高中數(shù)學(xué) 第二章 概率知能基礎(chǔ)測(cè)試 新人教B版選修2-3

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章概率知能基礎(chǔ)測(cè)試新人教B版選修2-3時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)足150分．一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：ξ0123Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,10)p則p的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)[答案]A[解析]∵eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,10)＋p＝1，∴p＝eq\f(1,2)，故選A.2．某產(chǎn)品40件，其中有次品數(shù)3件，現(xiàn)從中任取2件，則其中至少有一件次品的概率是()A．0.1462 B．0.1538C．0.9962 D．0.8538[答案]A[解析]P＝1－eq\f(C\o\al(2,37),C\o\al(2,40))＝0.1462.故選A.3．(·景德鎮(zhèn)市高二期末)已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如圖，則隨機(jī)變量X的方差D(X)等于()X01Pm2A.eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]由m＋2m＝1得，m＝eq\f(1,3)，∴E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝(0－eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(2,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，故選B.4．(·霍邱二中一模)設(shè)隨機(jī)變量ξ等可能取值1、2、3、…、n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值為()A．3 B．4C．9 D．10[答案]D[解析]∵P(ξ<4)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.5．有編號(hào)分別為1、2、3、4、5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中取出4個(gè)，則取出的編號(hào)互不相同的概率為()A.eq\f(5,21) B．eq\f(2,7)C．eq\f(1,3) D．eq\f(8,21)[答案]D[解析]從10個(gè)球中任取4個(gè)，有Ceq\o\al(4,10)＝210種取法，取出的編號(hào)互不相同的取法有Ceq\o\al(4,5)·24＝80種，∴所求概率P＝eq\f(80,210)＝eq\f(8,21).6．在比賽中，如果運(yùn)動(dòng)員A勝運(yùn)動(dòng)員B的概率是eq\f(2,3)，那么在五次比賽中運(yùn)動(dòng)員A恰有三次獲勝的概率是()A.eq\f(40,243) B．eq\f(80,243)C.eq\f(110,243) D．eq\f(20,243)[答案]B[解析]P＝Ceq\o\al(3,5)(eq\f(2,3))3(1－eq\f(2,3))2＝eq\f(80,243).故選B.7．如果隨機(jī)變量ξ表示拋擲一個(gè)各面分別有1,2,3,4,5,6的均勻的正方體向上面的數(shù)字，那么隨機(jī)變量ξ的均值為()A．2.5 B．3C．3.5 D．4[答案]C[解析]∵p(ξ＝k)＝eq\f(1,6)(k＝1,2，…，6)．∴E(ξ)＝eq\f(1,6)(1＋2＋…＋6)＝3.5.故選C.8．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是()A.eq\f(5,12) B．eq\f(1,2)C．eq\f(7,12) D．eq\f(3,4)[答案]C[解析]由題意P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，事件A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率P＝1－eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(7,12).9．設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為P(ξ＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，則E(ξ)和D(ξ)的值分別是()A．0和1 B．p和p2C．p和1－p D．p和(1－p)p[答案]D[解析]這是一個(gè)兩點(diǎn)分布，分布列為ξ01P1－pp∴E(ξ)＝p，D(ξ)＝p(1－p)．故選D.10．甲、乙兩殲擊機(jī)的飛行員向同一架敵機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別為0.4、0.5，則恰有一人擊中敵機(jī)的概率為()A．0.9 B．0.2C．0.7 D．0.5[答案]D[解析]設(shè)事件A、B分別表示甲、乙飛行員擊中敵機(jī)，則P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人擊中敵機(jī)的概率為P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.故選D.11．盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)，那么概率是eq\f(3,10)的事件為()A．恰有1只是壞的B．4只全是好的C．恰有2只是好的D．至多2只是壞的[答案]C[解析]ξ＝k表示取出的螺絲釘恰有k只為好的，則P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,10))(k＝1、2、3、4)，∴P(ξ＝1)＝eq\f(1,30)，P(ξ＝2)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,6).故選C.12．一個(gè)盒子里裝有6張卡片，上面分別寫(xiě)著如下6個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片，則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，則抽取次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為()A.eq\f(7,4) B．eq\f(77,20)C．eq\f(3,4) D．eq\f(7,3)[答案]A[解析]由于f2(x)，f5(x)，f6(x)為偶函數(shù)，f1(x)，f3(x)，f4(x)為奇函數(shù)，所以隨機(jī)變量ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,20).所以ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,20)＝eq\f(7,4).二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線(xiàn)上)13．(·浙江理，12)隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2，若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________.[答案]eq\f(2,5)[解析]本題考查期望，方差的求法．設(shè)ξ＝1概率為P.則E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×P＋2(1－P－eq\f(1,5))＝1，∴P＝eq\f(3,5).故D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).14．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件．則下列結(jié)論中正確的是________(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))．①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③事件B與事件A1相互獨(dú)立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P(B)的值不能確定，因?yàn)樗cA1，A2，A3中究竟哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)．[答案]②④[解析]由條件概率知②正確．④顯然正確．而且P(B)＝P(B∩(A1∪A2∪A3))＝P(B∩A1)＋P(B∩A2)＋P(B∩A3)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(5,10)·eq\f(5,11)＋eq\f(2,10)·eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)·eq\f(4,11)＝eq\f(9,22).故①③⑤不正確．15．一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)字0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)字1，一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)字2.將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是____________．[答案]eq\f(4,9)[解析]設(shè)ξ表示向上的數(shù)之積，則P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36)，P(ξ＝0)＝eq\f(3,4).∴Eξ＝1×eq\f(1,9)＋2×eq\f(1,9)＋4×eq\f(1,36)＝eq\f(4,9).16．某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量ξ表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)．[答案]eq\f(4,7)[解析]本題考查概率、互斥事件、數(shù)學(xué)期望，以及運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．由題意，ξ的可能取值為0,1,2，則P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,21).∴ξ的分布列為ξ012Peq\f(10,21)eq\f(10,21)eq\f(1,21)∴ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×eq\f(10,21)＋1×eq\f(10,21)＋2×eq\f(1,21)＝eq\f(12,21)＝eq\f(4,7).三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本題滿(mǎn)分12分)某一中學(xué)生心理咨詢(xún)中心服務(wù)電話(huà)接通率為eq\f(3,4)，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問(wèn)題詢(xún)問(wèn)該服務(wù)中心，且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢(xún)的人數(shù)X的分布列．[解析]由題意知，用X表示成功的人數(shù)，則X服從n＝3，p＝eq\f(3,4)的二項(xiàng)分布，于是有P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))3－k，k＝0,1,2,3.所以X的分布列為X0123Peq\f(1,64)eq\f(9,64)eq\f(27,64)eq\f(27,64)18.(本題滿(mǎn)分12分)(·湖南理，17)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5)，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元，求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)設(shè)至少有一組研發(fā)成功的事件為事件A且事件B為事件A的對(duì)立事件，則事件B為一種新產(chǎn)品都沒(méi)有成功，因?yàn)榧?，乙成功的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,5).則P(B)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，再根據(jù)對(duì)立事件概率之間的公式可得P(A)＝1－P(B)＝eq\f(13,15)，所以至少一種產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為eq\f(13,15).(2)由題可設(shè)該企業(yè)可獲得利潤(rùn)為ξ，則ξ的取值有0,120＋0,100＋0,120＋100，即ξ＝0,120,100,220，由獨(dú)立試驗(yàn)的概率計(jì)算公式可得：P(ξ＝0)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(2,15)；P(ξ＝120)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(4,15)；P(ξ＝100)＝(1－eq\f(2,3))×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)；P(ξ＝220)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)；所以ξ的分布列如下：ξ0120100220P(ξ)eq\f(2,15)eq\f(4,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)則數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×eq\f(2,15)＋120×eq\f(4,15)＋100×eq\f(1,5)＋220×eq\f(2,5)＝32＋20＋88＝140.19．(本題滿(mǎn)分12分)一接待中心有A、B、C、D四部熱線(xiàn)電話(huà)，已知某一時(shí)刻電話(huà)A、B占線(xiàn)的概率均為0.5，電話(huà)C、D占線(xiàn)的概率均為0.4，各部電話(huà)是否占線(xiàn)相互之間沒(méi)有影響，假設(shè)該時(shí)刻有ξ部電話(huà)占線(xiàn)，試求隨機(jī)變量ξ的概率分布和它的期望．[解析]P(ξ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×0.52×0.62＋Ceq\o\al(1,2)×0.52×0.4×0.6＝0.3，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×0.52×0.62＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)×0.52×0.4×0.6＋Ceq\o\al(2,2)×0.52×0.42＝0.37，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)×0.52×0.4×0.6＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,2)×0.52×0.42＝0.2，P(ξ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布列為ξ01234P0.090.30.370.20.04所以E(ξ)＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.20．(本題滿(mǎn)分12分)(·甘肅省三診)甲、乙、丙、丁4名同學(xué)被隨機(jī)地分到A、B、C三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)社區(qū)至少有一名同學(xué)．(1)求甲、乙兩人都被分到A社區(qū)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)社區(qū)的概率；(3)設(shè)隨機(jī)變量ξ為四名同學(xué)中到A社區(qū)的人數(shù)，求ξ的分布列和E(ξ)的值．[解析](1)記甲、乙兩人同時(shí)到A社區(qū)為事件M，那么P(M)＝eq\f(A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,18)，即甲、乙兩人同時(shí)分到A社區(qū)的概率是eq\f(1,18).(2)記甲、乙兩人在同一社區(qū)為事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6)，所以，甲、乙兩人不在同一社區(qū)的概率是P(eq\x\to(E))＝1－P(E)＝eq\f(5,6).(3)隨機(jī)變量ξ可能取的值為1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i個(gè)同學(xué)到A社區(qū)，則p(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3).所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝eq\f(2,3)，ξ的分布列是：ξ12peq\f(2,3)eq\f(1,3)∴E(ξ)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).21．(本題滿(mǎn)分12分)(·沈陽(yáng)市質(zhì)檢)為向國(guó)際化大都市目標(biāo)邁進(jìn)，沈陽(yáng)市今年新建三大類(lèi)重點(diǎn)工程，它們分別是30項(xiàng)基礎(chǔ)設(shè)施類(lèi)工程、20項(xiàng)民生類(lèi)工程和10項(xiàng)產(chǎn)業(yè)建設(shè)類(lèi)工程．現(xiàn)有來(lái)沈的3名工人相互獨(dú)立地從60個(gè)項(xiàng)目中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)．(1)求這3人選擇的項(xiàng)目所屬類(lèi)別互異的概率；(2)將此3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類(lèi)工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)類(lèi)工程的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析]記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類(lèi)、民生類(lèi)、產(chǎn)業(yè)建設(shè)類(lèi)分別為事件Ai、Bi、Ci.由題意知，P(Ai)＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2)，P(Bi)＝eq\f(20,60)＝eq\f(1,3)，P(Ci)＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6)(i＝1,2,3)．(1)3人選擇的項(xiàng)目所屬類(lèi)別互異的概率P＝Aeq\o\al(3,3)P(A1B2C3)＝6×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6).(2)任一名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類(lèi)或產(chǎn)業(yè)建設(shè)類(lèi)工程的概率P＝eq\f(30＋10,60)＝eq\f(2,3).由X～B(3，eq\f(2,3))，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(2,3))k(1－eq\f(2,3))3－k(k＝0,1,2,3)，∴X的分布列為X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)其數(shù)學(xué)期望為E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.22．(本題滿(mǎn)分14分)甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為eq\f(2,3)，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．用ξ表示甲隊(duì)的總得分．(1)求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P(AB)．[解析](1)解法1：由題意知，ξ的可能取值為0,1,2,3，且P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×(1－eq\f(2,3))3＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))2＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(2,3))2×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27).所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)即ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝0×eq\f(1,27)＋1×eq\f(2,9)＋2×eq\f(4,9