第49講、直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（教師版）

第49講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)知識梳理知識點1：直線與平面垂直的定義如果一條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直．知識點2：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言判斷定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直面⊥面?線⊥面兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直___a平行與垂直的關(guān)系一條直線與兩平行平面中的一個平面垂直，則該直線與另一個平面也垂直__平行與垂直的關(guān)系兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直_b_a知識點3：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理垂直于同一平面的兩條直線平行_b_a文字語言圖形語言符號語言垂直與平行的關(guān)系垂直于同一直線的兩個平面平行__線垂直于面的性質(zhì)如果一條直線垂直于一個平面，則該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直知識點4：平面與平面垂直的定義如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．知識點5：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直__知識點6：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直___a【解題方法總結(jié)】線線線面面面（1）證明線線垂直的方法①等腰三角形底邊上的中線是高；②勾股定理逆定理；③菱形對角線互相垂直；④直徑所對的圓周角是直角；⑤向量的數(shù)量積為零；⑥線面垂直的性質(zhì)；⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義；②線面垂直的判定（）；③面面垂直的性質(zhì)（）；平行線垂直平面的傳遞性（）；⑤面面垂直的性質(zhì)（）．（3）證明面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理（）．空間中的線面平行、垂直的位置關(guān)系結(jié)構(gòu)圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關(guān)系中處于核心位置．性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定判定判定判定線∥面線∥線面∥面線⊥面線⊥線面⊥面必考題型全歸納題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定例1．（2024·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【解析】當(dāng)，時，可能有，但也有可能或，故A選項錯誤；當(dāng)，時，可能有，但也有可能或，故選項B錯誤；在如圖所示的正方體中，取為，為，為平面，為平面，這時滿足，，，但不成立，故選項C錯誤；當(dāng)，，時，必有，從而，故選項D正確；故選：D.例2．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個命題正確的是（）A．若，且，則 B．若，，，則C．若，且，則 D．若，，，則【答案】C【解析】對于選項A：若，且，則l，m可能平行、相交或異面，并不一定垂直，故A錯誤；對于選項B：若，，，則m，n可能平行、相交或異面，并不一定平行，故B錯誤；對于選項C：若，且，根據(jù)線面垂直可得：，故C正確；對于選項D：若，，但不能得到，所以雖然，不能得到，故D錯誤；故選：C.例3．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，有以下四個命題：①若∥，，則∥，②若，，則，③若，，則∥，④若，，，則其中正確的命題是（）A．②③ B．②④ C．①③ D．①②【答案】A【解析】對于①，當(dāng)∥，時，∥或，所以①錯誤，對于②，當(dāng)，時，由面面垂直的判定定理可得，所以②正確，對于③，當(dāng)，時，有∥，所以③正確，對于④，當(dāng)，，時，如圖所示，∥，所以④錯誤，故選：A變式1．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】對于A，可能會出現(xiàn)，或與相交但不垂直的情況，所以A不正確；對于B，可能平行、可能異面，所以B不正確；對于C，若，仍然滿足且，所以C不正確；對于D，，則，再由，可得,可知D正確.故選：D.變式2．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示的菱形中，對角線交于點，將沿折到位置，使平面平面.以下命題:①；②平面平面；③平面平面；④三棱錐體積為.其中正確命題序號為（

）A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④【答案】D【解析】如圖：因為四邊形是菱形，，所以，為的中點，所以，，，面，所以面，又面，所以，即①正確；由①知面，又面，所以平面平面，即②正確；如圖：取的中點為，連接，，依題意，，所，，所以是二面角的平面角，又因為平面平面，平面平面，所以面，和是邊長為2的正三角形，所以，且有，所以在中，，又和是兩全等的等腰三角形，，的中點為，所以，由已知可得是邊長為2的正三角形，得，則在中，容易算得，，，所以，所以二面角不是直二面角，故③錯誤；由已知可得是邊長為2的正三角形，又由上得面，所以三棱錐的高即為，，是邊長為2的正三角形，所以三棱錐的體積為，故④正確.故選：D.變式3．（2024·廣西南寧·武鳴縣武鳴中學(xué)校考三模）已知l，m，n是三條不同的直線，，是不同的平面，則下列條件中能推出的是（）A．，，且B．，，，且，C．，，，且D．，，且【答案】D【解析】對于A，，，且，，可以平行、相交不垂直、垂直，A不正確；對于B，，，，且，，當(dāng)不相交時，l不一定與垂直，則不一定與垂直，B不正確；對于C，，，，且，顯然直線與無關(guān)系，，可以平行、相交不垂直、垂直，C不正確；對于D，由，，得，又，根據(jù)面面垂直的判定知，D正確．故選：D【解題方法總結(jié)】此類問題可以轉(zhuǎn)化為一個正方體的棱、面等，進而進行排除．題型二：證明線線垂直例4．（2024·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，，．(1)證明：；【解析】（1）取的中點，連接，，，，，，又，平面，平面，而平面，；例5．（2024·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.(1)證明：；【解析】（1）證明：因為，點是的中點，所以.因為平面平面，所以平面平面，因為四邊形為矩形，所以，因為平面平面，平面，所以平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以.例6．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知三棱柱中，是的中點，是線段上一點.(1)求證：；【解析】（1）證明：連接，，是的中點，是的中點，，平面平面，平面，，在三棱柱中，，，，，平面，平面，．變式4．（2024·福建寧德·?？寄M預(yù)測）圖1是由直角梯形ABCD和以CD為直徑的半圓組成的平面圖形，，，．E是半圓上的一個動點，當(dāng)△CDE周長最大時，將半圓沿著CD折起，使平面平面ABCD，此時的點E到達點P的位置，如圖2．(1)求證：；【解析】（1）如下圖，過點D作交于點，連結(jié)，因為，，．所以，，，由,所以，因為平面平面ABCD，平面平面，平面,所以平面，又平面，所以.變式5．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知三棱柱中，，，，是的中點，是線段上一點.(1)求證：；(2)設(shè)是棱上的動點（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求棱錐的體積.【解析】（1）連接，，為中點，.又，，，且.，，，又，，平面，平面，又平面，.由已知，，，又，平面，平面.而，平面，.（2）由（1）可知，.又，平面，平面，又，平面，.所以，又在棱上移動，當(dāng)時，最小，此時面積最小.在中，，，則，，.在中，過做于，則，，平面，于是可得..變式6．（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）在梯形中，，，，，如圖1.沿對角線將折起，使點到達點的位置，為的中點，如圖2.(1)證明：.【解析】（1）因為，，所以，所以，所以，則，又，所以為等邊三角形，所以，又為的中點，連接交于點，則，，所以，所以，即，則折起后，，，平面，所以平面，平面，所以.【解題方法總結(jié)】題型三：證明線面垂直

13．（2024·陜西榆林·陜西省神木中學(xué)?？既＃┤鐖D，在四棱柱中，底面，底面滿足，且，.(1)求證：平面；(2)求四棱錐的體積.【解析】（1）由底面，平面，所以，又因為，.滿足，可得，又，平面，所以平面.（2）由（1）中，且，，可得，因此，即，又平面，，可得平面，平面，即，又，平面，所以平面，即為四棱錐的高，即四棱錐的體積..例7．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，已知，.(1)證明：平面；【解析】（1）在中，，所以.所以，故，則.又，即.平面，所以平面.例8．（2024·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面ABD，E為AB的中點，，.(1)證明：平面CED；【解析】（1）因為平面，平面，所以，又因為為的中點，所以是的中線，所以，且，平面，所以平面.例9．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得A至處，且．(1)證明：平面；【解析】（1）由題意得，，，因為，則，又，面，所以面，又面，則，又，，平面，平面，所以平面．變式7．（2024·重慶巴南·統(tǒng)考一模）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．(1)證明：平面；【解析】（1）過點作于點，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面．變式8．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考三模）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．(1)求證：平面；【解析】（1）在矩形中，，又平面平面，平面平面=，平面，所以平面，

又平面，所以，在矩形中，,又，所以,所以.又，平面，所以平面；變式9．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點，且.(1)證明：平面；【解析】（1）連接，由題意可知：為等邊三角形，且是的中點，所以，因為平面平面，平面平面，，所以平面，且平面，可得，，平面，所以平面.【解題方法總結(jié)】垂直關(guān)系中線面垂直是重點．線垂面哪里找線垂面有何用證明線面垂直常用兩種方法．方法一：線面垂直的判定．線線垂直線面垂直，符號表示為：，那么．方法二：面面垂直的性質(zhì)．面面垂直線面垂直，符號表示為：，那么．題型四：證明面面垂直例10．（2024·山西運城·山西省運城中學(xué)校?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.(1)證明：平面平面；【解析】（1）如圖，連接，交于，連接.因為側(cè)面為菱形，所以，且為的中點.又，故.又，且，所以，所以.又，所以，所以.因為平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.例11．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考三模）如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，.(1)求證：平面平面；【解析】（1）四邊形為直角梯形，，，又，，平面，平面，又平面，；作，，，，，又，，，，，，平面，平面，平面，平面平面.例12．（2024·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點.(1)平面⊥平面ABF【解析】（1）因為，，，AF、AB平面ABF，所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD，所以平面⊥平面ABF.變式10．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）如圖所示，在幾何體中，平面，點在平面的投影在線段上，，，，平面.(1)證明：平面平面.【解析】（1）由題知，平面平面，過點作的垂線，垂足為，連接，又因為平面平面，所以平面.因為平面，所以，則共面.因為平面，平面，平面平面，所以，則四邊形為平行四邊形，所以.因為，，所以，因為，所以，由正弦定理得，即，所以，因為，所以，所以，即.因為平面，平面，所以，又因為,平面，所以平面.因為，所以平面.因為平面，所以平面平面.變式11．（2024·河北張家口·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，.(1)證明：平面平面；【解析】（1）連、交于，則為、的中點，連，因為，所以，因為側(cè)面為菱形，，，所以，，所以，即，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.變式12．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，為棱的中點．(1)證明：平面平面；(2)畫出平面與平面的交線，并說明理由；(3)求過三點的平面將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比．【解析】（1）在長方體中，，與都是等腰直角三角形，，，平面平面，，又面，面，又平面平面平面；（2）延長與的延長線相交于，連接，則即為平面與平面的交線，理由如下：平面，平面，平面與平面的交線為；（3）令與的交點為，則三棱臺的體積為，為棱的中點，為的中點，是的中點，是的中點，，，，三棱臺的體積為，過三點的平面將四棱柱分成的上部分的體積為.過三點的平面將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比為.變式13．（2024·云南·云南師大附中校考模擬預(yù)測）如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.(1)證明：平面平面；【解析】（1）設(shè)圓O的半徑為r，在中，，，，故，又，故，在中，由余弦定理得，所以，即；圓錐中，底面，底面，故，又，所以平面，又平面，所以平面平面.變式14．（2024·江蘇南京·南京市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在如圖所示的空間幾何體中，與均是等邊三角形，直線平面，直線平面，.(1)求證：平面平面；【解析】（1）如圖1，設(shè)平面與直線的交點為，連接，.因為直線平面，直線平面，平面，平面，所以，.因為，平面，平面，所以平面.因為平面，平面，所以，.又因為與均是等邊三角形，所以為中點，且二面角的平面角為.在平面四邊形中，因為，所以，所以平面平面.【解題方法總結(jié)】主要證明方法是利用面面垂直的判定定理（線面垂直面面垂直）．證明時，先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．題型五：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例13．（2024·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）如圖，在直三棱柱中，，．(1)試在平面內(nèi)確定一點H，使得平面，并寫出證明過程；【解析】（1）取棱BC的中點D，連接，AD．在等腰直角△ABC中，，又，平面，故平面．又平面，故平面平面，這兩個平面的交線為．在中，作，則有平面；例14．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱（側(cè)棱垂直于底面，且底面三角形是等邊三角形）中，，、、分別是，，的中點．(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點使平面？若存在，確定點的位置；若不存在，也請說明理由．【解析】（1）（1）證明：、、分別是，，的中點．，四邊形為平行四邊形，可得，因為平面；平面；平面；同理可得平面；又，平面，平面平面．（2）假設(shè)在線段上存在一點使平面．四邊形是正方形，因此點為點．不妨取，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，．所以，，又，平面，所以平面，在線段上存在一點，使平面，其中點為點．例15．（2024·天津·耀華中學(xué)校考二模）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，頂點A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E為CD的中點．（1）求證：AD⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；（3）已知P是平面ABD內(nèi)一點，點Q為AE中點，且PQ⊥平面ABE，求線段PQ的長．【解析】（1）因為頂點A在底面BCD上的投影O在棱BD上，所以AO⊥平面BCD，因為AO?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，因為∠CBD＝90°，所以BC⊥BD，因為平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，所以BC⊥平面ABD，又AD?平面ABD，所以BC⊥AD，由AB＝AD＝，BD＝2，得，所以AD⊥AB，因為AB∩BC＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC．（2）連接OE，因為O為BD的中點，E為CD的中點，OE∥BC，所以O(shè)E⊥BD，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)E，OD，OA為x軸，y軸，z軸為正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（2，﹣1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），，，，設(shè)平面ABE的一個法向量＝（x，y，z），取x＝1，得＝（1，﹣1，1），設(shè)平面ACE的一個法向量＝（a，b，c），取c＝1，則，設(shè)二面角B﹣AE﹣C的平面角為θ，由圖知二面角為銳角，則cosθ＝＝．所以二面角B﹣AE﹣C的余弦值為．（3）設(shè)P（0，y，z），Q（，0，），因為PQ⊥平面ABE，∴．∴，＝λ（1，﹣1，1）．∴y＝，z＝0，∴P（0，，0）∴PQ＝變式15．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，，.（1）求證：；（2）在線段上，是否存在點，使得平面？并說明理由.【解析】（1）如圖，連接，因為，，所以，分別為，的中點，所以，又，所以.（2）如圖，取的中點，連接，，因為平面，所以，又，所以.因為，，所以.因為，所以平面，所以在線段上，存在點，使得平面.變式16．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點.(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在一點，使平面平面？若存在，請指出點的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：取的中點，連接、、，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，且，因為為的中點，則且，因為、分別為、的中點，所以，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，因為平面，平面，所以，平面，因為、分別為、的中點，所以，，因為平面，平面，所以，平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，故平面.（2）當(dāng)點為的中點時，平面平面，因為四邊形為矩形，則，因為，則，因為四邊形為菱形，則，因為，則為等邊三角形，因為為的中點，所以，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，平面平面，因此，當(dāng)點為的中點時，平面平面.變式17．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，，，．(1)求證：面面ABCD；(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點，四邊形BEQF是過B，Q兩點的截面，且平面BEQF，是否存在點Q，使得平面平面PAD？若存在，確定點Q的位置；若不存