本章總結(jié)提升 導(dǎo)學(xué)案正文

本章總結(jié)提升判斷下列說法是否正確.(請?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫“√”或“×”)1.已知圓x2+(y-1)2=2,則過點(diǎn)(1,2)作該圓的切線有2條. ()2.若三條直線y+2x-4=0,x-y+1=0與ax-y+2=0共有兩個(gè)交點(diǎn),則a的值為-1或2. ()3.若直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,則a=-1. ()4.過點(diǎn)P(3,4)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是x+y-7=0. ()5.若直線l過點(diǎn)(5,10),且原點(diǎn)到直線l的距離為5,則直線l的方程為3x-4y+25=0. ()6.設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)為圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0外一點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C的切線,設(shè)切點(diǎn)為Q,則|PQ|=x02+y7.若x2+y2-2x+y+k=0是圓的方程,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-∞,54. (8.直線3x-4y+8=0與圓(x-1)2+(y+1)2=16沒有交點(diǎn). ()9.圓O1:x2+y2-2x=0與圓O2:x2+y2-4y=0有兩條公切線. ()◆題型一直線方程、兩條直線的位置關(guān)系[類型總述](1)直線方程的形式:①點(diǎn)斜式;②斜截式;③兩點(diǎn)式;④截距式;⑤一般式.(2)兩條直線的位置關(guān)系:①平行;②垂直;③相交.例1(1)(多選題)已知直線l1:ax+y-3a=0,直線l2:2x+(a-1)y-6=0,則 ()A.當(dāng)a=3時(shí),l1與l2的交點(diǎn)為(3,0)B.直線l1恒過點(diǎn)(3,0)C.若l1⊥l2,則a=1D.存在a∈R,使得l1∥l2(2)已知直線l1過點(diǎn)A(1,-4)且與直線l2:x+y-2=0垂直.①求直線l1的方程;②若直線l經(jīng)過B2,32,且過直線l1與l2的交點(diǎn),求直線變式(1)(多選題)已知直線l1:x-y+m=0,l2:2x+my-1=0,則下列結(jié)論正確的有 ()A.若l1∥l2,則m=-2B.若l1⊥l2,則m=2C.若l1,l2在x軸上的截距相等,則m=1D.l2的傾斜角不可能是l1的傾斜角的2倍(2)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(2,1),B(5,3),C(-1,5).①求△ABC的邊BC上的高所在直線l的方程;②若D滿足CB=3CD,求過點(diǎn)D且與l平行的直線的方程.◆題型二距離問題[類型總述](1)點(diǎn)點(diǎn)距離;(2)點(diǎn)線距離;(3)線線距離;(4)與距離有關(guān)的最值問題.例2(1)已知直線l1:ax+y+1=0過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P到直線l2:y=k(x+1)距離的最大值是 ()A.1 B.2 C.3 D.2(2)直線l1:3ax-y-2=0和直線l2:(2a-1)x+5ay-1=0分別過定點(diǎn)A和B,則|AB|=.

變式(1)已知A(-1,2),B(3,5),則與直線AB平行且距離為2的直線的方程為 ()A.3x-4y+21=0B.3x-4y-1=0C.3x-4y+21=0或3x-4y+1=0D.3x-4y-21=0或3x-4y-1=0(2)若兩條平行直線l1:x-2y+m=0(m>0)與l2:2x+ny-6=0之間的距離是25,則直線l1關(guān)于直線l2對稱的直線方程為 ()A.x-2y-13=0 B.x-2y+2=0C.x-2y+4=0 D.x-2y-6=0(3)已知直線l:x-2y+8=0和兩點(diǎn)A(2,0),B(-2,-4),在直線l上求一點(diǎn)P,使||PB|-|PA||最大.◆題型三圓的方程[類型總述](1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)圓的一般方程.例3(1)[2022·全國甲卷]設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上,點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為.

(2)[2022·全國乙卷]過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

變式(1)[2024·北京四中高二期中]過點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x-y=1相切于點(diǎn)B(2,1),則圓C的方程為 ()A.(x-3)2+(y+1)2=5B.(x-3)2+y2=2C.(x-3)2+(y-8)2=50D.(x-3)2+y2=2(2)使方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓的實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

◆題型四直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用[類型總述](1)直線與圓的位置;(2)圓與圓的位置;(3)弦長公式;(4)垂徑定理.例4(1)過點(diǎn)-33,0且傾斜角為π3的直線l交圓x2+y2-6y=0于A,B兩點(diǎn),則弦A.42 B.22 C.210 D.10(2)(多選題)已知圓C1:x2+y2=9與圓C2:(x-3)2+(y-4)2=16,則下列說法正確的是 ()A.C1與C2的公切線恰有4條B.C1與C2的相交弦所在直線的方程為3x+4y-9=0C.C1與C2的相交弦的弦長為12D.若P,Q分別是圓C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),則|PQ|max=12例5古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,著作中有這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)E(2,0),F(22,0),則滿足|PF|=2|PE|的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記為圓D.(1)求圓D的方程;(2)過點(diǎn)Q(3,3)向圓D作切線QS,QT,切點(diǎn)分別是S,T,求直線ST的方程.(3)若點(diǎn)A(-2,2),B(-2,6),C(4,-2),當(dāng)P在圓D上運(yùn)動(dòng)時(shí),求2|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值.變式(1)[2022·新高考全國Ⅰ卷]寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程.

(2)[2022·新高考全國Ⅱ卷]設(shè)點(diǎn)A(-2,3),B(0,a),直線AB關(guān)于直線y=a的對稱直線為l,已知l與圓C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn),則a的取值范圍為.

◆題型五圓中的最值問題[類型總述](1)與距離有關(guān)的最值問題;(2)與面積有關(guān)的最值問題;(3)與角或斜率有關(guān)的最值問題.例6(1)若直線l:2mx+y-m-1=0與圓C:x2+(y-2)2=4交于A,B兩點(diǎn),則當(dāng)弦AB最短時(shí)直線l的方程為 ()A.x-4y+3=0 B.2x-4y+3=0C.2x+4y-3=0 D.2x+4y+3=0(2)(多選題)[2021·新高考全國Ⅰ卷]已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上,點(diǎn)A(4,0),B(0,2),則 ()A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C.當(dāng)∠PBA最小時(shí),|PB|=32D.當(dāng)∠PBA最大時(shí),|PB|=32(3)[2024·廣東肇慶一中高二期中]已知圓O的方程為x2+y2=16,直線l:x+y-8=0,點(diǎn)P是直線l上的一動(dòng)點(diǎn),過P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則當(dāng)四邊形PAOB的面積最小時(shí),直線AB的方程為 ()A.x+y=4 B.3x+4y=4C.2x+3y=4 D.x+y=1變式(1)在平面直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)A(0,a)向圓C:(x-2)2+(y-1)2=3引切線,切點(diǎn)為B,設(shè)|AB|=d1,點(diǎn)A到直線x-y+4=0的距離為d2,當(dāng)d1+d2取得最小值時(shí),a的值為 ()A.1 B.2 C.522 D(2)[2024·湖北孝感高二期中]已知圓C1:x2+y2=4和圓C2:(x-2)2+(y-2)2=4,若點(diǎn)P(a,b)(a>0,b>0)在兩圓的公共弦上,則1a+9b的最小值為◆題型六直線、圓的方程的應(yīng)用例7如圖所示,一條隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路,其截面由一段圓弧和一個(gè)長方形的三條邊構(gòu)成.已知隧道總寬度AD為63m,行車道總寬度BC為211m,側(cè)墻EA,FD的高均為2m,弧頂高M(jìn)N為5m.(1)以EF所在直線為x軸,以MN所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,單位長度為1m,求圓弧所在圓的方程;(2)為保證安全,要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m,假設(shè)車輛寬度合適,且靠行車道最右側(cè)行駛,則車輛可以通過隧道的限制高度是多少?變式在一次重大軍事聯(lián)合演習(xí)中,以點(diǎn)E為中心的5海里以內(nèi)