高中數(shù)學 第三章 概率綜合素質(zhì)檢測 新人教A版必修3

【成才之路】-學年高中數(shù)學第三章概率綜合素質(zhì)檢測新人教A版必修3時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1．下列事件：①如果a、b是實數(shù)，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北風；③當x是實數(shù)時，x2≥0；④一個電影院某天的上座率超過50%.其中是隨機事件的有A．1個 B．2個C．3個 D．4個[答案]B[解析]由隨機事件的概念得：①③是必然事件，②④是隨機事件．2．下列試驗是古典概型的是()A．從裝有大小完全相同的紅、綠、黑各一球的袋子中任意取出一球，觀察球的顏色B．在適宜條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽C．連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察出現(xiàn)正面、反面、一正面一反面的次數(shù)D．從一組直徑為(120±0.3)mm的零件中取出一個，測量它的直徑[答案]A[解析]根據(jù)古典概型具有有限性和等可能性進行判斷．3．(～·吉林油田一中月考)紅、黑、藍、白4張牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A．對立事件 B．不可能事件C．互斥事件但不是對立事件 D．以上答案都不對[答案]C[解析]記事件A＝“甲分得紅牌”，記事件B＝“乙分得紅牌”，它們不會同時發(fā)生，所以是互斥事件，但事件A和事件B也可能都不發(fā)生，所以他們不是對立事件，故選C.4．下列命題不正確的是()A．根據(jù)古典概型概率計算公式P(A)＝eq\f(nA,n)求出的值是事件A發(fā)生的概率的精確值B．根據(jù)幾何概型概率計算公式P(A)＝eq\f(μA,μΩ)求出的值是事件A發(fā)生的概率的精確值C．根據(jù)古典概型試驗，用計算機或計算器產(chǎn)生隨機整數(shù)統(tǒng)計試驗次數(shù)N和事件A發(fā)生的次數(shù)N1，得到的值eq\f(N1,N)是P(A)的近似值D．根據(jù)幾何概型試驗，用計算機或計算器產(chǎn)生均勻隨機數(shù)統(tǒng)計試驗次數(shù)N和事件A發(fā)生次數(shù)N1，得到的值eq\f(N1,N)是P(A)的精確值[答案]D[解析]很明顯A，B項是正確的；隨機模擬中得到的值是概率的近似值，則C項正確，D項不正確．5．(～·甘肅嘉峪關(guān)一中高一月考)從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.則事件“抽到的是二等品或三等品”的概率為()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3[答案]D[解析]由題意知事件A、B、C互為互斥事件，記事件D＝“抽到的是二等品或三等品”，則P(D)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＝0.3，故選D.6．(·安徽)從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,5)[答案]D[解析]從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，以它們作為頂點的四邊形共有15個，其中矩形有3個，所以所求的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).故選D.7．如圖所示，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域．在正方形中隨機扔一粒豆子，若它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(2,3)，則陰影區(qū)域的面積均為()A．eq\f(4,3) B．eq\f(8,3)C．eq\f(2,3) D．無法計算[答案]B[解析]由幾何概型的概率計算公式知eq\f(S陰影,S正方形)≈eq\f(2,3)，而S正方形22＝4，所以S陰影≈eq\f(8,3).8．(·新課標全國)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[答案]A[解析]記3個興趣小組分別為1,2,3，甲參加1組記為“甲1”，則基本事件為“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9個．記事件A為“甲、乙兩位同學參加同一個興趣小組”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3個．因此P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).9．設(shè)一元二次方程x2＋bx＋c＝0，若b、c是一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)投擲兩次出現(xiàn)的點數(shù)，則方程有實數(shù)根的概率為()A．eq\f(1,12) B．eq\f(7,36)C．eq\f(13,36) D．eq\f(19,36)[答案]D[解析]因為b，c是一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)投擲兩次出現(xiàn)的點數(shù)，所以一共有36種情況．由方程有實數(shù)根知，Δ＝b2－4c≥0，顯然b≠當b＝2時，c＝1(1種)；當b＝3時，c＝1,2(2種)；當b＝4時，c＝1,2,3,4(4種)；當b＝5時，c＝1,2,3,4,5,6(6種)；當b＝6時，c＝1,2,3,4,5,6(6種)．故方程有實數(shù)根共有19種情況，所以方程有實數(shù)根的概率是eq\f(19,36).10．將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，若第一次朝上一面的點數(shù)為a，第二次朝上一面的點數(shù)為b，則函數(shù)y＝ax2－2bx＋1在(－∞，eq\f(1,2)]上為減函數(shù)的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(5,6)[答案]D[解析]由題意，函數(shù)y＝ax2－2bx＋1在(－∞，eq\f(1,2)]上為減函數(shù)滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,\f(b,a)≥\f(1,2))).∵第一次朝上一面的點數(shù)為a，第二次朝上一面的點數(shù)為b，∴a取1,2時，b可取1,2,3,4,5,6；a取3,4時，b可取2,3,4,5,6；a取5,6時，b可取3,4,5,6，共30種．∵將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，共有6×6＝36種等可能發(fā)生的結(jié)果，∴所求概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).故選D.11．歐陽修在《賣油翁》中寫道：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕．可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．已知銅錢是直徑為3cm的圓，中間有邊長為1cm的正方形孔．若你隨機向銅錢上滴一滴油，則這滴油(油滴的大小忽略不計)正好落入孔中的概率是()A．eq\f(9π,4) B．eq\f(9,4π)C．eq\f(4π,9) D．eq\f(4,9π)[答案]D[解析]本題顯然是幾何概型，用A表示事件“這滴油正好落入孔中”，可得P(A)＝eq\f(正方形的面積,圓的面積)＝eq\f(12,(\f(3,2))2π)＝eq\f(4,9π).12．為了調(diào)查某廠2000名工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量，產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，頻率分布直方圖如圖所示．工廠規(guī)定從生產(chǎn)低于20件產(chǎn)品的工人中隨機地選取2位工人進行培訓，則這2位工人不在同一組的概率是()A．eq\f(1,10) B．eq\f(7,15)C．eq\f(8,15) D．eq\f(13,15)[答案]C[解析]根據(jù)頻率分布直方圖可知產(chǎn)品件數(shù)在[10,15)，[15,20)內(nèi)的人數(shù)分別為5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)在[10,15)內(nèi)的2人分別是A，B，設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)在[15,20)內(nèi)的4人分別為C，D，E，F(xiàn)，則從生產(chǎn)低于20件產(chǎn)品的工人中隨機地選取2位工人的結(jié)果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種．2位工人不在同一組的結(jié)果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，共8種．則選取這2人不在同一組的概率為eq\f(8,15).二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．如圖，在邊長為1的正方形中，隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為________．[答案]0.18[解析]S＝eq\f(180,1000)×12＝0.18.14．為了調(diào)查新疆阿克蘇野生動物保護區(qū)內(nèi)鵝喉羚的數(shù)量，調(diào)查人員逮到這種動物400只作過標記后放回．一個月后，調(diào)查人員再次逮到該種動物800只，其中作過標記的有2只，估算該保護區(qū)有鵝喉羚________只．[答案]160000[解析]設(shè)保護區(qū)內(nèi)有鵝喉羚x只，每只鵝喉羚被逮到的概率是相同的，所以eq\f(400,x)＝eq\f(2,800)，解得x＝160000.15．某中學青年教師、中年教師和老年教師的人數(shù)比例為4∶5∶1，其中青年教師有120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這所學校抽取容量為30的教師樣本以了解教師的工作壓力情況，則每位老年教師被抽到的概率為________．[答案]eq\f(1,10)[解析]由青年教師、中年教師和老年教師的人數(shù)比例為4∶5∶1，知該校共有教師120÷eq\f(4,10)＝300(人)．采用分層抽樣的方法從這所學校抽取容量為30的教師樣本，因為在分層抽樣中，每一層所占的比例相等，所以不同層中每位教師被抽到的概率相等．則每位老年教師被抽到的概率為P＝eq\f(30,300)＝eq\f(1,10).16．已知函數(shù)f(x)＝log2x，x∈[eq\f(1,2)，2]，若在區(qū)間[eq\f(1,2)，2]上隨機取一點，則使得f(x0)≥0的概率為________．[答案]eq\f(2,3)[解析]由函數(shù)f(x0)≥0得log2x0≥0，解得x0∈[1,2]，又函數(shù)f(x)的定義域為[eq\f(1,2)，2)，故f(x0)≥0的概率為eq\f(2－1,2－\f(1,2))＝eq\f(2,3).三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(·天津)某校夏令營有3名男同學A，B，C和3名女同學X、Y、Z，其年級情況如下表：一年級二年級三年級男同學ABC女同學XYZ現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果．(2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，求事件M發(fā)生的概率．[解析](1)從6名同學中選出2人所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種．(2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的所有可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}共6種．因此事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).18．(本小題滿分12分)(～·遼寧模擬)某種日用品上市以后供不應(yīng)求，為滿足更多的消費者，某商場在銷售的過程中要求購買這種產(chǎn)品的顧客必須參加如下活動：搖動如右圖所示的游戲轉(zhuǎn)盤(上面扇形的圓心角都相等)，按照指針所指區(qū)域的數(shù)字購買商品的件數(shù)，每人只能參加一次這個活動．(1)某顧客參加活動，求購買到不少于5件該產(chǎn)品的概率；(2)甲、乙兩位顧客參加活動，求購買該產(chǎn)品件數(shù)之和為10的概率．[解析](1)設(shè)“購買到不少于5件該產(chǎn)品”為事件A，則P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).(2)設(shè)“甲、乙兩位顧客參加活動，購買該產(chǎn)品數(shù)之和為10”為事件B，甲、乙購買產(chǎn)品數(shù)的情況共有12×12＝144則事件B包含(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，共9種情況，故P(B)＝eq\f(9,144)＝eq\f(1,16).19．(本小題滿分12分)(～·山東聊城市水城中學高一3月調(diào)研)將一枚骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點數(shù)，(1)求點數(shù)之和是5的概率；(2)設(shè)a、b分別是將一枚骰子先后拋擲兩次向上的點數(shù)，求等式2a－b＝1[解析](1)該試驗所有可能的結(jié)果為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，基本事件總數(shù)為36，記事件A＝“點數(shù)之和是5”，則事件A，所含的基本事件為：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，基本事件總數(shù)為4，所以P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).(2)要使等式2a－b＝1成立，則須a－b＝0，即先后拋擲兩次向上的點數(shù)相等，記事件B＝“向上的點數(shù)相等”，則事件B所含的基本事件為：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，基本事件總數(shù)為6，所以P(B)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).20．(本小題滿分12分)(·遼寧)現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學從中任取2道題解答．試求：(1)所取的2道題都是甲類題的概率；(2)所取的2道題不是同一類題的概率．[解析](1)將4道甲類題依次編號為1,2,3,4；2道乙類題依次編號為5,6.任取2道題，基本事件為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15個，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“都是甲類題”這一事件，則A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個，所以P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)基本事件同(1)．用B表示“不是同一類題”這一事件，則B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8個，所以P(B)＝eq\f(8,15).21．(本小題滿分12分)(～·河北邯鄲市一模)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可人肺顆粒物，我國PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米及其以上空氣質(zhì)量為超標．某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取6天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值莖葉圖如圖(十位為莖，個位為葉)，若從這6天的數(shù)據(jù)中隨機抽出2天，(1)求恰有一天空氣質(zhì)量超標的概率；(2)求至多有一天空氣質(zhì)量超標的概率．[解析]由莖葉圖知：6天中有4天空氣質(zhì)量未超標，有2天空氣質(zhì)量超標．記未超標的4天為a，b，c，d，超標的兩天為e，f，則從6天中抽取2天的所有情況為：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件數(shù)為15.(1)記“6天中抽取2天，恰有1天空氣質(zhì)量超標”為事件A，可能結(jié)果為：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件數(shù)為8，∴P(A)＝eq\f(8,15).(2)記“至多有一天空氣質(zhì)量超標”為事件B，“2天都超標”為事件C，其可能結(jié)果為ef