第38講、向量中的隱圓（學(xué)生版）

第38講向量中的隱圓知識梳理技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓乘積型：定理：平面內(nèi)，若為定點，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓證明：由，根據(jù)極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．技巧二．極化恒等式和型：定理：若為定點，滿足,則的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓。證明：，所以，即的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓．技巧三．定冪方和型若為定點，，則的軌跡為圓．證明：．技巧四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓坐標法妙解必考題型全歸納題型一：數(shù)量積隱圓例1．（2024·上海松江·校考模擬預(yù)測）在中，.為所在平面內(nèi)的動點，且，若，則給出下面四個結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最大值為8.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若正的邊長為4，為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例3．（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內(nèi)的動點，且PC＝2，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是邊長為的等邊三角形，其中心為O，P為平面內(nèi)一點，若，則的最小值是A． B． C． D．變式2．（2024·北京·高三專題練習(xí)）為等邊三角形，且邊長為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為______.題型二：平方和隱圓例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．例5．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知平面向量、滿足，，設(shè)，則________.例6．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點，，圓，若圓上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式4．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足（為坐標原點），則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．變式5．（2024·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式6．（2024·江西吉安·高三吉安三中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：，點，若圓C上存在點M，滿足，則點M的縱坐標的取值范圍是___________.題型三：定冪方和隱圓例7．（2024·湖南長沙·高一長沙一中?？计谀┮阎c，，直線：上存在點，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是______.例8．（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．例9．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？计谥校┮阎矫鎲挝幌蛄?，的夾角為60°，向量滿足，若對任意的，記的最小值為M，則M的最大值為A． B． C． D．變式7．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1變式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知、、是平面向量，是單位向量．若，，則的最大值為_______．變式9．（2024·四川達州·高二四川省大竹中學(xué)?？计谥校┮阎?，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是_______．變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.變式11．（2024·河南南陽·南陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是__________.題型四：與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓例10．（2024·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是__________．例11．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．例12．（2024·上海金山·統(tǒng)考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為__________.變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知線段是圓的一條動弦，且，若點為直線上的任意一點，則的最小值為__________.變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標原點，，B在直線上，，動點M滿足，則的最小值為__________.變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.變式15．（2024·新疆·高三新疆兵團第二師華山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是、是單位向量，，若向量滿足，則的最大值為______變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是_________．變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：與的夾角為，記是的最大值，則的最小值是__________．變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）