2022-2023學年河南省開封市高一下學期期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省開封市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由復數(shù)，所以的虛部為.故選：B.2.在中，，設，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，整理可得.故選：A.3.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“2枚硬幣都是正面朝上”，事件“2枚硬幣朝上的面相同”，則下列與的關系中正確的個數(shù)為（）①；②互斥；③互為對立；④相互獨立.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗A〖解析〗由題意可知：一枚硬幣有兩個等可能結果：正面朝上、反面朝上，兩枚硬幣有兩個等可能結果：正正、正反、反正、反反，事件“2枚硬幣都是正面朝上”包含的情況為：正正，事件“2枚硬幣朝上的面相同”包含的情況為：正正，反反，故，故①正確；②錯誤；事件的對立事件為：正反、反正、反反，故③錯誤；則，，所以，故④錯誤.故選：A.4.已知為空間中兩條直線，為空間中兩個平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗D〖解析〗對于A，若，則或，A錯；對于B，若，則或相交，B錯；對于C，若，則相交或或異面，C錯；對于D，若，，則或，當，又，可得；當時，如圖，平面內必然有一條直線設為與平行，由，則，由面面垂直的判定可得，所以D正確．故選：D．5.從長度為的5條線段中任取3條，這三條線段不能構成一個三角形的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取出3條線段的情況有，，共10種，不能構成三角形的有，共8種，故概率.故選：D.6.已知分別是圓柱上?下底面圓的圓心，分別是上?下底面圓周上一點，若，且直線與垂直，則直線與所成的角的正切值為（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗如圖，過點作圓柱的母線，交圓柱的上底面于點，連接，則平面，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以，設，則，因為平面，平面，所以，則，即直線與所成的角的正切值為.故選：B.7.如圖所示，為測量河對岸的塔高，選取了與塔底在同一水平面內的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，則塔高為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，，所以，所以，由正弦定理，可得，在直角中，因為所以，即塔高為．故選：C．8.如圖，在平面四邊形中，為等邊三角形，當點在對角線上運動時，的最小值為（）A.-2 B. C.-1 D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，，，所以，所以，即平分，由可得，所以當時，有最小值為.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)滿足，則（）A.B.在復平面內對應的點位于第四象限C.D.〖答案〗ABD〖解析〗由，得，則，故A正確；在復平面內對應的點為，位于第四象限，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD.10.某學校為普及安全知識，對本校1000名高一學生開展了一次校園安全知識競賽答題活動（滿分為100分）.現(xiàn)從中隨機抽取100名學生的得分進行統(tǒng)計分析，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)該直方圖，下列結論正確的是（）A.圖中的值為B.該校高一學生競賽得分不小于90的人數(shù)估計為130人C.該校高一學生競賽得分上四分位數(shù)估計大于80D.該校高一學生競賽得分的平均數(shù)估計為74.6〖答案〗ACD〖解析〗由頻率分布直方圖性質可得：，解得，故A正確；得分不小于90的頻率為，故得分不小于90的人數(shù)估計為人，故B錯誤；得分介于50至80之間的頻率為，所以該校高一學生競賽得分的上四分位數(shù)估計大于80，故C正確；該校高一學生競賽得分的平均數(shù)估計為，故D正確.故選：ACD.11.若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài).已知，與的夾角為，則下列說法正確的是（）A. B.與的夾角為C.與的夾角為 D.〖答案〗AC〖解析〗如圖所示，設分別為，將向量進行平移，平移至，將反向延長至點D，則，，在中，由余弦定理得，，所以，即，故A正確；顯然，在中，，即，所以，所以與的夾角，故B錯誤；與的夾角，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.12.如圖，在棱長為1的正方體中，為面對角線上的一個動點（包含端點），則下列選項中正確的有（）A.三棱錐體積為定值B.線段上存在點，使平面C.當點與點重合時，二面角的余弦值為D.設直線與平面所成角為，則的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為三棱錐的體積，易得平面平面，平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐體積為定值，故A正確；對于B，如圖所示，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設，所以，，設平面，，，則，取，則，則，要使平面，即，，此時，故B正確；對于C，當點與點重合時，此時，設平面，，，則，取，則，則，設平面，設二面角所成角為，所以，因為為銳二面角，，所以，故C不正確；對于D，，，設平面，設直線與平面所成角為，，所以，因為在上單調遞增，所以當取得最大值時，取得最大值，當時，，此時，所以，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，若，則______.〖答案〗〖解析〗因為，，，所以，解得.故〖答案〗為：.14.中岳嵩山是著名的旅游勝地，天氣預報6月30日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6，利用計算機進行模擬試驗，產生之間的整數(shù)隨機數(shù)，假定表示當天下雨，表示當天不下雨，每4個隨機數(shù)為一組，產生如下20組隨機數(shù)：據(jù)此用頻率估計四天中恰有三天下雨的概率的近似值為__________.〖答案〗0.4〖解析〗由表中數(shù)據(jù)可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3181，8425，2436，0753，共8組，所以估計四天中恰有三天下雨的概率為.故〖答案〗為：0.4.15.已知三角形中，內角的對邊分別為，且，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗，由余弦定理可得：，所以，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉子發(fā)動機.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體（如圖乙），若勒洛四面體能夠容納的最大球的表面積為，則正四面體的棱長為______.〖答案〗〖解析〗設正四面體的棱長為a，根據(jù)題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖，點為該球與勒洛四面體的一個切點，為該球球心，由正四面體的性質可知該球球心為正四面體的中心，即為正四面體外接球的球心（內切球的球心），則為正四面體的外接球的半徑，勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，連接，則三點共線，此時，由題意，所以，所以，如圖：記為的中心，連接，由正四面體的性質可知在上，因為，所以，則，因為，即，解得，所以，解得，即正四面體的棱長為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.某校高一年級有學生1000人，其中男生600人，女生400人.為了獲得該校全體高一學生的身高信息，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，抽取一個容量為50的樣本.（1）求抽取男生?女生的人數(shù)；（2）觀測樣本的指標值（單位：），計算得到男生樣本的均值為170，方差為14，女生樣本的均值為160，方差為34，求總樣本的方差，并估計高一年級全體學生的身高方差.解：（1）由題意，高一年級有學生1000人，其中男生600人，女生400人，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，抽取一個容量為50的樣本，所以抽取男生人數(shù)為，女生人數(shù)為.（2）記男生身高為，其均值記為，方差記為；女生身高為，其均值記為，方差記為，把總樣本數(shù)據(jù)的均值記為，方差記為，所以總樣本的均值為，總樣本的方差為，所以總樣本的方差為46，據(jù)此估計高一年級學生身高的總體方差為.18.如圖，在直四棱柱中，，，點為的中點.（1）求證：平面；（2）設是直線上的動點，求三棱錐的體積.解：（1）如圖所示，分別取的中點，連接，由題意得，且，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為，所以，又因為平面平面，所以平面.（2）由（1）平面，所以上任意一點到平面的距離都相等，所以，由題意，又，平面，所以平面，又，所以平面，即平面，因為，所以，所以三棱錐的體積為.19.如圖，設是平面內相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標系中的坐標.設向量在斜坐標系中的坐標分別為.（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量在斜坐標系中的坐標.解：（1）由題可知：，則.（2）記與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為，所以向量在向量上的投影向量在斜坐標系中的坐標為.20.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲?乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結果相互獨立.已知在某局雙方平后，甲先發(fā)球.（1）若兩人又打了2個球該局比賽結束的概率為，求的值；（2）在（1）的條件下，求兩人又打了4個球且甲獲勝的概率.解：（1）由題意可知，甲先發(fā)球，兩人又打了2個球該局比賽結束，所對應的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，所以，解得，即的值為.（2）由題意可知，若兩人又打了4個球且甲獲勝，所對應的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩球均為甲得分”，因為甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，乙得分的概率為，所以.21.在中，內角的對邊分別為.已知.（1）求；（2）若的面積為，且為的中點，求線段的長.解：（1）由正弦定理，可得，即，又因為，得，所以.（2）由（1）可知，由，得，所以，得，又因為，所以，即線段的長為3.22.三棱錐中，底面為正三角形，平面，為棱的中點，且（為正常數(shù)）.（1）若，求二面角的大??；（2）記直線和平面所成角為，試用常數(shù)表示的值，并求的取值范圍.解：（1）底面為正三角形，為棱的中點，所以，因為平面平面，所以，又因為平面，所以平面，又平面，所以，所以二面角的平面角是，而，又，所以，故二面角的大小為.（2）在平面內作，連接，由平面平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，所以直線和平面所成的角，在中，根據(jù)等面積法可得，所以，因為，所以，即，所以，即，因為，所以，所以直線和平面所成角的取值范圍為.河南省開封市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由復數(shù)，所以的虛部為.故選：B.2.在中，，設，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，整理可得.故選：A.3.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“2枚硬幣都是正面朝上”，事件“2枚硬幣朝上的面相同”，則下列與的關系中正確的個數(shù)為（）①；②互斥；③互為對立；④相互獨立.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗A〖解析〗由題意可知：一枚硬幣有兩個等可能結果：正面朝上、反面朝上，兩枚硬幣有兩個等可能結果：正正、正反、反正、反反，事件“2枚硬幣都是正面朝上”包含的情況為：正正，事件“2枚硬幣朝上的面相同”包含的情況為：正正，反反，故，故①正確；②錯誤；事件的對立事件為：正反、反正、反反，故③錯誤；則，，所以，故④錯誤.故選：A.4.已知為空間中兩條直線，為空間中兩個平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗D〖解析〗對于A，若，則或，A錯；對于B，若，則或相交，B錯；對于C，若，則相交或或異面，C錯；對于D，若，，則或，當，又，可得；當時，如圖，平面內必然有一條直線設為與平行，由，則，由面面垂直的判定可得，所以D正確．故選：D．5.從長度為的5條線段中任取3條，這三條線段不能構成一個三角形的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取出3條線段的情況有，，共10種，不能構成三角形的有，共8種，故概率.故選：D.6.已知分別是圓柱上?下底面圓的圓心，分別是上?下底面圓周上一點，若，且直線與垂直，則直線與所成的角的正切值為（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗如圖，過點作圓柱的母線，交圓柱的上底面于點，連接，則平面，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以，設，則，因為平面，平面，所以，則，即直線與所成的角的正切值為.故選：B.7.如圖所示，為測量河對岸的塔高，選取了與塔底在同一水平面內的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，則塔高為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，，所以，所以，由正弦定理，可得，在直角中，因為所以，即塔高為．故選：C．8.如圖，在平面四邊形中，為等邊三角形，當點在對角線上運動時，的最小值為（）A.-2 B. C.-1 D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，，，所以，所以，即平分，由可得，所以當時，有最小值為.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)滿足，則（）A.B.在復平面內對應的點位于第四象限C.D.〖答案〗ABD〖解析〗由，得，則，故A正確；在復平面內對應的點為，位于第四象限，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD.10.某學校為普及安全知識，對本校1000名高一學生開展了一次校園安全知識競賽答題活動（滿分為100分）.現(xiàn)從中隨機抽取100名學生的得分進行統(tǒng)計分析，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)該直方圖，下列結論正確的是（）A.圖中的值為B.該校高一學生競賽得分不小于90的人數(shù)估計為130人C.該校高一學生競賽得分上四分位數(shù)估計大于80D.該校高一學生競賽得分的平均數(shù)估計為74.6〖答案〗ACD〖解析〗由頻率分布直方圖性質可得：，解得，故A正確；得分不小于90的頻率為，故得分不小于90的人數(shù)估計為人，故B錯誤；得分介于50至80之間的頻率為，所以該校高一學生競賽得分的上四分位數(shù)估計大于80，故C正確；該校高一學生競賽得分的平均數(shù)估計為，故D正確.故選：ACD.11.若平面上的三個力作用于一點，且處于平衡狀態(tài).已知，與的夾角為，則下列說法正確的是（）A. B.與的夾角為C.與的夾角為 D.〖答案〗AC〖解析〗如圖所示，設分別為，將向量進行平移，平移至，將反向延長至點D，則，，在中，由余弦定理得，，所以，即，故A正確；顯然，在中，，即，所以，所以與的夾角，故B錯誤；與的夾角，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.12.如圖，在棱長為1的正方體中，為面對角線上的一個動點（包含端點），則下列選項中正確的有（）A.三棱錐體積為定值B.線段上存在點，使平面C.當點與點重合時，二面角的余弦值為D.設直線與平面所成角為，則的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為三棱錐的體積，易得平面平面，平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐體積為定值，故A正確；對于B，如圖所示，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設，所以，，設平面，，，則，取，則，則，要使平面，即，，此時，故B正確；對于C，當點與點重合時，此時，設平面，，，則，取，則，則，設平面，設二面角所成角為，所以，因為為銳二面角，，所以，故C不正確；對于D，，，設平面，設直線與平面所成角為，，所以，因為在上單調遞增，所以當取得最大值時，取得最大值，當時，，此時，所以，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，若，則______.〖答案〗〖解析〗因為，，，所以，解得.故〖答案〗為：.14.中岳嵩山是著名的旅游勝地，天氣預報6月30日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6，利用計算機進行模擬試驗，產生之間的整數(shù)隨機數(shù)，假定表示當天下雨，表示當天不下雨，每4個隨機數(shù)為一組，產生如下20組隨機數(shù)：據(jù)此用頻率估計四天中恰有三天下雨的概率的近似值為__________.〖答案〗0.4〖解析〗由表中數(shù)據(jù)可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3181，8425，2436，0753，共8組，所以估計四天中恰有三天下雨的概率為.故〖答案〗為：0.4.15.已知三角形中，內角的對邊分別為，且，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗，由余弦定理可得：，所以，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉子發(fā)動機.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體（如圖乙），若勒洛四面體能夠容納的最大球的表面積為，則正四面體的棱長為______.〖答案〗〖解析〗設正四面體的棱長為a，根據(jù)題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖，點為該球與勒洛四面體的一個切點，為該球球心，由正四面體的性質可知該球球心為正四面體的中心，即為正四面體外接球的球心（內切球的球心），則為正四面體的外接球的半徑，勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，連接，則三點共線，此時，由題意，所以，所以，如圖：記為的中心，連接，由正四面體的性質可知在上，因為，所以，則，因為，即，解得，所以，解得，即正四面體的棱長為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.某校高一年級有學生1000人，其中男生600人，女生400人.為了獲得該校全體高一學生的身高信息，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，抽取一個容量為50的樣本.（1）求抽取男生?女生的人數(shù)；（2）觀測樣本的指標值（單位：），計算得到男生樣本的均值為170，方差為14，女生樣本的均值為160，方差為34，求總樣本的方差，并估計高一年級全體學生的身高方差.解：（1）由題意，高一年級有學生1000人，其中男生600人，女生400人，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，抽取一個容量為50的樣本，所以抽取男生人數(shù)為，女生人數(shù)為.（2）記男生身高為，其均值記為，方差記為；女生身高為，其均值記為，方差記為，把總樣本數(shù)據(jù)的均值記為，方差記為，所以總樣本的均值為，總樣本的方差為，所以總樣本的方差為46，據(jù)此估計高一年級學生身高的總體方差為.18.如圖，在直四棱柱中，，，點為的中點.（1）求證：平面；（2）設是直線上的動點，求三棱錐的體積.解：（1）如圖所示，分別取的中點，連接，由題意得，且，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為，所以，又因為平面平面，所以平面.（2）由（1）平面，所以上任意一點到平面的距