第3講、等式與不等式的性質(zhì)（教師版）

[在此處鍵入]第3講等式與不等式的性質(zhì)知識梳理1、比較大小基本方法關(guān)系方法做差法與0比較做商法與1比較或或2、不等式的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性傳遞性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【解題方法總結(jié)】1、應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時(shí)要做到言必有據(jù)，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率．2、比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性．比較法又分為作差比較法和作商比較法．作差法比較大小的步驟是：（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結(jié)論．作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大??；（4）下結(jié)論．其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大小．作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法．必考題型全歸納題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用【解題方法總結(jié)】1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明．2、充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷．3、小題可以用特殊值法做快速判斷．例1．（多選題）（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，則下列關(guān)系式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，，A不成立，，，由，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，因?yàn)?，故等號不成立，故；?dāng)時(shí)，，，不妨設(shè)，則，故此時(shí)C不成立，由，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，因?yàn)?，故等號不成立，故；綜上：BD一定成立.故選：BD例2．（多選題）（2024·山東·校聯(lián)考二模）已知實(shí)數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】對于A，，，，A錯(cuò)誤；對于B，，，，，，，，即，B正確；對于C，，，，即，C正確；對于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC.例3．（多選題）（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】∵，則，，∴，即，A正確；例如，，，，，顯然，B錯(cuò)誤；由得，，∴，即，C正確；易知，，，，∴，D正確；故選：ACD．題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式【解題方法總結(jié)】比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性．比較法又分為作差比較法和作商比較法．作差法比較大小的步驟是：（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大??；（4）下結(jié)論．作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大??；（4）下結(jié)論．其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大小．作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：若，則；；；若，則；；．例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若,則將從小到大排列為______.【答案】【解析】，不妨令，則有，有，即.故答案為：.例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如果a>b，給出下列不等式：①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.其中一定成立的不等式的序號是________．【答案】②⑥【解析】令，，排除①，，排除③選項(xiàng)，，排除⑤.當(dāng)時(shí)，排除④.由于冪函數(shù)為上的遞增函數(shù)，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正確.所以一定成立的是②⑥.例6．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；（2）設(shè)x，，比較與的大小.【解析】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，從而得.又a＞b＞0，所以.（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號成立，所以當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）（1）試比較與的大??；（2）已知，，求證：．【解析】（1）由題意，，所以．（2）證明：因?yàn)?，所以，即，而，所以，則．得證．題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍【解題方法總結(jié)】在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí)，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每個(gè)變量的范圍，否則會導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系．例8．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，則，故A正確；因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，所以，故B正確；因?yàn)椋?，則，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，則，故D正確.故選：ABD.例9．（2024·廣東·高三校聯(lián)考期末）已知，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，所以，則，又，所以，，由不等式的性質(zhì)得：，則的取值范圍為.故選：D.例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，由，?故選：A.例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，當(dāng)時(shí)，且，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)滿足：且，，即，進(jìn)而，解得．所以或，，令，，由于所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以故答案為：．題型四：不等式的綜合問題【解題方法總結(jié)】綜合利用等式與不等式的性質(zhì)例12．（多選題）（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且滿足，．則的取值可以為（

）A．10 B．11 C．12 D．20【答案】CD【解析】因?yàn)?，，所以，，故，?dāng)，且，而時(shí)，即等號不能同時(shí)成立，所以，故AB錯(cuò)誤，CD正確.故選：CD.例13．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由得，，由于，所以，所以，因此且，故A正確，，當(dāng)時(shí)，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，當(dāng)時(shí)，，所以，故B正確，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故，所以C錯(cuò)誤，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，又，所以或者等號成立，故選：ABD例14．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A． B．C． D．的最小值為1【答案】BC【解析】由可知，，由不等式的性質(zhì)可知，則．選項(xiàng)A：因?yàn)閷?shù)函數(shù)為減函數(shù)，，所以，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由函數(shù)的單調(diào)性可知，故B正確；選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，故C正確；選項(xiàng)D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號，顯然等號不成立，故D錯(cuò)誤．故選：BC.例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，則a的最大值是__．【答案】【解析】∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，∴b+c＝﹣a，b2+c2＝1﹣a2，∴∴b、c是方程：x2+ax+a20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴∴即∴即a的最大值為故答案為：．題型五：糖水不等式【解題方法總結(jié)】糖水不等式：若，，則一定有，或者．例16．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大)，根據(jù)這個(gè)事實(shí)，下列不等式中一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，由題意可知，正確；對于B，因?yàn)?，所以，正確；對于C，即，錯(cuò)誤；對于D，，正確.故選：ABD例17．（2024·山西·統(tǒng)考一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會更甜．這句話用數(shù)學(xué)符號可表示為：，其中，且a，b，．據(jù)此可以判斷兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系，比如_________（填“＞”“＜”）．【答案】>【解析】令，則，令，則，所以，，根據(jù)題設(shè)知：.故答案為：>例18．（2024·福建·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的