培優(yōu)課2 數(shù)列的求和問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì) 2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

培優(yōu)課2數(shù)列的求和問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第二冊(cè)科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱(chēng)）培優(yōu)課2數(shù)列的求和問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第二冊(cè)教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為北師大版（2019）選擇性必修第二冊(cè)中關(guān)于數(shù)列的求和問(wèn)題。主要涉及數(shù)列求和的方法，包括等差數(shù)列的求和公式、等比數(shù)列的求和公式以及分組求和法。這些內(nèi)容與學(xué)生在高一下學(xué)期學(xué)習(xí)的數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)緊密相關(guān)。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系在于，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義及性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)際例題，運(yùn)用已知的數(shù)列性質(zhì)推導(dǎo)出等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用分組求和法解決實(shí)際問(wèn)題。這將有助于提高學(xué)生對(duì)數(shù)列求和問(wèn)題的分析能力和解題技巧。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生以下學(xué)科核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析。通過(guò)探索數(shù)列求和問(wèn)題，學(xué)生將運(yùn)用邏輯推理能力，理解并推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。在數(shù)學(xué)建模方面，學(xué)生將學(xué)會(huì)構(gòu)建數(shù)列求和模型，解決實(shí)際問(wèn)題，提高將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際情境的能力。同時(shí)，通過(guò)分析不同數(shù)列求和方法的優(yōu)缺點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，提升解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。這些核心素養(yǎng)目標(biāo)與新教材要求相符，有助于學(xué)生全面發(fā)展。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用：掌握求和公式是解決數(shù)列求和問(wèn)題的核心，需要學(xué)生熟練掌握公式的推導(dǎo)過(guò)程及其應(yīng)用。

（2）分組求和法的運(yùn)用：學(xué)會(huì)將復(fù)雜數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，運(yùn)用分組求和法簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題效率。

舉例：講解等差數(shù)列求和公式時(shí)，通過(guò)具體例題引導(dǎo)學(xué)生理解公式中各參數(shù)的含義及其在求和過(guò)程中的作用。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

（1）求和公式的推導(dǎo)過(guò)程：學(xué)生需要具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，理解從數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)到求和公式的推導(dǎo)過(guò)程。

（2）分組求和法的靈活運(yùn)用：針對(duì)不同類(lèi)型的數(shù)列，學(xué)生需能夠識(shí)別并恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分組求和法，這對(duì)于學(xué)生的觀察能力和思維靈活性是一大挑戰(zhàn)。

舉例：在講解等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)過(guò)程中，難點(diǎn)在于如何引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手，通過(guò)歸納總結(jié)得到求和公式。對(duì)于分組求和法，難點(diǎn)在于如何將一個(gè)復(fù)雜數(shù)列分解為多個(gè)等差或等比數(shù)列的組合，學(xué)生需要通過(guò)具體例題的練習(xí)來(lái)掌握這一技巧。教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法：

（1）講授法：以教師為主導(dǎo)，系統(tǒng)講解等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，通過(guò)典型例題演示解題方法。

（2）討論法：鼓勵(lì)學(xué)生分組討論，共同探討不同數(shù)列求和方法的優(yōu)缺點(diǎn)，促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化吸收。

（3）實(shí)驗(yàn)法：讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，如使用計(jì)算器或數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)列求和的計(jì)算，加深對(duì)求和公式的理解。

2.教學(xué)手段：

（1）多媒體設(shè)備：運(yùn)用PPT、視頻等展示數(shù)列求和的動(dòng)態(tài)過(guò)程，幫助學(xué)生形象理解抽象概念。

（2）教學(xué)軟件：利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)列求和的模擬實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生實(shí)際操作能力。

（3）網(wǎng)絡(luò)資源：引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，查找與數(shù)列求和相關(guān)的研究和實(shí)例，拓寬知識(shí)視野。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

創(chuàng)設(shè)情境：通過(guò)展示數(shù)列在日常生活和科學(xué)研究中的應(yīng)用，如天文學(xué)中星系距離的計(jì)算、經(jīng)濟(jì)學(xué)中存款利息的計(jì)算等，引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)列求和問(wèn)題的興趣。

提出問(wèn)題：如何快速準(zhǔn)確地計(jì)算數(shù)列的和？激發(fā)學(xué)生的求知欲。

2.講授新課（20分鐘）

（1）等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)（8分鐘）

-通過(guò)具體例題，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式。

-以數(shù)列的前n項(xiàng)和為切入點(diǎn)，提出求和問(wèn)題。

-引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)相鄰項(xiàng)相加的中間項(xiàng)特點(diǎn)。

-演示并解釋等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程。

（2）等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)（8分鐘）

-采用類(lèi)似方法，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式。

-通過(guò)實(shí)際例題，提出等比數(shù)列求和問(wèn)題。

-引導(dǎo)學(xué)生觀察等比數(shù)列項(xiàng)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)相鄰項(xiàng)相除的指數(shù)規(guī)律。

-演示并解釋等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程。

（3）分組求和法的介紹（4分鐘）

-介紹分組求和法的基本思想，將復(fù)雜數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列。

-通過(guò)實(shí)例講解，展示分組求和法的具體運(yùn)用。

3.鞏固練習(xí)（10分鐘）

（1）課堂提問(wèn)（5分鐘）

-對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式進(jìn)行提問(wèn)，檢查學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握程度。

-鼓勵(lì)學(xué)生解釋求和公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)其邏輯推理和表達(dá)能力。

（2）小組討論與練習(xí)（5分鐘）

-分組討論：針對(duì)不同類(lèi)型的數(shù)列求和問(wèn)題，討論最佳解決方案。

-練習(xí)：完成教材中的相關(guān)習(xí)題，鞏固求和公式的應(yīng)用。

4.創(chuàng)新教學(xué)與核心素養(yǎng)能力拓展（10分鐘）

（1）數(shù)學(xué)建模（5分鐘）

-引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)列求和的數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題。

-讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。

（2）數(shù)據(jù)分析（5分鐘）

-提供不同類(lèi)型的數(shù)列求和數(shù)據(jù)，讓學(xué)生分析各種求和方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

-培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力和批判性思維。

5.總結(jié)與反饋（5分鐘）

（1）對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)教學(xué)重點(diǎn)。

（2）收集學(xué)生的反饋意見(jiàn)，了解教學(xué)效果，為后續(xù)教學(xué)提供參考。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）數(shù)學(xué)史資料：介紹古代數(shù)學(xué)家在數(shù)列求和方面的重要成果，如古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對(duì)等差數(shù)列求和的研究，了解數(shù)學(xué)發(fā)展史。

（2）現(xiàn)實(shí)生活案例：收集與數(shù)列求和相關(guān)的現(xiàn)實(shí)生活案例，如人口增長(zhǎng)、投資收益等，讓學(xué)生了解數(shù)列求和在生活中的應(yīng)用。

（3）科研文獻(xiàn)：尋找與數(shù)列求和相關(guān)的科研文獻(xiàn)，如數(shù)學(xué)期刊論文，拓展學(xué)生的學(xué)術(shù)視野。

2.拓展建議：

（1）鼓勵(lì)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)史資料，了解數(shù)學(xué)家們的研究方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中的數(shù)列求和問(wèn)題，將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際情境中，提高解決問(wèn)題的能力。

（3）組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享收集到的科研文獻(xiàn)，學(xué)習(xí)科研方法，培養(yǎng)批判性思維。

（4）針對(duì)不同層次的學(xué)生，提供難易適度的拓展習(xí)題，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高解題能力。

（5）推薦學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽、講座等活動(dòng)，拓寬知識(shí)面，鍛煉數(shù)學(xué)思維。板書(shū)設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-等差數(shù)列求和公式

-等比數(shù)列求和公式

-分組求和法

②重點(diǎn)詞句：

-等差數(shù)列：相鄰項(xiàng)之和，中間項(xiàng)規(guī)律

-等比數(shù)列：相鄰項(xiàng)相除，指數(shù)規(guī)律

-分組求和：復(fù)雜到簡(jiǎn)單，轉(zhuǎn)化思想

③藝術(shù)性與趣味性：

-使用不同顏色粉筆，區(qū)分公式、例題和結(jié)論

-用圖形、箭頭等符號(hào)表示數(shù)列求和的步驟和邏輯關(guān)系

-創(chuàng)設(shè)數(shù)列求和的趣味情境，如漫畫(huà)、故事等形式，呈現(xiàn)求和公式

-邀請(qǐng)學(xué)生參與板書(shū)設(shè)計(jì)，增強(qiáng)互動(dòng)性和參與感

板書(shū)設(shè)計(jì)要求簡(jiǎn)潔明了，突出重點(diǎn)，同時(shí)注重藝術(shù)性和趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。課后作業(yè)1.計(jì)算題：求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

給定等差數(shù)列{an}，其中a1=1，d=2，求S10。

答案：S10=10/2*[2*1+(10-1)*2]=100

2.計(jì)算題：求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

給定等比數(shù)列{bn}，其中b1=1，q=3，求S5。

答案：S5=(1-3^5)/(1-3)=121

3.應(yīng)用題：實(shí)際情境中的數(shù)列求和

某人計(jì)劃每月存入100元，銀行年利率為2%，求一年后他的本金和利息總額。

答案：本金和利息總額=100*(1+2%)^12≈1268.24元

4.綜合題：分組求和法

設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，其中cn=n^2+2n，求S10。

答案：S10=(1^2+2*1)+(2^2+2*2)+...+(10^2+2*10)

=(1+2+...+10)^2+2*(1+2+...+10)

=55^2+2*55

=3025+110

=3135

5.探究題：數(shù)列求和的性質(zhì)

已知等差數(shù)列{dn}，其中d為公差，求證：對(duì)于任意的n，有S2n-Sn=n^2d。

答