上海高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

高考臨近給你提個醒2016.5

集合與簡易邏輯

1.區(qū)分集合中元素的形式:

{x|y=/(%)}{訓(xùn)3=/(切{(%,>')l.y=/(x)}

函數(shù)的定義域函數(shù)的值域函數(shù)圖象上的點集

例1.集合M-{y|y=x2,XGM，N={y]y=-x2+1,XG/?},則MPlN=

例2.集合M={(x,y)\y=x2,XE/?},N-{(x,y)\y=-x2+1,XG/?},MCN=

例3.集合a=(1,2)+2(3,4),AeR\,集合N=1[Z=(2,3)+44,5),/U/?},則

MP|N=_________

2.研究集合必須注意集合元素的特征，即集合元素的三性：確定性、互異性、無序性。

例4.已知集合4={k，孫，1g(孫)},集合8={0,|x|,y},且A=B,則x+y=

3.集合的性質(zhì)：①任何一個集合P都是它本身的子集，記為P=P。

②空集是任何集合戶的子集，記為0QP。

③空集是任何非空集合P的真子集，記為0UP。

*

注意：若條件為A=8,在討論的時候不要遺忘了A=0的情況。

例5.集合A={x|ax?—2x—1=0},如果4口火+=0,實數(shù)a的取值范圍

集合的運算：④(4合B)nC=An(BnC)、(AU5)UC=AU(5UC);

?(ACl5)=(QA)U?5)、Q(AU5)=(QA)fl(QB)?

⑤AC\B=A=AU3=8=AcBQCVB<^CL,Ao/inC(,B=0?

⑥對于含有"個元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)

依次為：2"、2"-1、2"—1、2"-2o

例6.滿足條件{1,2}5A={1,2,3,4,5}的集合A共有個。

4.研究集合之間的關(guān)系，當(dāng)判斷不清時，建議通過“基侍停”的思想進行研究。

例7.已知M={x|x=2A+l,ZeN},N={x|x=4A±l,ZeN},則MN。

5.補集用卷常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。

例8.設(shè)函數(shù)/(x)=4爐一2(p-2)x-2/?2-p+1在區(qū)間［一口］上至少存在一個實數(shù)。，使

/(c)>0,求實數(shù)p的取值范圍

6.命題是表達判斷的語句。判斷正確的叫做真命題；判斷錯誤的叫做假命題。

①命題的四種形式及其內(nèi)在聯(lián)系：

原命題：如果a,那么￡；

逆命題：如果夕，那么a；

否命題：如果日，那么瓦

逆否命題：如果萬,那么G；

②等價命題：對于甲、乙兩個命題，如果從命題甲可以推出命題乙，同時從命題乙也可以推出命題

甲，既“甲o乙"，那么這樣的兩個命題叫做等價命題。

③互為逆否命題一定是等價命題，但等價命題不一定是互為逆否命題。

④當(dāng)某個命題直接考慮有困難時，可通過它的逆否命題來考慮。

例9.“sina。sin”是"a。”的條件。

⑤注意命題“如果a,那么的否定與它的否命題的區(qū)別：

命題“如果a,那么夕”的否定是“如果a,那么0"；否命題是“如果2,那么0”。

*例10.“若。和都是偶數(shù)，則a+方是偶數(shù)”的否命題是否定是

7.常見結(jié)論的否定形式：

原結(jié)論是都是一定p或qp且q大于小于

否定形式不是不都是不一定〃且4p或q不大于不小于

對所有X對任何無

原結(jié)論至少一個至多一個至少n個至多〃個

都成立不成立

一個也至多〃—1至少“+1存在某X存在某X

否定形式至少兩個

沒有個個不成立成立

8.充要條件:

條件結(jié)論推導(dǎo)關(guān)系判斷結(jié)果

an0a是￡的充分條件

aBnaa是￡的必要條件

a=>"且￡=>aa是/的充要條件

在判斷“充要條件”的過程中，應(yīng)注意步驟性：

首先必須區(qū)分誰是條件、誰是結(jié)論，然后由推導(dǎo)關(guān)系判斷結(jié)果。

不等式

1.基本性質(zhì)：（注意：不等式的運算強調(diào)加法運算與乘法運算）

①〃且na>c；

②推論：i.Q>b0a±c>O±c；ii.。>6且c>d=>a+c>b+d；

ac>hec>0

③a>b=><ac=he=0c=0；

ac<bec<0

④推論：I.a>b>a,c>d>bnac>bd；ii.a>8且。、。同號n^v1；

ah

ii.a>O>b=>—>0>—；iii.a>b>O,a>O^>aa>ba,y[a>\fb；

ah

LX,八bb+m

⑤a>b>0,m>0=>—<-----；

aa+m

2.解不等式：（解集必須寫成集合或區(qū)間的形式）

①一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解題步驟：

i.分解因式=找到零點；ii.畫數(shù)軸二標根n畫波浪線；iii.根據(jù)不等號，確定解集；

注意點：i.分解因式所得到的每一個因式必須為x的一次式；ii.每個因式中x的系數(shù)必須為正。

關(guān)鍵

②絕對值不等式'°A去絕對值:

i.國>a=x>a或<-a（a>0）；ii.\x\<a-a<x<a（a>0）；

iii.\a\>\h\<^>a2>b2；iv.|/(x)|>g(x)(g(x)>0)=/(x)<—g(x)或/(x)>g(M；

v.|/(x)|<g(x)=-g(x)</(x)<g(x)；

借助函數(shù)單調(diào)性一

③幕、指、對不等式——去掉幕、指、對符號=>解不等式：

解對數(shù)不等式時，應(yīng)注意些什么問題？（化成同底、利用單調(diào)性、注意同解變形）

④解含參數(shù)的不等式時，定義域是前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵。

而分類討論的關(guān)鍵在于“分界值”的確定以及注意解完之后要總結(jié)：綜上所述…

⑤對于不等式恒成立問題，常用“函數(shù)思想”、“分離變量思想”以及“圖象思想

例1.已知不等式（”-2）*2+2（a-2）x-4<0對一切xe/?恒成立，求a的取值范圍

3.基本不等式：

①a,beR,則/+〃？2次?，當(dāng)且僅當(dāng)a=8時，等號成立。

a,beR+,則當(dāng)且僅當(dāng)a=匕時，等號成立。

綜上，若a/eR,則。2+從之色土”22，山，當(dāng)且僅當(dāng)a=匕時，等號成立。

2

>2x>0,當(dāng)且僅當(dāng)工=—,即x=l時，等號成立

"③"X

X<-2x<0,當(dāng)且僅當(dāng)x=L,即x=-l時，等號成立

X

例2.已知正數(shù)。、b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是

91

例3.函數(shù)y=4x--——(x>—)的最小值為

例4.若x+2y=l,則2*+4'的最小值是

例5.正數(shù)x、y滿足x+2y=2,則的最小值為

%y

恒成立問題最值法：a>/(x)max,則a>/(x)恒成立；"/(xL,，則”</(幻恒成立。

函數(shù)

1.九個基本函數(shù)必須熟練掌握：強調(diào)函數(shù)圖象和性質(zhì)

正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，幕、指、對函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)。

2.反函數(shù)：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)是一一對應(yīng)函數(shù)時才具有反函數(shù)。

①求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

i.解方程，用)，表示x；ii.交換x與y,寫成反函數(shù)的形式；iii.注明反函數(shù)的定義域。

②你還記得反函數(shù)的性質(zhì)嗎？

i.定義域性；；ii.值域性；iii.單調(diào)性；iv.奇偶性。周期性

例1.函數(shù)y=/(x)過點(1,1),則/(4—x)的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點

③若原函數(shù)y=/(x)在定義域上單調(diào)，則一定存在反函數(shù)；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，則此函數(shù)不

一定單調(diào)。你能寫出一個具體的函數(shù)嗎？

例如：分段函數(shù)：+1無或/(》)=，等。

-x+1x<0

3.函數(shù)的要素：定義域、值域、對應(yīng)法則

①定義域：

i.給出函數(shù)解析式，求函數(shù)的定義域(即求使函數(shù)解析式有意義的x的范圍)

(1)y="(x)]°=>/(x)；(2)>=隈=>。0)。0；

⑶y=20P(x)nP(x)>0；(4)y=log,：；=>P(x)>0,P(x)=1,Q(x)>0；

冗

(5)y=tan[P(x)]=>P(x)k7V+—,keZ；(6)y=cot[P(x)]nP(x)Wk兀,kcZ；

(7)y=arcsin[P(x)]=>-1<P(x)<1：(8)y=arccos[P(x)]-1<P(x)<1；

ii.使實際問題有意義的自變量的范圍。

AQ

例2.銳角A4BC中，BC=1,B=2A,則-----的值等于_______,AC的取值范圍為_____

cosA

iii.求復(fù)合函數(shù)的定義域：

若/(x)的定義域為以㈤，則八g(x)］的定義域由不等式a〈g(x)w。解出；

若丹g(*)］的定義域為M，則/(%)的定義域相當(dāng)于尤e［a㈤時g(x)的值域；

例3.函數(shù)f(x)="的定義域為

lgU-3)

例4.若函數(shù)y=/(x)的定義域為(,2,則函數(shù)/(log?x)的定義域為

例5.若函數(shù)/(無2+1)的定義域為［-2,1),則函數(shù)/(x)的定義域為

②值域：函數(shù)的值域(或最值)有哪幾種常用解題方法？

i.二次函數(shù)型或可化為二次函數(shù)型；ii.單調(diào)性；iii.基本不等式；iv.換元法；v.數(shù)形結(jié)合;

例6.函數(shù)y=2sin2x-3cosx-1的值域為

例7.設(shè)x,q,七，y成等差數(shù)列，x,仇，匕2,y成等比數(shù)列，則(4+生)的取值范圍是______

帥2

,9

例8.函數(shù)y=sirrx+-----；—的值域為_________

1+sirrx

例9.函數(shù)y=2""-log3(5-A)的值域為

3.函數(shù)的基本性質(zhì)：

①奇偶性：

i,定義判斷奇偶性的步驟：

⑴定義域。是否關(guān)于原點對稱；⑵對于任意xe。，判斷了(-幻與/(x)的關(guān)系：

若/(一幻=/(x)=f(|x|),也即=0=y=f(x),xe。為偶函數(shù)

若/(一尤)=一/(幻，也即/(—x)+/(x)=0=y=/(x),xe。為奇函數(shù)

ii.圖象判斷奇偶性：函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱o奇函數(shù)；函數(shù)圖象關(guān)于)，軸對稱=偶函數(shù)；

iii.判斷函數(shù)的奇偶性時，注意到定義域關(guān)于原點對稱了嗎？

iv.如果奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有定義，則/(0)=0。

v.一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則該函數(shù)必為：/(x)=0,xeD(其中定義域。關(guān)于原點對稱)

vi.如果兩個函數(shù)都是非零函數(shù)(定義域相交非空)，則有：

奇+奇=>奇；奇+偶=非奇非偶；偶+偶=>偶；奇x奇=>偶；奇x偶=>奇；偶x偶=>偶。

②單調(diào)性：設(shè)任意毛衣2€。,且再<々，則/(X1)=/(々)O無單調(diào)性

/(玉)>/(*2)=減函數(shù)止^^<0；/(%,)>/(X2)=增函數(shù)=：(/)-/(々)>0；

X|-x2xt-x2

在比較/(王)與/甕2)大小時，常用“作差法”，比較/(七)—/(%)與0的大小。

i.奇函數(shù)的圖象在y軸兩側(cè)的單調(diào)性一致；偶函數(shù)的圖象在〉軸兩側(cè)的單調(diào)性相反。

ii.互為反函數(shù)的單調(diào)性一致。

iii.增函數(shù)+增函數(shù)n增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)n減函數(shù)。

iv.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性由“同增異減”判定。

例10.函數(shù)y=log((-x2+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

2

Vi.注意函數(shù)“單調(diào)性”、“奇偶性”的逆用(即如何體現(xiàn)函數(shù)的“奇偶性”、“單調(diào)性”)

例11.已知奇函數(shù)/(x)是定義在(一2,2)上的減函數(shù)，若/(加一1)+/(2機-1)>0,求實數(shù)的取

值范圍_______________

③最大值和最小值：參見函數(shù)的值域

當(dāng)x取藥,龍2…,X”的中位數(shù)時，函數(shù)y=|》-%|+|x-》21+…+1*-x“|取最小值

④函數(shù)的零點：對于函數(shù)y=/(x)(xe。)，如果存在實數(shù)c(ce。)，當(dāng)x=c時，/(c)=0,那

么就把x=c叫做函數(shù)y=/(x)(xe。)的零點。注：零點是數(shù)；

用二分法求零點的理論依據(jù)是：①函數(shù)/(力在閉區(qū)間［a,切上連續(xù)；②

那么，一定存在ce(a,加，使得/(c)=0。(反之，未必)

以下性質(zhì)不盡函數(shù)的基本性質(zhì)

⑤周期性：對于函數(shù)y=/(x)xeD,如果存在一個非零常數(shù)f,使得對于任意xe。時，恒有

/(x+r)=/(x)成立，那么函數(shù)y=/(x)xw。叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)f叫做該函數(shù)的周期。

i.任意/'(x+a)=-/(x),則T=2aii.任意xe。，f(x+a)=---,則T=2a

fw

iii.任意xeD,/(x+a)=f(x+h),則T=\a-b\

例12.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=/(x),且在［—3,-2］上是減函數(shù)，若a、A是銳

角三角形的兩個內(nèi)角，則/(sina)與/(cos/?)的大小關(guān)系為

*iv.若y=/(x)圖像有兩條對稱軸x=a、x=h(aHA),則y=/(x)必是周期函數(shù)，且一周

期為T=2|a—4。

*v.若y=/(x)圖像有兩個對稱中心A(a,O)、B(b,O)(aWb),則y=/(x)是周期函數(shù)，且一

周期為丁=2|。一目。

*vi.如果函數(shù)y=/(x)的圖像有一個對稱中心A(a,O)和一條對稱軸x=Z?(aHb),則函數(shù)

y=/(?必是周期函數(shù)，且一周期為7=4,一.。

例13.已知定義在R上的函數(shù)/(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程./■(;*:)=0在xe［—2,2］上至少

有個實數(shù)根。

⑥對稱性：

i.點(尤,y)關(guān)于y軸的對稱點為(-國力；函數(shù)y=/(x)關(guān)于y軸的對稱曲線方程為y=/(-x)。

ii.點(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(演一))；函數(shù)y=/(x)關(guān)于x軸的對稱曲線方程為y=-f(x)。

iii.點(x,y)關(guān)于原點的對稱點為(-x,-y)；函數(shù)y=/(x)關(guān)于原點的對稱曲線方程為y=-f(-x)

iv.兩函數(shù)＞=/(。+》)與y=-x)的圖像關(guān)于直線％=與9對稱。

v.函數(shù)/(x)滿足/(a+x)=/G—x),則函數(shù)的圖象關(guān)于直線》=審對稱。

例14.二次函數(shù)/(x)=辦2+"滿足f(5-x)=/(x-3),且方程/(x)=尤有等根，則/(幻=

例15.已知函數(shù)/(》)=士3,若)，=/(x+l)的圖像是G，它關(guān)于直線y=x對稱圖像是C,

2%-3，

C2關(guān)于原點對稱的圖像為C3,則C3對應(yīng)的函數(shù)解析式是

例16.函數(shù)y=x2+x與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點(一2,3)對稱，則g(x)=

Vi.形如y=竺土2(CHO,ad￥歷)的圖像是雙曲線，對稱中心是點(―4二］,兩條漸近線分別

cx-\-dVcc)

4_d_a

為Jx=—,y=—o

cc

例17.已知函數(shù)圖象G與。2：y(x+〃+l)=以+/+1關(guān)于直線y=x對稱，且圖象G關(guān)于點

(2,-3)對稱，則〃=

4.函數(shù)圖象變換:

①平移變換:

左加右減?函數(shù)y=/(x+a)的圖象;

i.函數(shù)y=/(x)的圖象

ii.函數(shù)y=/(x)的圖象，上加下減?函數(shù)y=/(x)+〃的圖象；

②伸縮變換：

「函數(shù)y=/(x)的圖象沿*軸方向伸縮為原來的1倍函數(shù),―/(%.幻的圖象;

ii.函數(shù)丁=/(幻的圖象［歸曲方向伸縮為原來的的值a函數(shù)y=h/(x)的圖象;

③對稱變換：

i.函數(shù)y=/(x)的圖象，關(guān)二軸對稱A函數(shù)y=/(—x)的圖象；

ii.函數(shù)y=/(x)的圖象，大八挑時稱?函數(shù)y=—/(x)的圖象；

iii.函數(shù)y=/(x)的圖象「&一必也》函數(shù)y=—/(—x)的圖象；

iv.函數(shù)y=/(x)的圖象，x>0時’圖象不變：然后再關(guān)于y軸對稱下函數(shù)y=/(|x|)圖象;

V.函數(shù)y=/(Y)的圖象堂.).一則■：￡!四不當(dāng)一您同畛上》翎建A函數(shù))，="(幻I圖象;

例18.要得到y(tǒng)=lg(3-x)的圖像，只需作y=lgx關(guān)于軸對稱的圖像，再向平移3個

單位而得到。

例19.將函數(shù)y=」一+a的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位，所得圖象如果與原圖

x+a

象關(guān)于直線y=x對稱，那么()

(A)a=—1,/?W0；(B)Q=—1,beR；(C)Q=2,〃工0；(D)a=O,heR；

5.常見的抽象函數(shù)模型：

①正比例函數(shù)模型：/(x)=依，ZWO------f(x+y)=/(x)±/(y)。

②幕函數(shù)模型：f(x)=x2——/(孫)=/(x)"(y)；=需。

③指數(shù)函數(shù)模型：4)=優(yōu)------f(x+y)=f(x)-f(y)；/(x-丁)=綱。

f\y)

(\

④對數(shù)函數(shù)模型：/(x)=logox----fM=f(x)+f(y)；f-=f(x)-f(y).

/(x)+/(y)

⑤三角函數(shù)模型：/(x)=tan;c------/G+y)=

i-/M-/(>■)0

6.三個二次(哪三個二次)的關(guān)系以及應(yīng)用掌握了嗎？

①在研究三個二次時，你注意到二次項系數(shù)非零了嗎？

②如何利用二次函數(shù)來研究一元二次方程、一元二次不等式的問題。

③一元二次函數(shù)的研究強調(diào)數(shù)形結(jié)合，那么數(shù)形結(jié)合該從哪些方面去研究？(開口、對稱軸、定義

域以及偏移度)

④特別提醒：二次方程0?+反+，=0的兩根即為不等式辦2+6；+。>0(<)解集的端點值，也

是二次函數(shù)/(幻^ax2+bx+c(a，0)圖象與x軸交點的橫坐標。

7.研究函數(shù)問題準備好“數(shù)形結(jié)合”這個工具了嗎？

8.研究函數(shù)的性質(zhì)注意在定義域內(nèi)進行了嗎？

9.解對數(shù)函數(shù)問題時注意到真數(shù)以及底數(shù)的限制了嗎？

10.指數(shù)運算法則：(a>0,b>0,meR,nwR)

i.a"'-an=a'n+n；ii.(am)"=(a")"1=am\iii.(a-h)n=an-b'\

11.對數(shù)運算法則：

log?M+logaN=log”(M?N)；logaM-log“N=log.曾;

b

a"g"=b；log6=她2logZ?"=-log^:

"logam

三角

1.三角比的定義你還記得嗎？

2.三角公式你記住了嗎？①同角三角比的關(guān)系：商數(shù)關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系；

②誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號看象限。

③你能用“小三角形”進行同角三角比的轉(zhuǎn)換嗎？

3.三角化簡，強調(diào)哪兩點？①切、割化弦；②化繁為簡。

4.三角條件求值你注意到兩個關(guān)系了嗎？(角的關(guān)系、名的關(guān)系)

例如：a=(a+夕)一￡；2a=(a+￡)+(a—￡)；2'=(a+￡)_(a_￡)…

例1.已知tan(a+/?)=[,=則tan[a+；]=

3

例2.已知a、￡為銳角，sina=x,cos(3-y,cos(cr+/?)=--,則y關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系為______________________

5.在三角中，你知道“1”等于什么嗎？

1<=sm?nf+2cos-a2-sec2a-ta2na=2csc-a2-cota=tanacota=tan萬—

=sin—=cosO=???

2

6.重要公式：①sin2a=

與asinal-cosa公.,,/,12./.n\

③tan—=----------=-----------；④〃sina+Z?cosa=2+b?sm(a+〃)；

21+cosasina

例3.當(dāng)函數(shù)y=2cosx-3sinx取最大值時，tanx=

7.你還記得在弧度制下弧長公式以及扇形的面積公式嗎？你注意到了扇形的弧長與周長的

區(qū)別了嗎？（lrad=57.3°）

1,]

弧長公式：/=a"；周長公式：c=/+2r；面積公式：S^-ar2=-lr；

22

例4.已知扇形AO8的周長是6c〃？，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積

8.正弦定理、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？會用它們解斜三角形嗎？如何實現(xiàn)邊

角互化？

正弦定理：°=b=_S—=2R

sinAsinBsinC

,2.22

余弦定理：a2=/72+c2-2bccosA；cosA=———----；

2bc

面積公式：=—ab-sinC=—besinA=—ca^sinB；

A222

大邊對大角：a>h=A>B=sinA>sin3；

銳角AABC中：^a2+b2>c2,則A+B>工=>A>--B=>sinA>cosfi；

22

鈍角AA5c中：^a2+b2<c2,則A+8<工nA<工一8〈色nsinAvcosB；

222

直角\ABC中：若。2+/?2=ct則A+jB=X=>A=^—BnsinA=cosB；

22

例5.在AABC中，若sinA=1,則cosA=（注意幾解）

3

在AA5c中，若cosA=1,則sinA=____________（注意幾解）

3

*9.三角形與向量綜合的有關(guān)結(jié)論：

.23232

①在A48C中，給出04=0B=0C,=>。是A48C的外心；（外心：中垂線的交點）

②在A43c中，給出謨+為+歷=6,=>。是MBC的重心；（重心：三邊中線的交點）

③在A43C中，給出OAO3=OBOC=OCQ4,=>0是A4BC的垂心；（垂心：高的交點）

④在AABC中,給出而=nAP所在直線經(jīng)過A43c的內(nèi)心;

——-AR+AC

⑤在AABC中，給出AO=-----------,n等于已知AO是A43c中BC邊的中線;

2

例6.。是A48c所在平面內(nèi)一點，且滿足08—0C=08+0C—20A,則A4BC的形狀為

例7.若。為ZVLBC邊8。的中點，ZVLBC所在平面內(nèi)一點尸，滿足AN+而+而=6,設(shè)

國產(chǎn)=4,則丸=

例8.若。是AABC的外心，且蘇+55+函=6,則角C=

10.你能迅速畫出三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的圖象嗎？你知道三角函數(shù)線嗎？

能寫出它們的單調(diào)區(qū)間及其取最值時x的集合嗎？（別生了ZeZ）；

能給出三角函數(shù)的對稱軸、對稱點嗎？

11.會用五點法畫函數(shù)“y=Asin（0r+Q）+8”的草圖嗎？哪五點？

會根據(jù)圖象求出參數(shù)A、0）、（p、8的值嗎？

12.形如y=Asin（3t+8）+8、y=Atan（&c+Q）+8的最小正周期會求嗎？有關(guān)函數(shù)周期的定

義還記得嗎？周期函數(shù)有何性質(zhì)？

13.反三角的處理思想是什么？（回歸思想：①設(shè)、②貝k③且，回到三角范圍求解）

14.你能熟練的畫出反三角函數(shù)：y=arcsinx、y-arccosxyy=arctanx的圖象嗎？

并結(jié)合圖象，你能說明反三角函數(shù)的性質(zhì)嗎？

15.在三角函數(shù)中求一個角時，注意考慮兩方面要求：

①先求出某一個三角函數(shù)值；②再判定角的范圍。

16.三角方程的通解一般式你注明“kwZ”了嗎？

17.在用反三角表示直線的傾斜角、兩直線的夾角、異面直線所成角、線面角、二面角、向量夾角

時，是否注意到它們的范圍？

直線的傾斜角：兩直線的夾角：［（）,工］;異面直線所成角：（0,工］；線面角：-

2I22

面角：［0,%］;向量夾角：［0,%］；

數(shù)列：

1.數(shù)列的本質(zhì)是什么？（定義在正整數(shù)集或其子集上的函數(shù)）。

2.等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)有什么關(guān)系？等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)有什么關(guān)系？

3.等差數(shù)列的求和公式有幾個？等比數(shù)列的求和公式應(yīng)注意什么？

4.設(shè)5“是數(shù)列｛%｝的前〃項和，則“｛%｝是等差數(shù)列”的充要條件是“S“=其中公

差d=2A”。

n

設(shè)Sn是數(shù)列｛凡｝的前〃項和，則“｛%｝是非常數(shù)等比數(shù)列''的充要條件是"5?=Aq-4A聲0）,

其中公比是4”。

5.常數(shù)列：an=a(〃eN)n｛%｝是公差d=0的等差數(shù)列；

非零常數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列；既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列必為非零常數(shù)列

6.若｛4｝是等差數(shù)歹U,則出〃"｝是等比數(shù)列(。/0)；若｛%｝是等比數(shù)列，則｛log加J｝是等差數(shù)歹U；

7.對于等差、等比數(shù)列，你是否掌握了類比思想？

8.等差數(shù)列、等比數(shù)列有哪些重要性質(zhì)？你注意到它們的性質(zhì)的關(guān)鍵在于下標以及結(jié)構(gòu)特征了嗎？

等差數(shù)列等比數(shù)列

從第二項起，后一項減前一項的差是同一個從第二項起，后一項與前一項的比是同一

定常數(shù)，則該數(shù)列為等差數(shù)列。非零常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列。

1.a-a_=d(n>2,HGNV)恪

義nn}=q(〃22,〃￡N*,qW0)

通項

公式an=q+(〃-l)d(nGN*)%=(neN*)

前“

C(q+a”)naxq=1

項和n1

22S"=<%(IT)一_a“「產(chǎn)1a“q

公式=An2+Bn(nsN‘)\-q\-q

n=1

通項公式％與前〃項和公式之間的關(guān)系：凡=.

、s“-sn>2,neN"

1.a-a=(n-k)-d(n,kwN")

nk1.-匚=qj(n,keN")

aK

2.2all+i=an+an+2(nwN*)

2.a'1=%.(1計2("wN*,a同H0)

性

3.若i+j=k+l=2p,3.若i+j=k+l=2p.

貝ij：ai=ak+at=2ap則:a,-a,=4?4/=(')2

q：+4”)?〃_(“2+a,Ll)「

"-22

4.若匕，原次3……是公差為k的等差數(shù)列，4.若匕/2，%……是公差為Z的等差數(shù)

質(zhì)

則:……是公差為hd的等列,則：%，氣,氣…是公比為”的

差數(shù)列。等比數(shù)列。

5.｛可｝，%“｝分別是公差為4，d2的等差數(shù)5-｛%｝，｛"｝分別是公比為名,生的等比

歹U,a、￡是常數(shù)，則：數(shù)列，a、￡是非零常數(shù)，則：

\a-an士.吃｝是公差為土—4｛8%*￡0｝是公比為4/生的等

的等差數(shù)列。比數(shù)列；

｛竽"｝是公比為生的等比數(shù)列。

b

P,,42

例1.已知｛a“｝是等比數(shù)列，且｛。“｝的前〃項和S“=3"+r,則「=

例2.在等比數(shù)列｛%｝中，a3+as=124,a4-?7=-512,公比q是整數(shù)，則q。=

9.無論是在等差數(shù)列還是在等比數(shù)列中，共有五個關(guān)鍵量：6、S,,、〃、d或q,

如果已知其中三個量，則可由%及S,的公式，求出其余兩個量（知三求二）；

10.求數(shù)列通項公式有哪幾種典型類型？

①廣或心工/根或出二如此2/刈型（定義n等差或等比數(shù)列n利用公式）

的

②已知知+]-勺=/（〃）或%L=g（〃）（〃eN）型（累計求和或累計求積）

③已知。的=〃?4+<7（〃H1）型（等式左右兩邊同時減去一絲）

................1—P

n=]

④已知和S“，求項乙,貝！I：a=P'（是否注意到“〃22”？）

“IS—,一?>2.......

⑤利用迭代、遞推的方法

⑥數(shù)學(xué)歸納法證明（用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的關(guān)鍵是什么？是否具有從特殊到一般的思維模式）

例3.數(shù)列｛2｝滿足％=1,an-an_｛=.---尸，n>2,MN”,則=

例4.數(shù)列｛%｝滿足%=1,?！?3?！盻[+2,n>2,nsN',則

例5.數(shù)列｛a,J滿足q=1,苑:一向=血:?卮，則a“=

例6.數(shù)列｛a,J滿足]4+a?+...+cin—2n+5,則cin=

11.求數(shù)列｛%｝的最大、最小項的方法：注意點：由于〃是正整數(shù)，注意等號成立。

①函數(shù)思想（特別是，利用數(shù)列的單調(diào)性）;

>0>

②作差比較法：““+].....=0=a“+]=

<0<

%“向

③（a“）maxQ（《Jmin=<

an2%4,4％

例7.數(shù)列｛%｝的通項公式為%=-In2+29〃-3,則｛a“｝的最大項為

例8.｛a“｝的通項公式為%=,"---,則｛?！埃淖畲箜棡開______________

n~+156

例9.｛?！埃耐椆綖?=,匕°,則｛a“｝的最大項為

12.求數(shù)列前〃項和S“有哪幾種典型類型？

①通過判斷="等差或等比數(shù)列”=利用求和公式求解。

②通過判斷=>"等差±等比”型n分組拆項求和。

③通過判斷=>"等差x等比”型=>錯位相減法。

④通項或表達式為分式時，常用裂項相消求和法。

常用裂項方法：-----1-----=」一（」------?一）（%>〃）

（k+m）（k+n）m-nk+nk+m

⑤倒序相加法，或倒序相乘法，強調(diào)配對思想。

⑥對于數(shù)表型問題，找規(guī)律，再操作。

⑦對于奇偶項的不同，分類討論，分別求和。（注意項數(shù)、公差、公比的變化）

,,,111

例10.1+----+--------+....+--------------=

1+21+2+31+2+3+…〃

2,貝，"⑴+/（2）+/（3）+/⑷+/（]+/（；）+/（力=

例11.函數(shù)/（X）=A.

l+x

13.你會根據(jù)數(shù)列項的關(guān)系來研究“數(shù)列和的最值”以及“數(shù)列積的最值”嗎？

例12.等差數(shù)列｛”“｝中，q=25,59=Sl7,問該數(shù)列中多少項和最大？并求此最大值。

例13.若｛%｝是等差數(shù)列，首項q>0,。2003+“2004>°，。2003,。2004<0，則使前〃項和S“>0

成立的最大正整數(shù)n是

14.數(shù)列換元應(yīng)注意哪兩個原則？（最小下標原則以及下標一致原則）。

15.極限有哪幾種典型類型？分別如何處理？

[0kl<1

①lime=c（c為常數(shù)）；②lim—=0（4/>0）；③hmqn=<1q=1；

n—>8fqa〃一>8

不存在0>1或4=-1

-,\a\>\b\

an2+hn+ca,人、禽a

hm--------=—(/dw0);◎a"+b"

+en+fd聞

b

-1=—1,a=b,

ab

16.極限的運算性質(zhì)有哪些？

如果：lima=A,limZ?=B,則：①±b〃)=A±3；②lim(a-b)=A-B；

,18H〃一>8M,18〃一>8wn

aA

③lim」=F(3=0)；④=(lima,)*=A*無為有限數(shù);

〃T8bB〃一>8"T8

注：極限的四則運算應(yīng)滿足：項數(shù)有限且每一項都有極限

18.limq"=0=_?(U<1),若limq"存在，則夕滿足什么條件?(同<1或q=l)

"TOO"Too

上述《與等比數(shù)列的公比有什么區(qū)別嗎？

19.無窮等比數(shù)列的“各項和”就是“所有項和”，也就是數(shù)列和的極限。它的前提是等比數(shù)列的公

比q滿足：同<1且qwO,則各項和為S=

i-q

*20.存款單利問題：(零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型)

若每期存入本金p元，每期利率為，，則〃期后本利和為：S“=p(l+r)+p(l+2r)+……p(l+〃r)；

分期付款復(fù)利問題：若貸款p元，采用分期等額還貸款，從借款日算起，一期后為第

一次還款日，如此下去，分"次還清，如果每期利率為廣(按復(fù)利)，那么每期等額還貸款x元應(yīng)滿

足：x(l+r)"T+x(l+r)"~+....+x(l+r)+x=/?(1+r)"；

復(fù)數(shù)

1.你還記得復(fù)數(shù)是怎樣定義的嗎？

①虛數(shù)單位儲四次一循環(huán)i4M=z；i4k+2=-1；i4M=-/；i4M=1；(keZ)

注：易知(l+i)2=2i；(l-2z)2=-2zk；(1+i產(chǎn)=2仁兒(l-i)2k=(-2)k-ik

②復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：形如a+萬R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，記為：z=a+方(a,beR).

a叫做復(fù)數(shù)z的實部，記為：Rez=a；

方叫做復(fù)數(shù)z的虛部，記為：Imz=〃，注意：復(fù)數(shù)的虛部是一個實數(shù)。

注：虛數(shù)不能比較大小；能比較大小的復(fù)數(shù)是實數(shù)

③Z1=a+/?i,z2-a-bi(a,beR),則稱z]、z2為共朝復(fù)數(shù)，記為：z1=z2,或z?=。

注：實數(shù)”的共趣復(fù)數(shù)就是本身，即Z=a(ae/?)

f/■^―

④ze7?<=>Imz=0<^z=z<=>z2>0；z是純虛數(shù)Q<ez<=><z+z?z2<0

Imz^O[zWO

.正整數(shù)

整數(shù)，0

…蛤有理數(shù)々蛇蜻

⑤數(shù)的分類:頭數(shù)j［僅整數(shù)

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)分數(shù)

,無理數(shù)

‘純虛數(shù)："=0且分,0,即2=陽底())

非純虛數(shù)：z=a+bi(a^=03.b^0)

2.解復(fù)數(shù)問題的指導(dǎo)思想是什么？(根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題求解)

設(shè)Z]=a+bi,z2=c+di(a/,c,deR)4()Z]=z?=a-CJL/J=d(把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題)

3.復(fù)數(shù)的性質(zhì)有哪些？

;

②模的性質(zhì):i.|zj-z2|=|z||-|z2|

iv.|z2