6.4.3余弦定理正弦定理（第1課時）課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第六章平面向量及其應(yīng)用

余弦定理、正弦定理第1課時余弦定理人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握余弦定理及其推論.2.借助向量的運算,探索余弦定理的證明過程.3.能夠利用余弦定理解決有關(guān)問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點

余弦定理與解三角形1.文字語言:三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和

這兩邊與它們夾角的

的兩倍.

2.符號語言:在△ABC中,a2=

,b2=

,c2=

.

3.在△ABC中,cosA=

,cosB=

,cosC=

.

4.一般地,三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.減去

余弦的積

b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosB

a2+b2-2abcosC名師點睛應(yīng)用余弦定理解三角形的類型(1)已知兩邊及其夾角求第三邊及其他兩角.(2)已知三邊求三角.過關(guān)自診1.在△ABC中,已知其中兩邊和一個內(nèi)角可以求第三邊嗎?提示

可以求,在余弦定理公式中有四個量,知道兩邊和一個內(nèi)角的情況下轉(zhuǎn)化為解關(guān)于第三邊的一元二次方程,相應(yīng)解的個數(shù)可能為0,1,2,要結(jié)合實際情況進(jìn)行取舍.2.在△ABC中,已知三邊長分別為a,b,c,如何判斷三角形的形狀?提示

不妨設(shè)a<b<c,則當(dāng)a2+b2<c2時,△ABC為鈍角三角形;當(dāng)a2+b2=c2時,△ABC為直角三角形;當(dāng)a2+b2>c2時,△ABC為銳角三角形.3.[北師大版教材習(xí)題]在△ABC中,已知b=1,c=2,A=60°,則a=

.

解析

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A=12+22-2×1×2cos

60°=3,故a=.4.[蘇教版教材例題]在△ABC中,已知acosB=bcosA,求證:△ABC為等腰三角形.整理,得a2=b2.因為a>0,b>0,所以a=b.因此,△ABC為等腰三角形.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一已知兩邊及一角解三角形【例1】

(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a;(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,求角A、角C和邊a.規(guī)律方法

已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法已知三角形的兩邊及一角解三角形,必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角,還是給出兩邊的夾角.若是給出兩邊的夾角,可以由余弦定理求第三邊;若是給出兩邊中一邊的對角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三邊.本質(zhì)是方程思想的應(yīng)用,四個量中“知三求一”.變式訓(xùn)練1(1)在△ABC中,AB=5,BC=1,tanB=,則AC=

;

(2)在△ABC中,cosA=,a=4,b=3,則c=

.

5探究點二已知三邊解三角形【例2】

(1)在△ABC中,若a2+b2+ab=c2,則角C=

;

120°(2)在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶

+1),求各內(nèi)角的度數(shù).變式探究本例(2)中,將條件變?yōu)椤叭切蔚娜龡l邊長分別為”,求其最大角與最小角之和.規(guī)律方法

已知三角形的三邊解三角形的方法

探究點三利用余弦定理判斷三角形形狀【例3】

(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cosAsinB=sinC,試判斷三角形的形狀;解

∵A+B+C=180°,∴sin

C=sin(A+B).∵2cos

Asin

B=sin

C,∴2cos

Asin

B=sin

Acos

B+cos

Asin

B,∴sin

Acos

B-cos

Asin

B=0,∴sin(A-B)=0.∵0°<A<180°,0°<B<180°,∴-180°<A-B<180°,∴A-B=0°,即A=B.又(a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴a2+b2-c2=ab,∴cos

C=.∵0°<C<180°,∴C=60°,∴△ABC為等邊三角形.(2)在△ABC中,若acosB+acosC=b+c,試判斷該三角形的形狀.規(guī)律方法

三角形形狀的判斷方法(1)利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時,需要從“統(tǒng)一”入手,即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題.一般有兩條思考路線:①先化邊為角,再進(jìn)行三角恒等變換,求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.②先化角為邊,再進(jìn)行代數(shù)恒等變換,求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系.(2)判斷三角形的形狀時,經(jīng)常用到以下結(jié)論:①△ABC為直角三角形?a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.②△ABC為銳角三角形?a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.③△ABC為鈍角三角形?a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.④若sin

2A=sin

2B,則A=B或A+B=.變式訓(xùn)練2已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc.(1)求A的大小;(2)若b+c=2a=2,試判斷△ABC的形狀.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)余弦定理.(2)余弦定理解決的兩類問題.(3)余弦定理的簡單應(yīng)用.2.方法歸納:化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):易忽略三角形中的隱含條件.成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測123456789101112131415161718192021A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=,b=3,A=60°,則c=(

)A.1 B.2 C.4 D.6C解析

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(負(fù)值舍去).1234567891011121314151617181920212.[探究點二]若△ABC的三邊長分別為AB=7,BC=5,CA=6,則

的值為(

)A.19 B.14 C.-18 D.-19D1234567891011121314151617181920213.(多選題)[探究點一]在銳角三角形ABC中,b=1,c=2,則a的值不可以是(

)A.1 B.2 C.3 D.4ACD123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021B1234567891011121314151617181920216.[探究點三]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足c=2acosB,則△ABC的形狀是

.

等腰三角形∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC的形狀是等腰三角形.1234567891011121314151617181920217.[探究點二]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知B=C,2b=a,則cosA=

.

1234567891011121314151617181920218.[探究點二]在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=3b,則cosB的最小值是

.

1234567891011121314151617181920219.[探究點二]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a-b=4,a+c=2b,且最大角為120°,則此三角形的最大邊長為

.

14解析

已知a-b=4,則a>b且a=b+4.又a+c=2b,則b+4+c=2b,所以b=c+4,則b>c,從而知a>b>c,所以a為最大邊,故A=120°,b=a-4,c=2b-a=a-8.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A=b2+c2+bc=(a-4)2+(a-8)2+(a-4)(a-8),即a2-18a+56=0,解得a=4或a=14.又b=a-4>0,所以a=14,即此三角形的最大邊長為14.123456789101112131415161718192021(1)b的值;(2)角A的大小.123456789101112131415161718192021利用c2=a2+b2-2abcos

C,整理得b2-2b-15=0,解得b=5或-3(負(fù)值舍去),故b=5.123456789101112131415161718192021B級關(guān)鍵能力提升練AC解析

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A,∴4=b2+12-6b,即b2-6b+8=0,∴b=2或b=4.經(jīng)檢驗,b=2與b=4均符合題意.123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021A.一定是銳角三角形B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形D.是銳角或直角三角形C12345678910111213141516171819202114.在△ABC中,a,b,c為角A,B,C的對邊,且b2=ac,則B的取值范圍是(

)A12345678910111213141516171819202115.在△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),則角C等于(

)A.60° B.45°或135°C.120° D.30°B解析

∵a4+b4+c4=2c2(a2+b2),∴(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-2a2b2=0,∴(a2+b2-c2)2-2a2b2=0,12345678910111213141516171819202116.(多選題)在鈍角△ABC中,若c=8,A=,則邊a的值可能為(