培優(yōu)課2 數(shù)列的求和問題教學設(shè)計 2024-2025學年高二下學期數(shù)學北師大版（2019）選擇性必修第二冊

培優(yōu)課2數(shù)列的求和問題教學設(shè)計2024-2025學年高二下學期數(shù)學北師大版（2019）選擇性必修第二冊科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）培優(yōu)課2數(shù)列的求和問題教學設(shè)計2024-2025學年高二下學期數(shù)學北師大版（2019）選擇性必修第二冊教學內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學內(nèi)容為北師大版（2019）選擇性必修第二冊中關(guān)于數(shù)列的求和問題。主要涉及數(shù)列求和的方法，包括等差數(shù)列的求和公式、等比數(shù)列的求和公式以及分組求和法。這些內(nèi)容與學生在高一下學期學習的數(shù)列基礎(chǔ)知識緊密相關(guān)。

教學內(nèi)容與學生已有知識的聯(lián)系在于，學生在之前的學習中已經(jīng)掌握了數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義及性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將引導學生通過實際例題，運用已知的數(shù)列性質(zhì)推導出等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，并學會運用分組求和法解決實際問題。這將有助于提高學生對數(shù)列求和問題的分析能力和解題技巧。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生以下學科核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析。通過探索數(shù)列求和問題，學生將運用邏輯推理能力，理解并推導等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學思維。在數(shù)學建模方面，學生將學會構(gòu)建數(shù)列求和模型，解決實際問題，提高將數(shù)學知識應用于實際情境的能力。同時，通過分析不同數(shù)列求和方法的優(yōu)缺點，培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，提升解決復雜問題的能力。這些核心素養(yǎng)目標與新教材要求相符，有助于學生全面發(fā)展。教學難點與重點1.教學重點：

（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的推導與應用：掌握求和公式是解決數(shù)列求和問題的核心，需要學生熟練掌握公式的推導過程及其應用。

（2）分組求和法的運用：學會將復雜數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，運用分組求和法簡化計算，提高解題效率。

舉例：講解等差數(shù)列求和公式時，通過具體例題引導學生理解公式中各參數(shù)的含義及其在求和過程中的作用。

2.教學難點：

（1）求和公式的推導過程：學生需要具備較強的邏輯推理能力，理解從數(shù)列項的性質(zhì)到求和公式的推導過程。

（2）分組求和法的靈活運用：針對不同類型的數(shù)列，學生需能夠識別并恰當?shù)剡\用分組求和法，這對于學生的觀察能力和思維靈活性是一大挑戰(zhàn)。

舉例：在講解等差數(shù)列求和公式推導過程中，難點在于如何引導學生從數(shù)列的通項公式入手，通過歸納總結(jié)得到求和公式。對于分組求和法，難點在于如何將一個復雜數(shù)列分解為多個等差或等比數(shù)列的組合，學生需要通過具體例題的練習來掌握這一技巧。教學方法與手段1.教學方法：

（1）講授法：以教師為主導，系統(tǒng)講解等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，通過典型例題演示解題方法。

（2）討論法：鼓勵學生分組討論，共同探討不同數(shù)列求和方法的優(yōu)缺點，促進知識的內(nèi)化吸收。

（3）實驗法：讓學生通過實際操作，如使用計算器或數(shù)學軟件進行數(shù)列求和的計算，加深對求和公式的理解。

2.教學手段：

（1）多媒體設(shè)備：運用PPT、視頻等展示數(shù)列求和的動態(tài)過程，幫助學生形象理解抽象概念。

（2）教學軟件：利用數(shù)學軟件進行數(shù)列求和的模擬實驗，提高學生實際操作能力。

（3）網(wǎng)絡(luò)資源：引導學生利用網(wǎng)絡(luò)資源，查找與數(shù)列求和相關(guān)的研究和實例，拓寬知識視野。教學過程設(shè)計1.導入環(huán)節(jié)（5分鐘）

創(chuàng)設(shè)情境：通過展示數(shù)列在日常生活和科學研究中的應用，如天文學中星系距離的計算、經(jīng)濟學中存款利息的計算等，引發(fā)學生對數(shù)列求和問題的興趣。

提出問題：如何快速準確地計算數(shù)列的和？激發(fā)學生的求知欲。

2.講授新課（20分鐘）

（1）等差數(shù)列求和公式的推導（8分鐘）

-通過具體例題，引導學生復習等差數(shù)列的定義和通項公式。

-以數(shù)列的前n項和為切入點，提出求和問題。

-引導學生觀察數(shù)列項的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)相鄰項相加的中間項特點。

-演示并解釋等差數(shù)列求和公式的推導過程。

（2）等比數(shù)列求和公式的推導（8分鐘）

-采用類似方法，引導學生復習等比數(shù)列的定義和通項公式。

-通過實際例題，提出等比數(shù)列求和問題。

-引導學生觀察等比數(shù)列項的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)相鄰項相除的指數(shù)規(guī)律。

-演示并解釋等比數(shù)列求和公式的推導過程。

（3）分組求和法的介紹（4分鐘）

-介紹分組求和法的基本思想，將復雜數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列。

-通過實例講解，展示分組求和法的具體運用。

3.鞏固練習（10分鐘）

（1）課堂提問（5分鐘）

-對等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式進行提問，檢查學生對新知識的掌握程度。

-鼓勵學生解釋求和公式的推導過程，培養(yǎng)其邏輯推理和表達能力。

（2）小組討論與練習（5分鐘）

-分組討論：針對不同類型的數(shù)列求和問題，討論最佳解決方案。

-練習：完成教材中的相關(guān)習題，鞏固求和公式的應用。

4.創(chuàng)新教學與核心素養(yǎng)能力拓展（10分鐘）

（1）數(shù)學建模（5分鐘）

-引導學生構(gòu)建數(shù)列求和的數(shù)學模型，解決實際問題。

-讓學生通過實際操作，體驗數(shù)學建模的過程。

（2）數(shù)據(jù)分析（5分鐘）

-提供不同類型的數(shù)列求和數(shù)據(jù)，讓學生分析各種求和方法的優(yōu)缺點。

-培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析能力和批判性思維。

5.總結(jié)與反饋（5分鐘）

（1）對本節(jié)課所學知識進行總結(jié)，強調(diào)教學重點。

（2）收集學生的反饋意見，了解教學效果，為后續(xù)教學提供參考。教學資源拓展1.拓展資源：

（1）數(shù)學史資料：介紹古代數(shù)學家在數(shù)列求和方面的重要成果，如古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯對等差數(shù)列求和的研究，了解數(shù)學發(fā)展史。

（2）現(xiàn)實生活案例：收集與數(shù)列求和相關(guān)的現(xiàn)實生活案例，如人口增長、投資收益等，讓學生了解數(shù)列求和在生活中的應用。

（3）科研文獻：尋找與數(shù)列求和相關(guān)的科研文獻，如數(shù)學期刊論文，拓展學生的學術(shù)視野。

2.拓展建議：

（1）鼓勵學生閱讀數(shù)學史資料，了解數(shù)學家們的研究方法，激發(fā)學生的學習興趣。

（2）引導學生觀察生活中的數(shù)列求和問題，將所學知識運用到實際情境中，提高解決問題的能力。

（3）組織學生進行小組討論，分享收集到的科研文獻，學習科研方法，培養(yǎng)批判性思維。

（4）針對不同層次的學生，提供難易適度的拓展習題，鞏固基礎(chǔ)知識，提高解題能力。

（5）推薦學生參加數(shù)學競賽、講座等活動，拓寬知識面，鍛煉數(shù)學思維。板書設(shè)計①重點知識點：

-等差數(shù)列求和公式

-等比數(shù)列求和公式

-分組求和法

②重點詞句：

-等差數(shù)列：相鄰項之和，中間項規(guī)律

-等比數(shù)列：相鄰項相除，指數(shù)規(guī)律

-分組求和：復雜到簡單，轉(zhuǎn)化思想

③藝術(shù)性與趣味性：

-使用不同顏色粉筆，區(qū)分公式、例題和結(jié)論

-用圖形、箭頭等符號表示數(shù)列求和的步驟和邏輯關(guān)系

-創(chuàng)設(shè)數(shù)列求和的趣味情境，如漫畫、故事等形式，呈現(xiàn)求和公式

-邀請學生參與板書設(shè)計，增強互動性和參與感

板書設(shè)計要求簡潔明了，突出重點，同時注重藝術(shù)性和趣味性，激發(fā)學生的學習興趣和主動性。課后作業(yè)1.計算題：求等差數(shù)列的前n項和

給定等差數(shù)列{an}，其中a1=1，d=2，求S10。

答案：S10=10/2*[2*1+(10-1)*2]=100

2.計算題：求等比數(shù)列的前n項和

給定等比數(shù)列{bn}，其中b1=1，q=3，求S5。

答案：S5=(1-3^5)/(1-3)=121

3.應用題：實際情境中的數(shù)列求和

某人計劃每月存入100元，銀行年利率為2%，求一年后他的本金和利息總額。

答案：本金和利息總額=100*(1+2%)^12≈1268.24元

4.綜合題：分組求和法

設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，其中cn=n^2+2n，求S10。

答案：S10=(1^2+2*1)+(2^2+2*2)+...+(10^2+2*10)

=(1+2+...+10)^2+2*(1+2+...+10)

=55^2+2*55

=3025+110

=3135

5.探究題：數(shù)列求和的性質(zhì)

已知等差數(shù)列{dn}，其中d為公差，求證：對于任意的n，有S2n-Sn=n^2d。

答