北京市昌平區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試卷 含解析

昌平區(qū)2023—2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試卷2024.7本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的定義，即可求出結(jié)果.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，故選：C.2.若，，則是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，可判斷可能在的象限，根據(jù)，可判斷可能在的象限，綜合分析，即可得答案.【詳解】由，可得的終邊在第一象限或第二象限或與y軸正半軸重合，由，可得的終邊在第二象限或第四象限，因為，同時成立，所以是第二象限角.故選：B3.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的幾何意義，得到，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，所以，得到，故選：A.4.已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，l//m，則C.若，，則 D.若，α//β，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線線，線面及面面位置關(guān)系判斷各個選項即可.【詳解】對于A:若,則可能，A錯誤；對于B:若,則可能,B錯誤；對于C:若則可能不垂直，C錯誤；對于D:若,則,D正確.故選：D.5.已知圓錐的母線長為5，側(cè)面展開圖扇形的弧長為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)側(cè)面展開圖的弧長求出底面半徑，再應(yīng)用圓錐的體積計算即可.【詳解】因為側(cè)面展開圖扇形的弧長為,所以,又因為圓錐的母線長為5，設(shè)圓錐的高為h,所以圓錐的體積為.故選：A.6.在中，，，，則（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用余弦定理得到，再由，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，，由余弦定理，得到，即，解得，由，得到，又，所以，故選：B.7.已知，是兩個復(fù)數(shù)，則“，互為共軛復(fù)數(shù)”是“，的差為純虛數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用充分條件與必要條件的判斷方法，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的分類，即可求出結(jié)果.【詳解】若，互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，則，則，若，則，所以“，互為共軛復(fù)數(shù)”推不出“，的差為純虛數(shù)，不妨取，，則，顯然滿足，的差為純虛數(shù)，但，不互為共軛復(fù)數(shù)，所以“，互為共軛復(fù)數(shù)”是“，的差為純虛數(shù)”的既不充分也不必要條件，故選：D.8.海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)某天的時間與水深值（單位：）的部分記錄表.時間0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0據(jù)分析，這個港口的水深值與時間的關(guān)系可近似的用三角函數(shù)來描述.試估計13：00的水深值為（）A.3.75 B.5.83 C.6.25 D.6.67【答案】C【解析】【分析】觀察表中數(shù)據(jù)求出周期和最大最小值，然后可得，將表中最大值點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得，然后可得所求.【詳解】記時間為，水深值為，設(shè)時間與水深值函數(shù)關(guān)系式為，由表中數(shù)據(jù)可知，，所以，，所以，又時，，所以，所以，即，所以，，即13:00的水深值大約為.故選：C9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.1 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象，求得，即可求出結(jié)果.【詳解】由圖知，得到，又由圖知，由，得到，又，所以，由，得到，所以，得到，故選：C.10.在矩形中，，，為矩形所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的最大值是（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件得到，從而得到，又，結(jié)合圖形，得，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，中點(diǎn)為，因為，，所以,，，，得到，所以，又因為，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)（在的延長線上）三點(diǎn)共線時取等號，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得到，再利用圓的幾何性質(zhì)，即可求解.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知正四棱錐的底面邊長為，高為，則它的側(cè)面積為_________________.【答案】【解析】【分析】利用正四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合條件，求出斜高，即可求出結(jié)果..【詳解】如圖，，取的中點(diǎn)，連接，易知，因為正四棱錐的底面邊長為，高為，則，，所以正四棱錐的側(cè)面積為，故答案為：.12.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱.若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則_____________.【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)角與角的終邊關(guān)于軸對稱，且角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，得到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后利用正弦函數(shù)的定義求解.【詳解】因為角與角的終邊關(guān)于軸對稱，且角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時，即角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以.當(dāng)時，即角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以.綜上所述，.故答案為：13.已知菱形的邊長為，，，則_________________.【答案】【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算得到，，再利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，所以，又菱形的邊長為，，所以，故答案為：.14.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為________________；若關(guān)于的方程恰有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為_________________.【答案】①.；②..【解析】【分析】求出每段函數(shù)的值域求并集可得的值域；作出函數(shù)的圖象，根據(jù)直線與函數(shù)的圖象有三個交點(diǎn)可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上，函數(shù)的值域為.作出函數(shù)的圖象如圖：因為關(guān)于的方程恰有三個不相等的實數(shù)根，所以直線與函數(shù)的圖象有三個交點(diǎn)，由圖可知，，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.15.在棱長為1的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，動點(diǎn)在平面內(nèi)，且.給出下列四個結(jié)論：①平面；②點(diǎn)軌跡的長度為；③存在點(diǎn)，使得直線平面；④平面截正方體所得的截面面積為.其中所有正確結(jié)論的序號是_________________.【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)都是棱的中點(diǎn)，可以做出過的截面，再根據(jù)正方體的棱長和的長度，可確定點(diǎn)的軌跡，從而可判斷各個結(jié)論的正確性.【詳解】如圖：因為，分別為，中點(diǎn)，所以，又，所以，又平面，平面，所以平面，故①成立；連接，交EG于點(diǎn)，易證平面，，，所以，故點(diǎn)軌跡是平面內(nèi)以為圓心，以為半徑的圓，所以點(diǎn)軌跡長度為：，故②成立；由②可知，不可能與平面垂直，故③不成立；做出截面，可知截面是正六邊形，且邊長為，其面積為：，故④成立.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)，可以確定過點(diǎn)三點(diǎn)的截面.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知，且為第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用平方關(guān)系得到，再利用正切的和角公式，即可求解；（2）利用倍角公式及正弦的差角公式，得到，即可求解.【小問1詳解】因為，且為第二象限角，所以，得到，所以.【小問2詳解】因為，由（1）知，，所以.17.已知向量，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求與夾角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算得到，然后根據(jù)垂直列方程，解方程即可；（2）利用數(shù)量積的公式求夾角即可.【小問1詳解】，因為，所以，解得.【小問2詳解】若，則，因為，，，所以，因為，所以.18.已知函數(shù)，圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）求的解析式；（2）求在區(qū)間上最小值；（3）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用輔助角公式得到，再結(jié)合條件，即可得到，從而求出結(jié)果；（2）令，得到，利用的圖象與性質(zhì)，即可求出結(jié)果；（3）利用的圖象與性質(zhì)，求出的單調(diào)增區(qū)間，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因，又圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且，所以，得到，所以.【小問2詳解】由（1）知，令，則因為，所以，得到，所以在區(qū)間上的最小值為.【小問3詳解】因為，由，得到，令，得到，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以實數(shù)的最大值為.19.中，.（1）求；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在.（?。┣蟮闹担唬áⅲ┣蟮拿娣e.條件①：；條件②：；條件③：注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）選擇見解析（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用余弦定理，即可求出結(jié)果；（2）選擇①：利用條件得到，從而，即可求出，再利用正弦定得到，利用三角形的面積公式，即可求出結(jié)果；選擇②：由于，，此時不存在；選擇③：利用條件及正弦定理得到，同①即可求解.【小問1詳解】因為，又由余弦定理，所以，即，又，所以.【小問2詳解】選擇條件①：因為，又，所以，由（1）知，所以，（?。?（ⅱ）因為，由正弦定理，得到，得到，所以的面積為.選擇條件②：因為，由（1）知，而，此時不存在.選擇條件③：，又，所以，由正弦定理得，由（1）知，所以，得到，又，所以，得到，所以，（ⅰ）.（ⅱ）因為，由正弦定理，得到，得到，所以的面積為.20.如圖，在幾何體中，側(cè)面是正方形，平面平面，，，.（1）求證：；（2）求證：平面；（3）判斷直線與是否相交，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）不相交，理由見解析【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到面，再利用線面垂直的性質(zhì)，即可證明結(jié)果；（2）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件，利用平行四邊形的性質(zhì)，得到，再利用線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果；（3）利用（2）中的結(jié)果，得出與異面，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為平面平面，平面平面，又，面，所以面，又面，所以.【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，因為，，所以且，所以為平行四邊形，得到且，所以為平行四邊形，得到，又面，面，所以平面.【小問3詳解】直線與不相交，理由如下，由（2）知平面，所以平面，又面，所以，又，，所以與不平行，故與異面，從而與不相交.21.已知函數(shù)，先將圖象上所有點(diǎn)向右平移個單位，再把所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，得到函數(shù)的圖象.（1）求的解析式和零點(diǎn)；（2）已知關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解.（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）求的值.（用含的式子表示）【答案】（1）；（2）；【解析】