2021年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊知識點總結(jié)

精選word文檔下載可編輯北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊知識點總結(jié)九（上）數(shù)學(xué)知識點答案第一章證明（一）1、你能證明它嗎？（1）三角形全等的性質(zhì)及判定全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角也相等判定SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論性質(zhì)等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）判定有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）（3）等邊三角形的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)定理等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60度；等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸。判定定理有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形?；蛘呷齻€角都相等的三角形是等邊三角形。（4）含30度的直角三角形的邊的性質(zhì)定理在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。（2）命題包括已知和結(jié)論兩部分；逆命題是將倒是的已知和結(jié)論交換；正確的逆命題就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（HL）3、線段的垂直平分線（1）線段垂直平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。判定到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。（2）三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線分別以線段的兩個端點A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑作弧，兩弧交于點M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。4、角平分線（1）角平分線的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；判定在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。（2）三角形三條角平分線的性質(zhì)定理性質(zhì)三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線第二章一元二次方程1、花邊有多寬（1）整式方程及一元二次方程的概念整式方程方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；一元二次方程只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化作ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的形式。（2）一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義2一般式ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)，其中，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項。2、配方法（1）直接開平方法的定義利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫直接開平方法。（2）配方法的步驟和方法一、移項，把方程的常數(shù)項移到等號右邊；二、配，方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，把原方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用開平方法求出它的解。3、公式法（1）求根公式b-4ac≥0時，x=22bb4ac2a2(2)求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)；二、計算b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時，方程有實數(shù)根，否則方程無實數(shù)根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫出方程的兩個根。4、分解因式法（1）分解因式的概念當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，根據(jù)ab=0，那么a=0或b=0，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步驟一、將方程右邊化為零；二、將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；三、設(shè)每一個因式分別為0，得到兩個一元二次方程；四、解這兩個一元二次方程，它們的解就是原方程的解。5、為什么是0.618（1）什么叫黃金比線段AB上一點C分線段AB成兩條線段AC，BC，若黃金分割點，其中ACABACAB=BCAC，則C點叫線段AB的叫黃金比，其值為0.618。（2）列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟一、審題；二、設(shè)求知數(shù)；三、列代數(shù)式；四、列方程；五、解方程；六、檢驗；七、答第三章證明（三）1、平行四邊行（1）平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定定義兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形性質(zhì)平行四邊形的對邊分別平行；平行四邊形的對邊分別相等；平行四邊形的對角分別相等；平行四邊形的對角線互相平分。判定兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊行。（2）等腰梯形的性質(zhì)及判定性質(zhì)等腰梯形在同一底上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。判定同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；對角線相等的梯形是等腰梯形。（3）三角形中位線定義及性質(zhì)定義連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。性質(zhì)三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。2、特殊平行四邊形（1）矩形、菱形、正方形、直角三角形的性質(zhì)及判定第四章視圖與投影1、視圖（1）三視圖的種類及三種視圖之間的關(guān)系三視圖有主視圖、左視圖和俯視圖；三種視圖間的關(guān)系主、俯長對正；主、左高平齊；俯、左寬相等；（2）會畫圓柱、圓錐、球的三視圖2、太陽光與影子（1）投影與平行投影的含義、平行投影的性質(zhì)一般地，用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做投影；由平行光線形成的投影是平行投影。平行投影的性質(zhì)物體上的點以及影子上的對應(yīng)點的連線互相平行；當(dāng)物體與投影面平行時，所形成的影子與物體全等；同一時刻，在平行光線下，互相平行的物體的高度與影子長度的比值相等。（2）物體影長的變化規(guī)律，會將影長與相似結(jié)合起來進行計算在太陽光的照射下，不同時刻，物體影子的長短也不一樣，早晚影子長，中午影子短。（3）平行投影與視圖之間的關(guān)系視圖實際上就是該物體在某一平行光線下的投影。3、燈光與影子（1）中心投影的概念及應(yīng)用，區(qū)別平行投影與中心投影從一點發(fā)出的光線形成的投影稱為中心投影。（2）視點、視線與盲區(qū)的概念眼睛的位置稱為視點；由視點發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。第五章反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)（1）反比例函數(shù)的概念一般地，如果兩個變量x,y之間的關(guān)系可以表示成y=函數(shù)。反比例函數(shù)的自變量x不能為0。（2）掌握求反比例函數(shù)的解析式的方法將一組x,y的值代入解析式中確定k的值即可。kx的形式，那么稱y是x的反比例2、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）反比例函數(shù)圖象的畫法一般采用描點法先列表，再描點，再連線。（2）反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，其表達式與圖象的關(guān)系，函數(shù)值大小的比較（表5-1）3、反比例函數(shù)的應(yīng)用（1）用反比例函數(shù)解決實際問題的一般思路1、根據(jù)問題情境，設(shè)出所求的反比例函數(shù)表達式；2、由問題中的已知數(shù)據(jù)，代入所求表達式，列出方程（或方程組），求出方程的解，確定出待定系數(shù)的值，從而確定函數(shù)表達式；3、根據(jù)函數(shù)表達式，去解決實際問題。（2）反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別及綜合應(yīng)用（表5-1）表5-1擴展閱讀人教版九年級全冊數(shù)學(xué)知識點總結(jié)第二十一章二次根式二次根式式子(a≥0)叫做二次根式。最簡二次根式滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式；（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如不是最簡二次根式，因被開方數(shù)中含有4是可開得盡方的因數(shù)，又如，，..........都不是最簡二次根式，而，，5，都是最簡二次根式。同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。如它們與,,就是同類二次根式，因為=2，=3，的被開方數(shù)均為2。有理化因式兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。如理化因式。二次根式的性質(zhì)(a≥0)是一個非負數(shù),即≥0;)=a(a≥0)；2與，a+與a-，-與+，互為有非負數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個數(shù)，即(某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對值，即=|a|==（a非負數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即≥0,b≥0）。非負數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即=（a≥0,b>0）。22二次根式的乘除二次根式的乘法兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即都是非負數(shù)；（2）（≥0，≥0）可以推廣為（≥0，≥0，≥0，（3）等式≥0）。（≥0，（≥0，≥0）；（≥0，≥0）。說明（1）法則中、可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值范圍，、（≥0，≥0）也可以倒過來使用，即≥0）。也稱“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對一些二次根式進行化簡。二次根式的除法兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即0，在分母中，因此＞0；（≥0，＞0）。說明（1）法則中、可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值范圍，≥（2）（≥0，＞0）可以推廣為（≥0，＞0，≠0）；（3）等式（≥0，＞0）也可以倒過來使用，即（≥0，＞0）。也稱“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對一些二次根式進行化簡。最簡二次根式（1）被開方數(shù)中不含能開方開得盡的因數(shù)或因式；（2）被開方數(shù)中不含分母。23二次根式的加減同類二次根式注判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，關(guān)鍵是先把二次根式準(zhǔn)確地化成最簡二次根式，再觀察它們的被開方數(shù)是否相同。（2）合并同類二次根式合并同類二次根式的方法與合并同類項的方法類似，系數(shù)相加減，二次根號及被開方數(shù)不變。二次根式的加減（1）二次根式的加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式分別合并。（2）二次根式的加減法與多項式的加減法類似，首先是化簡，在化簡的基礎(chǔ)上去括號再合并同類二次根式，同類二次根式相當(dāng)于同類項。一般地，二次根式的加減法可分以下三個步驟進行i）將每一個二次根式都化簡成最簡二次根式ii）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結(jié)合成一組iii）合并同類二次根式二次根式的混合運算二次根式的混合運算可以說是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應(yīng)用，在進行二次根式的混合運算時應(yīng)注意以下幾點（1）觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運算順序，二次根式的混合運算與實數(shù)的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號先算括號內(nèi)的。（2）在運算過程中，每個根式可以看作是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作是“多項式”。（3）觀察式中二次根式的特點，合理使用運算律和運算性質(zhì)，在實數(shù)和整式中的運算律和運算性質(zhì)，在二次根式的運算中都可以應(yīng)用。分母有理化（1）我們在前面的學(xué)習(xí)中研究了分母形如綜合起來，常見的有理化因式有①形式的分式的分母有理化，②的有理化因式為，③的有理化因式為的有理化因式為因式為，④的有理化因式為，⑤的有理化（2）分母有理化就是通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程，混合運算中進行二次根式的除法運算，一般都是通過分母有理化而進行的。第二十二章一元二次方程21一元二次方程在一個等式中，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。22降次解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法1、直接開平方法用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解為x=±m(xù).2、配方法轉(zhuǎn)化系數(shù)化移項配方變形開方3、公式法公式法把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式△=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時，把各項系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。因式分解法把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。23實際問題與一元二次方程列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展從列方程解應(yīng)用題的方法來講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類問題大部分都可通過算術(shù)方法來解決．如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問題，經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題，數(shù)學(xué)問題中涉及積的一些問題，經(jīng)營決策問題等等．第二十三章旋轉(zhuǎn)21圖形的旋轉(zhuǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)（1）定義在平面內(nèi)，將一個圓形繞一個定點沿某個方向（順時針或逆時針）轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。（2）生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類一類是物體的旋轉(zhuǎn)運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動，風(fēng)車的轉(zhuǎn)動等；另一類則是由某一基本圖形通過旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。（3）圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。（4）會找對應(yīng)點，對應(yīng)線段和對應(yīng)角。旋轉(zhuǎn)的基本特征（1）圖形在旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）圖形在旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；（3）圖形在旋轉(zhuǎn)時，圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變。幾點說明旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點旋轉(zhuǎn)過程中位置沒有改變，哪一點就是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對應(yīng)點連線的垂直平分線的交點就是旋轉(zhuǎn)中心。22中心對稱中心對稱把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，假如它能夠與另一個圖形重合，那么這個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱。中心對稱的性質(zhì)①關(guān)于中心對稱的劉遇圖形，對應(yīng)點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分。②關(guān)于中心對稱的劉遇圖形是全等形。中心對稱圖形把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。對稱點的坐標(biāo)規(guī)律①關(guān)于x軸對稱橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，②關(guān)于y軸對稱橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，③關(guān)于原點對稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。第二十四章圓第三章圓1、定義圓是平面上到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解①圓是一條封閉曲線，不是圓面；②圓由兩個條件唯一確定一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。2、點與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則①點在圓上d=r；②點在圓內(nèi)dr。（P56-5，6、P58-16）證明若干個點共圓，就是證明這幾個點與一個定點的距離相等。3、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心。直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。（P58-4、P59-9、P61-3、P63-16、P65-15）4、與圓相關(guān)的概念①弦和直徑。弦連接圓上任意兩點的線段叫做弦。直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。②圓弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧。圓弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“⌒”表示，半圓直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)弧大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。)③弓形弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。④同心圓圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。⑤等圓能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。⑥等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。⑦圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角。⑦弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距。5、垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧。6、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。7、1°的弧的概念把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的角都是1°的圓心角，相應(yīng)的整個圓也被等分成360份，每一份同樣的弧叫1°弧。圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等。8、圓周角的定義頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角。圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；（P66-5，7、P68-16）9、確定圓的條件①理解確定一個圓必須的具備兩個條件圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓，經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓，其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上。②經(jīng)過三點作圓要分兩種情況(1)經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓。(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點，能且僅能作一個圓。定理不在同一直線上的三個點確定一個圓。10、(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。（P69-4,5、P70-15）(2)三角形的外心三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心。(3)三角形的外心的性質(zhì)三角形外心到三頂點的距離相等。11、直線和圓的位置關(guān)系（P72-3,5）(1)相交直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線。(2)相切直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點做切點。(3)相離直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。(4)直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，則①dr直線L和⊙O相離。12、切線的總判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點的半徑。推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。結(jié)論如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個。①垂直于切線；②過切點；③過圓心。（P73-13、P74-3、P75-14）13、和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。三角形內(nèi)心的性質(zhì)(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等。(2)過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角。由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線連接內(nèi)心和三角形的頂點，該線平分三角形的這個內(nèi)角。（P77-2、P78-14）題15如圖，PA是⊙O的切線，割線PBC與⊙O相交于點B、C，PA＝6、PB＝4則BC＝________．AB的值為________。AC圖514、兩圓的位置關(guān)系（P79-6、P81-13）(1)外離兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離。(2)外切兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切。這個惟一的公共點叫做切點。(3)相交兩個圓有兩個公共點，此時叫做這個兩個圓相交。(4)內(nèi)切兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切。這個惟一的公共點叫做切點。(5)內(nèi)含兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含。兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個特例。(6)兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定(1)兩圓外離d>R+r；(2)兩圓外切d=R+r；(3)兩圓相交R-r23正多邊形和圓1、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形與圓的關(guān)系(1)將一個圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形。(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓。3、正多邊形的有關(guān)概念(1)正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心。(2)正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑。(3)正多邊形的邊心距正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。(4)正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角。4、正多邊形性質(zhì)(1)任何正多邊形都有一個外接圓。(2)正多邊形都是軸對稱圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，正n邊形的對稱軸有n條。(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。重點正多邊形的有關(guān)計算。知識講解1、正多邊形定義各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。例如正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。如果一個正多邊形有n條邊，那么，這個多邊形叫正n邊形。再如矩形不是正多邊形，因為它只具有各角相等，而各邊不一定相等；菱形不是正多邊形，因為，它只具有各邊相等，而各角不一定相等。2、正多邊形與圓的關(guān)系。正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n≥3)等份，依次連結(jié)分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形。相鄰分點間的弧相等，則所對的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而這個多邊形就是正多邊形。如將圓6等分，即，則AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。觀察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所對的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，所以，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。所以，將一個圓6等分，依次連結(jié)各分點所得到的是⊙O的內(nèi)接正六邊形。3、正多邊形的有關(guān)計算。(1)首先要明確與正多邊形計算的有關(guān)概念即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角αn，正多邊形的邊長an。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了2n個全等的直角三角形。如圖是一個正n邊形ABCD根據(jù)以上講解，我們來分析RtΔAOM的基本元素斜邊OA正n邊形的半徑Rn；一條直角邊OM正n邊形的邊心距rn；一條直角邊AM正n邊形的邊長an的一半即AM＝an；銳角∠AOM正n邊形的中心角αn的一半即∠AOM＝銳角∠OAM正n邊形內(nèi)角的一半即∠OAM＝；[(n－2)180°]；可以看到在這個直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計算歸納為解直角三角形的問題。4、正多邊形的有關(guān)作圖。(1)使用量角器來等分圓。(2)用尺規(guī)來等分圓。對于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。①正四、八邊形。在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分。5、正多邊形的對稱性。正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心，如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。如正三角形、正方形。24弧長和扇形面積知識點1、弧長公式因為360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C＝2R，所以1°的圓心角所對的弧長是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式，說明（1）在弧長公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R＝10，計算20°的圓心角所對的弧長l時，不要錯寫成。（2）在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個量，都可以求出第三個量。知識點2、扇形的面積如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因為圓心角是360°的扇形面積等于圓面積扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計算公式是，扇形面積。，所以圓心角為1°的。，所以又得到扇形面積的又因為扇形的弧長另一個計算公式知識點3、弓形的面積（1）弓形的定義由弦及其所對的?。ò踊?、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長＝弦長＋弧長（3）弓形的面積如圖所示，每個圓中的陰影部分的面積都是一個弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計算出來，就可以得到弓形AmB的面積。當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示，當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示，例如圖所示，⊙O的半徑為2，∠ABC＝45°，則圖中陰影部分的面積是（）（結(jié)果用表示）分析由圖可知由圓周角定理可知∠ABC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以，所以注意（1）圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計算公式。圓周長弧長圓面積扇形面積∠AOC，所以∠AOC＝公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積知識點4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說明（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計算問題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識點5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積知識小結(jié)圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過程圖形的組成側(cè)面展開圖的特征面積計算方法由一個直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如Rt△SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。一個底面和一個側(cè)面扇形由一個矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。兩個底面和一個側(cè)面矩形第二十五章概率初步21隨機事件與概率1．隨機試驗與樣本空間具有下列三個特性的試驗稱為隨機試驗(1)試驗可以在相同的條件下重復(fù)地進行；(2)每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但事先知道每次試驗所有可能的結(jié)果；(3)每次試驗前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)．第二十六章二次函數(shù)1、定義一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實數(shù)。2、二次函數(shù)yax2的性質(zhì)（1）拋物線yax2的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是y軸；（2）函數(shù)yax2的圖像與a的符號關(guān)系①當(dāng)a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當(dāng)a0時拋物線開口向下頂點為其最高點。2（3）頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax（a0）。（P21-12）3、二次函數(shù)yaxbxc的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線。4、二次函數(shù)yaxbxc用配方法可化成yaxhk的形式，222b4acb2，k其中h。2a4a5、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc。6、拋物線的三要素開口方向、對稱軸、頂點。222①a的符號決定拋物線的開口方向當(dāng)a0時，開口向上；當(dāng)a0時，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同。②平行于y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0。（P23-9,10）7、頂點決定拋物線的位置。幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同。8、求拋物線的頂點、對稱軸的方法b4acb2b4acb2（，）（1）公式法yaxbxcax，∴頂點是，2a4a2a4ab對稱軸是直線x。（P26-9）2a2（2）配方法運用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是直線xh。22（3）運用拋物線的對稱性由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點。注意用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失。題11拋物線y＝x2＋6x＋4的頂點坐標(biāo)是()A．(3，-5)B．(-3，-5)C．(3，5)D．(-3，5)9、拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用（P29-例2,1,10）（1）a決定開口方向及開口大小，這與yax2中的a完全一樣。（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置。由于拋物線yax2bxc的對稱軸是直線。，故①b0時，對稱軸為y軸；②0（即a、b同號）時，對稱軸在y2aab軸左側(cè)；③0（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側(cè)。a（3）c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點的位置。x當(dāng)x0時，yc，∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個交點（0，c）①c0，拋物線經(jīng)過原點；②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負半軸。以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則10、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下函數(shù)解析式開口方向b0。ayax2yax2k對稱軸x0（y軸）頂點坐標(biāo)（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yaxh2yaxhk2當(dāng)a0時開口向上當(dāng)a0時開口向下x0（y軸）xhxhyaxbxc2bx2ab4acb2，()2a4a11、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）（1）一般式y(tǒng)axbxc。已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式。（2）頂點式y(tǒng)axhk.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式。22（3）交點式已知圖像與x軸的交點坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點式y(tǒng)axx1xx2。題12已知關(guān)于x的一元二次方程x-2(m-1)x＋(m-1)＝0，有兩個實數(shù)根x1、x2，且x1＋x2＝4．求m的值。2222x25x632題13先化簡，再求值11，其中x＝32x33x3xx1題14在平面直角坐標(biāo)系中，B(3＋1，0)，點A在第一象限內(nèi)，且∠AOB＝60°，∠ABO＝45°。(1)求點A的坐標(biāo)；(2)求過A、O、B三點的拋物線解析式；(3)動點P從O點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿OA運動到點A止，①若△POB的面積為S，寫出S與時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系；②是否存在t，使△POB的外心在x軸上，若不存在，請你說明理由；若存在，請求出t的值。圖4（6）拋物線與x軸兩交點之間的距離若拋物線yax2bxc與x軸兩交點為Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的兩個根，故bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2aaaa2特殊值的形式①當(dāng)x=１時y=a+b+c②當(dāng)x=-1時y=a-b+c③當(dāng)x=2時y=4a+2b+c④當(dāng)x=-2時y=4a-2b+c26．1用函數(shù)觀點看一元二次方程如果拋物線yax2bxc與x軸有公共點，公共點的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)xx0時，函數(shù)的值是0，因此xx0就是方程ax2bxc0的一個根。二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根。26．2實際問題與二次函數(shù)在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二十七章相似27．1圖形的相似概述如果兩個圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個圖形相似。判定如果兩個多邊形滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形相似。相似比相似多邊形的對應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時，相似的兩個圖形全等。性質(zhì)相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長比等于相似比。相似多邊形的面積比等于相似比的平方。27．2相似三角形判定兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等三邊對應(yīng)成比例平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。例題∵∠A=∠A";∠B=∠B"∴△ABC∽△A"B"C"性質(zhì)相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。相似三角形周長的比等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方27．3位似如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。性質(zhì)位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。位似多邊形的對應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會隨著位似中心的位變而位變。根據(jù)一個位似中心可以作兩個關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對稱。注意1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；2、兩個位似圖形的位似中心只有一個；3、兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似；5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。第二十八章銳角三角函數(shù)28．1銳角三角函數(shù)銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對邊比鄰邊；余切（cot）等于鄰邊比對邊正切與余切互為倒數(shù)互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.同角三角函數(shù)間的關(guān)系平方關(guān)系tanα=sinα/cosα，，sin2α+cos2α=1積的關(guān)系倒數(shù)關(guān)系tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊,余切等于鄰邊比對邊三角函數(shù)值（1）特殊角三角函數(shù)值（2）0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。（3）④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（i）銳角三角函數(shù)值都是正值（ii）當(dāng)角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅┱兄惦S著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。┯嗲兄惦S著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）（iii）當(dāng)角度在0°≤α≤90°間變化時，0≤sinα≤1,1≥cosα≥0,當(dāng)角度在0°0.特殊的三角函數(shù)值28．2解直角三角形勾股定理，只適用于直角三角形（外國叫“畢達哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個正整數(shù)。比如3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。常見的勾股弦數(shù)有3，4，5；6，8，10；等等.直角三角形的特征⑴直角三角形兩個銳角互余；⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；⑶直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半；⑷勾股定理直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即222在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則a+b=c；⑸勾股定理的逆定理如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，222則這個三角形是直角三角形，即在△ABC中，若a+b=c，則∠C＝90°；222A⑹射