS5U2024高考壓軸卷全國甲卷數(shù)學試卷(理工農醫(yī)類)答案1【KS5U答案】B【KS5U解析】因為，，所以.故選：B.2【KS5U答案】D【KS5U解析】由可得，所以，可得，所以的共軛復數(shù)為，即A錯誤；的實部為0，即B錯誤；的虛部為，所以C錯誤；的模為1，可知D正確.故選：D3【KS5U答案】B【KS5U解析】因為展開式的通項為，所以的展開式中含項為，所以展開式中含項的系數(shù)是.故選：B4【KS5U答案】A【KS5U解析】由三角函數(shù)定義得所以.故選：A.5【KS5U答案】A【KS5U解析】根據(jù)流程框圖可知，第一次計算結果；第二次循環(huán)計算可得；第三次循環(huán)計算可得，不滿足，循環(huán)結束，此時輸出.故選：A6【KS5U答案】D【KS5U解析】易知，所以約束條件即為，畫出可行域如下圖陰影部分所示：將目標函數(shù)變形可得，當其在軸上的截距最小時，的取值最大；對直線，令，則，則，顯然當直線平移到過點時，取最大值3.故選：D7【KS5U答案】C【KS5U解析】第一步：先將5名大學生分成三組，每組人數(shù)為1，1，3或1，2，2；當分為1，1，3時，且甲、乙要求去同一個路口，則甲、乙必須在3人組，因此只需從剩下的3人中任選一人，其余兩人各自一組，共有種分法；當分為1，2，2時，且甲、乙要求去同一個路口，則將剩下的3人分成兩組即可，共有種分法；第二步：再將分好的三組人員分配到三個路口，共有種分配方案；因此共種.故選：C8【KS5U答案】A【KS5U解析】因為α，β，γ為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則m⊥β的一個充分條件是，選A9【KS5U答案】A【KS5U解析】依題意，，則，即，顯然，設物流過程中果蔬的儲藏溫度為t℃，于是，解得，因此，所以物流過程中果蔬的儲藏溫度最高不能超過14℃.故選：A10【KS5U答案】A【KS5U解析】將“阿基米德多面體”補全正方體，如下圖所示：不妨取兩棱中點為，由題知，易知，可得，所以正方體的棱長為2，該多面體的外接球即為正方體的棱切球，所以棱切球的直徑為該正方體的面對角線，長度為，因此該多面體的外接球的半徑為，所以其表面積為.故選：A11【KS5U答案】D【KS5U解析】令雙曲線的焦點，設，則，即有，，同理，而，故，因此，即，所以雙曲線C的離心率.故選：D12【KS5U答案】C【KS5U解析】構造函數(shù)，則；因為，所以當時，，即，此時在上單調遞增；當時，，即，此時在上單調遞減；又，所以，即；所以函數(shù)圖象上的點關于的對稱點也在函數(shù)圖象上，即函數(shù)圖象關于直線對稱，不等式變形為，即；可得，又在上單調遞增，在上單調遞減，所以，解得.故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據(jù)的結構特征構造函數(shù)，判斷出其單調性，再由得出其對稱性解不等式即可.13【KS5U答案】【KS5U解析】法一：特殊值法：因為為偶函數(shù)，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗，當時，為偶函數(shù)，符合題意.法二：定義法：因為為偶函數(shù)，所以，所以，化簡得，所以，解得.故答案為：14.【KS5U答案】【KS5U解析】由余弦定理有，所以，所以的面積.15【KS5U答案】【KS5U解析】設點，則，由，得，因此點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，顯然直線與此圓相切，則，解得，所以實數(shù)m的值為.故答案為：16【KS5U答案】5【KS5U解析】由拋物線可知，顯然直線的斜率一定存在，可設直線的方程為，；如下圖所示：聯(lián)立拋物線和直線的方程，消去可得；由韋達定理可得；利用焦點弦公式可得；由可得，求導可得，所以拋物線在點處的切線方程為，由，整理可得；同理可得點處的切線方程為；聯(lián)立解得，即；可得；所以，令，則；利用對勾函數(shù)性質可知函數(shù)在上單調遞增，所以，當且僅當時，等號成立；即的最小值為5.故答案為：5【點睛】關鍵點點睛：在求解拋物線在某點處的切線方程時，經(jīng)常利用導數(shù)的幾何意義得出切線方程表達式即可解得交點坐標，再由焦點弦公式得出的表達式可求得最小值.17【KS5U答案】（1）；（2）1.【分析】（1）先求得的值，然后利用與的關系推出數(shù)列為等差數(shù)列，由此求得的通項公式；（2）首先結合（1）求的表達式，然后用裂項法求得，再根據(jù)數(shù)列的單調性求得的最大值．【小問1詳解】當時，由題設得，即，又，解得.由知：.兩式相減得：，即.由于，可得，即，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由得：.因為，所以，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，故實數(shù)的最大值是.18【KS5U答案】（1）模型①；（2）（i）；（ii）.【分析】（1）觀察殘差圖，利用殘差波動大小選擇.（2）（i）利用給定數(shù)據(jù)，計算最小二乘法公式中相關量，求出回歸直線方程；（ii）利用求得的回歸方程進行數(shù)據(jù)估計.【小問1詳解】由于模型①殘差波動小，應該選擇模型①.【小問2詳解】（i）剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，，，，，，所以所選模型的回歸方程為.（ii）若廣告投入量，則該模型收益的預報值是(萬元).19（1）.證明如圖，取的中點，連接.因為，平面平面，平面平面，所以平面.同理，平面.所以.又和是等腰直角三角形，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因為，所以平面平面.（2）解:如圖，以點為原點，所在直線為軸，過平行于的直線為軸，在平面內垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標系.設，則.所以.設平面的法向量為，則令，得，所以.設平面的法向量為，則令，得，所以.所以.設，則，所以在上單調遞減，所以所以，所以平面與平面所成銳二面角的取值范圍是.【命題意圖】本小題設置數(shù)學課程學習情境，設計立體幾何問題，主要考查空間線線?線面位置關系，空間二面角等基礎知識；考查推理論證能力，空間想象能力，運算求解能力；考查直觀想象，邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，應用意識.20【KS5U答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率及的面積列式可得結果；（2）設出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理及條件得到m與k的關系，由點到直線的距離公式、弦長公式表示面積，構造函數(shù)可得結果.【小問1詳解】依題意，又，又，所以，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題意可知，直線的斜率存在且不為0，故可設直線：，，聯(lián)立直線和橢圓，化簡得，由題意可知，即，且，則，又直線的斜率依次成等比數(shù)列。即，則，所以且，設點O到直線的距離為，又，所以，令，，顯然在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即，所以，故面積的取值范圍為.【點睛】方法點睛：求解橢圓中三角形的面積問題時，一般需要設出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理，弦長公式，點到直線距離公式等，表示出三角形的面積，再利用構造函數(shù)或基本不等式的方法求解即可.21【KS5U答案】（1）無極值點；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)探討函數(shù)單調性，判斷函數(shù)的極值點.（2）按分類探討，利用（1）中信息，結合不等式性構造函數(shù)并推理得，當時，構造函數(shù)，利用導數(shù)結合單調性判斷即得.【小問1詳解】函數(shù)，求導得，令，求導得，設，則，當時，，當且僅當時取等號，則在上單調遞增，即有，于函數(shù)在上單調遞增，因此，所以在區(qū)間上沒有極值點.【小問2詳解】由（1）知，當，則，設，求導得，設，求導得，則函數(shù)在上單調遞增，有，即，函數(shù)在上單調遞增，于是，即，則對任意的恒成立，當時，，則當時，對任意的恒成立，當時，設，求導得，顯然，而函數(shù)在上的圖象連續(xù)不斷，則存在實數(shù)，使得對于任意的，均有，因此函數(shù)在上單調遞減，則當時，，即，不符合題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：①通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；②利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．22【KS5U答案】（1）曲線為，直線為（2）【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關系式將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，結合直