蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《4.3 等比數列》同步練習卷

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《4.3等比數列》2023年同步練習卷一、選擇題1．在等比數列{an}中，a1＝4，公比為q，前n項和為Sn，若數列{Sn+2}也是等比數列，則q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣32．已知單調遞增的等比數列{an}中，a2?a6＝16，a3+a5＝10，則數列{an}的前n項和Sn＝（）A． B． C．2n﹣1 D．2n+1﹣23．設等比數列{an}的前n項和為Sn，若＝7，則＝（）A．2 B． C． D．4．已知一個等比數列首項為1，項數是偶數，其奇數項之和為341，偶數項之和為682，則這個數列的項數為（）A．4 B．6 C．8 D．105．古代數學名著《九章算術》中的“盈不足”問題知兩鼠穿垣．今有垣厚5尺，兩鼠對穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．問：何日相逢？題意是：由垛厚五尺（舊制長度單位，1尺＝10寸）的墻壁，大小兩只老鼠同時從墻的兩面，沿一直線相對打洞．大鼠第一天打進1尺，以后每天的速度為前一天的2倍；小鼠第一天也打進1尺，以后每天的進度是前一天的一半．它們多久可以相遇？（）A．天 B．天 C．天 D．天6．已知數列{an}是等比數列，若m，且公比q，則實數m的取值范圍是（）A．（2，6） B．（2，5） C．（3，6） D．（3，5）7．已知數列{an}是首項及公比都為2的等比數列，數列{bn}的前n項和為Sn，且滿足bn＝2n?an，則使Sn+n?2n+1＝30成立的正整數n等于（）A．4 B．5 C．6 D．78．設Sn，Tn分別為數列{an}，{bn}的前n項和Sn＝2an﹣1，且，則當Tn取得最大值時，n＝（）A．23 B．24 C．25 D．269．已知等比數列{an}中，a3＝2，其前n項的積Tn＝a1a2…an，則T5等于（）A．8 B．10 C．16 D．32二、多選題（多選）10．等比數列{an}中，，q＝2，則a4與a8的等比中項可能是（）A．﹣4 B．4 C． D．三、填空題11．已知等比數列{an}的前n項和為Sn，若a6＝2a2，則＝．四、解答題12．數列{an}的前n項和記為Sn，a1＝t，點（Sn，an+1）在直線y＝3x+1上，n∈N*．（Ⅰ）當實數t為何值時，數列{an}是等比數列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，設bn＝log4an+1，cn＝an+bn，Tn是數列{cn}的前n項和，求Tn．13．設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為其前n項和，已知S3＝7，a1+3，3a2，a3+4構成等差數列．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）令bn＝an+lnan，求數列{bn}的前n項和Tn．14．已知數列{an}的前n項和Sn和通項an滿足（g是常數，且（q＞0，q≠1）．（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）當時，試證明；（Ⅲ）設函數．f（x）＝logqx，bn＝f（a1）+f（a2）+…+f（an），使對n∈N*？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．15．設數列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn+an＝An2+Bn+1．且a1＝1，a2＝．（1）求證：數列{an﹣n+1}是等比數列并求數列{an}的通項公式；（2）令bn＝，求數列{}的前n項和Tn，若對任意n都有Tn＞m，求實數m的取值范圍．

蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《4.3等比數列》2023年同步練習卷參考答案與試題解析一、選擇題1．【分析】由數列{Sn+2}也是等比數列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比數列，即（s2+2）2＝（S1+2）（S3+2）代入等比數列的前n項和公式整理可得（6+4q）2＝24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由題意可得q≠1由數列{Sn+2}也是等比數列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比數列則（s2+2）2＝（S1+2）（S3+2）代入等比數列的前n項和公式整理可得（6+4q）2＝24（1+q+q2）+12解可得q＝3故選：C．2．【分析】由等比數列的性質和韋達定理可得a3，a5為方程x2﹣10x+16＝0的實根，解方程可得q和a1，代入求和公式計算可得．【解答】解：∵a2?a6＝16，a3+a5＝10，∴由等比數列的性質可得a3?a5＝16，a3+a5＝10，∴a3，a5為方程x2﹣10x+16＝0的實根，解方程可得a3＝2，a5＝8，或a3＝8，a5＝2，∵等比數列{an}單調遞增，∴a3＝2，a5＝8，∴q＝2，，∴故選：B．3．【分析】設公比為q，根據題意求出或q3＝6，再根據求和公式得到＝，問題得以解決．【解答】解：設公比為q，＝7＝，∴7﹣7q3＝1﹣q6，即q6﹣7q3+6＝0，解得q3＝1（舍去）或q3＝6，∴＝＝＝故選：D．4．【分析】先求出公比q＝＝2，再利用等比數列前n項和公式能求出這個數列的項數．【解答】解：∵一個等比數列首項為1，項數是偶數，其奇數項之和為341，偶數項之和為682，∴公比q＝＝2，∴＝341+682，解得n＝10．故選：D．5．【分析】設它們n天可以相遇，利用等比數列前n項和公式列方程能求出結果．【解答】解：設它們n天可以相遇，則+＝5，解得n＝．故選：A．6．【分析】因為數列{an}是等比數列，所以，＝，a4?a9＝，所以m＝q3﹣2，又知道q，故可得m的范圍．【解答】解：因為數列{an}是等比數列，所以，＝，a4?a9＝，所以m＝＝q3﹣2，又知道q，所以q3∈（5，8），所以m∈（3，6）．故選：C．7．【分析】數列{an}是首項及公比都為2的等比數列，可得an＝2n．bn＝2n?an＝﹣n?2n，利用“錯位相減法”可得Sn，代入解出即可．【解答】解：∵數列{an}是首項及公比都為2的等比數列，∴an＝2n．∵滿足bn＝2n?an＝﹣n?2n，∴﹣Sn＝1×2+2×22+3×23+…+（n﹣1）?2n﹣1+n×2n，﹣2Sn＝22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴Sn＝2+22+23+…+2n﹣﹣n×2n+1＝﹣n×2n+1＝（1﹣n）×2n+1﹣2．∵Sn+n?2n+1＝30，∴2n+1﹣2＝30，解得n＝4．∴使Sn+n?2n+1＝30成立的正整數n＝4．故選：A．8．【分析】根據已知利用構造等比等比數列法，可得Sn+1＝2n，進而可得an＝2n﹣1，求出{bn}的通項公式后，分析數列值由正變負的臨界點，可得答案．【解答】解：∵Sn＝2an﹣1，∴當n＝1時，S1＝a1＝1，當n≥2時，Sn＝2（Sn﹣Sn﹣1）﹣1，即Sn＝2Sn﹣1+1，即Sn+1＝2（Sn﹣1+1），由S1+1＝2得：{Sn+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列，故Sn+1＝2n即Sn＝2n﹣1，則an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，又由得：故當n≤24時，bn＞0，當n＞24時，bn＜0，故當Tn取得最大值時，n＝24故選：B．9．【分析】由等比數列的性質易得T5＝，代值計算可得．【解答】解：由等比數列的性質可得a1?a5＝a2?a4＝＝4，∴數列{an}前5項的積T5＝＝25＝32故選：D．二、多選題10．【分析】利用等比數列{an}的通項公式、等比中項意義即可得出．【解答】解：設a4與a8的等比中項是x，由等比數列{an}的性質可得x2＝a4?a8＝×23××27＝16，∴x＝±4，∴a4與a8的等比中項x＝±4．故選：AB．三、填空題11．【分析】設等比數列{an}的公比是q，所以＝q4＝2，所以＝＝＝，將q4＝2代入即可．【解答】解：因為數列{an}是等比數列，設其公比為q．所以＝q4＝2，所以q≠1，所以＝＝＝＝＝．故填：．四、解答題12．【分析】（Ⅰ）根據點（Sn，an+1）在直線y＝3x+1上，可得an+1＝3Sn+1，再寫一式，兩式相減，結合a1＝t，即可求得t＝1時，a2＝4a1，數列{an}是等比數列；（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，求出，我們可以得到bn＝log4an+1＝n，，求和時利用分組求和，可以得到結論．【解答】解：（Ⅰ）∵點（Sn，an+1）在直線y＝3x+1上∴an+1＝3Sn+1，①an＝3Sn﹣1+1，②（n＞1）…（2分）①﹣②：an+1﹣an＝3（Sn﹣Sn﹣1）＝3an，∴an+1＝4an，n＞1…（4分）∵a2＝3S1+1＝3a1+1＝3t+1，a1＝t，∴3t+1＝4t，∴t＝1∴當t＝1時，a2＝4a1，數列{an}是等比數列…（6分）（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，an+1＝4an，∴，…（8分）∴bn＝log4an+1＝n，…（9分），…（10分）∴…（12分）13．【分析】（Ⅰ）根據題意，列出關于{an}的首項與公差的方程組，求出首項、公差代入通項公式即得數列{an}的通項公式．（Ⅱ）將代入bn，得到，利用分組法求出Tn．【解答】解：（Ⅰ）設數列{an}的公比為q（q＞1），由已知，得可得解得，故數列{an}的通項公式為．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以＝＝．14．【分析】（I）由an＝Sn﹣Sn﹣1＝（an﹣1﹣1）知，由S1＝a1＝（a1﹣1）得a1＝q，由此知an＝q?qn﹣1＝qn．（II）由于，故可證明；（III）bn＝logqa1+logqa2+…+logqan＝logq（a1a2…an）＝所以由此能求出m的值．【解答】解：（I）當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（an﹣1﹣1），∴，又由S1＝a1＝（a1﹣1）得a1＝q，∴數列an是首項a1＝q、公比為q的等比數列，∴an＝q?qn﹣1＝qn（II）（III）bn＝logqa1+logqa2+…+logqan＝logq（a1a2…an）＝∴，∴即∵n＝1時，，∴m≤3，∵m是正整數，∴m的值為1，2，315．【分析】（1）首先利用數列的遞推關系式的應用和等比數列的定義的應用求出數列的通項公