模型20 軸對(duì)稱-婆羅摩笈多模型-解析版

軸對(duì)稱模型（二十）——婆羅摩笈多模型一、垂直中點(diǎn)【結(jié)論1】如圖，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，MN經(jīng)過點(diǎn)B，若MN⊥CE，則①點(diǎn)N是AD的中點(diǎn)，②S＝S，③CE＝2BN.【證明】如圖，（知垂直得中點(diǎn)，一線三垂直）過A作AP⊥MN，垂足為P，過D作DQ⊥MN交MN的延長(zhǎng)線于Q，易證：△ABP≌△BCM,AP＝BM,△DQB≌△BME,DQ＝BM∴AP＝DQ易證：△APN≌△DQN∴AN＝DN②如圖，由①知，S＝S，S＝S，S＝S∴S＝S＋S＝S＋S＋S－S＝S＋S＝S＋S＝S,即S＝S，得證.③如圖，由①得，PN＝QN，∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得證.二、中點(diǎn)垂直【結(jié)論2】如圖，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，點(diǎn)P是CE的中點(diǎn)，PB的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)Q，則①PQ⊥AD，②S＝S,③AD=2BP【證明】如圖，（知中點(diǎn)得垂直，倍長(zhǎng)中線）證明：延長(zhǎng)BP至點(diǎn)M，使PM＝BP，連結(jié)ME，易證：△PBC≌PME∴BC＝ME，BC∥ME∵AB＝AC∴AB＝EM，∵BC∥ME，∴∠CBE＋∠BEM＝180°，又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠MEB，易證：△ABD≌△MEB，∴∠2＝∠1，∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴∠DQP＝90°②如圖，由①知S＝S＋S＝S＋S＝S＝S,得證.③如圖，由①知AD＝MB＝2BP，得證。婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊。這個(gè)定理有另一個(gè)名稱，叫做“布拉美古塔定理”（又譯《卜拉美古塔定理”）。 拓展1：如圖，△AOB和△COD是等腰直角三角形，MN過點(diǎn)O，⑴若MN⊥AD，則點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，②S＝S，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中點(diǎn)，則①M(fèi)N⊥AD，②S＝S，③AD＝2OM. 拓展2：如圖，△AOB和△COD是等腰三角形，∠AOB＋∠COD=180o，MN過點(diǎn)O.N在AD延長(zhǎng)線上.⑴若∠ANM＝∠AOB，則M是BC的中點(diǎn)，②S＝S，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中點(diǎn)，則②∠ANM＝∠AOB，②S＝S，③AD＝2OM. 拓展3：如圖，△AOB≌△COD且∠AOB＝∠COD=180o，MN過點(diǎn)O.⑴若M是BC的中點(diǎn)，則①AD＝2OM，②S＝S.⑵若N是AD的中點(diǎn)，則①BC＝2ON，②S＝S.拓展4：如圖，在△AOB、△COD中，，且∠AOB＋∠COD=180o，則S＝S.1．（江西省南昌市第十九中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：DE＝2AM.【答案】見解析.【分析】延長(zhǎng)AM至N，使MN=AM，證△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，求出∠EAD=∠ABN，證△EAD≌△ABN即可．【詳解】延長(zhǎng)AM至N，使MN＝AM，連接BN，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴CM=BM，在△AMC和△NMB中∴△AMC≌△NMB（SAS），∴AC=BN，∠C=∠NBM，∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB=∠DAC=90°，∴∠EAD+∠BAC=180°，∴∠ABN=∠ABC+∠C=180゜-∠BAC=∠EAD，在△EAD和△ABN中∵，∴△ABN≌△EAD（SAS），∴DE=AN=2MN．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，延長(zhǎng)AM至N，使MN=AM，再只證AN=DE即可，這就是“中線倍長(zhǎng)”，實(shí)質(zhì)是“補(bǔ)短法”．1．（河北省石家莊市石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）閱讀情境：在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們探究“全等的等腰直角三角形圖形變化問題”如圖1，，其中，，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，操作探究1:（1）小凡將圖1中的兩個(gè)全等的和按圖2方式擺放，點(diǎn)落在上，所在直線交所在直線于點(diǎn)，連結(jié)，求證：．操作探究2:（2）小彬?qū)D1中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度，然后，分別延長(zhǎng)，，它們相交于點(diǎn)．如圖3，在操作中，小彬提出如下問題，請(qǐng)你解答：①時(shí)，求證：為等邊三角形；②當(dāng)__________時(shí)，．（直接回答即可）操作探究3:（3）小穎將圖1中的繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度，線段和相交于點(diǎn)，在操作中，小穎提出如下問題，請(qǐng)你解答：①如圖4，當(dāng)時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)為_________．②如圖5，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)為____________．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②；（3）①；②【分析】（1）證明Rt△AMB≌Rt△AMD即可解決問題．（2）①證明∠FCE=∠FEC=60°即可解決問題．②根據(jù)平行線的判定定理即可解決問題．（3）①連接EC，證明△AEC是等邊三角形，利用勾股定理求出AE即可解決問題．②如圖5中，連接AF，BD交于點(diǎn)O．首先證明EC=BD，再證明OB=OD，利用面積法求出OB即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖2，，，，，．（2）①證明：如圖3中，，，，，，，是等邊三角形．②解：當(dāng)時(shí)，．理由如下：∵，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，．故答案為．（3）①解：如圖4中，連接,

，，是等邊三角形，，，，．故答案為．②解：如圖5中，連接，交于點(diǎn)．

，，，，，，，，，，，，．，，垂直平分線段，，在中，，，，，，，，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（重慶市沙坪壩區(qū)第一中學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題）已知，，，點(diǎn)線段中點(diǎn)，連接．為平面內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，線段與線段交于點(diǎn)，若，，求的面積；(2)如圖2，若點(diǎn)在的內(nèi)部連接、，線段交線段于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：；(3)如圖3，過作的平行線，交直線于點(diǎn)．連接．將沿翻折得到，當(dāng)線段最短時(shí)，直接寫出此時(shí)的值．【答案】(1)．(2)證明見詳解．(3)．【分析】（1）過D作交于H，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半及等腰直角三角形關(guān)系結(jié)合勾股定理即可求出三角形的底和高，即可得到答案；（2）延長(zhǎng)交于K，過A作交于G，根據(jù)等腰直角三角形兩個(gè)及直角得到角度的等量關(guān)系，再根據(jù)兩次三角形全等即可得到線段相等；（3）根據(jù)等腰直角三角形及線平行得到角度數(shù)，再根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形與圓內(nèi)接四邊形關(guān)系等到點(diǎn)M在圓上，根據(jù)圓外一點(diǎn)與圓的距離關(guān)系找到最小點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱找到相等從而得到三角形相似得出線段與半徑的關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理求出平方值即可得到比值．【詳解】（1）解：如圖所示過D作交于點(diǎn)H，∵，，點(diǎn)線段中點(diǎn)，，∴，,,∵，∴，，∴，∵，∴,∴在中根據(jù)勾股定理可得，，，∴,,

∵線段是線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，,在中，∵,，∴，，在中根據(jù)勾股定理可得，∴解得∴∴的面積為：．（2）證明：延長(zhǎng)交于K，過A作交于G，∵，，點(diǎn)線段中點(diǎn)，∴，，，∵線段是線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∵，

∴，∴，∵，∴∵，∴，在中，∵，，，∴，∴，∵，，

∴，∴，在中，∵，，，∴，

∴．（3）解：過D作，∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，∵∥，∴，∵，，點(diǎn)線段中點(diǎn)，∴，，

∴，∵，∴，∴A、M、D、C四點(diǎn)在⊙H上，連接與圓相交時(shí)最短如圖所示，沿翻折得到，根據(jù)對(duì)稱性可得在圓上，連接，設(shè)圓的半徑為r，則，∴，

連接交于點(diǎn)O，∵沿翻折得到，∴，，，，在中，∵，，∴，∴，∴，，

∴，在中根據(jù)勾股定理可得，，∵，在中根據(jù)勾股定理可得，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)計(jì)算、等腰三角形有關(guān)計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，解題的難點(diǎn)主要是根據(jù)性質(zhì)作出相應(yīng)輔助線，巧妙靈活的運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，第三問中最難點(diǎn)是找到最短距離點(diǎn)．1．（2021年四川省達(dá)州市開江縣永興中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試題）我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B'C'，當(dāng)a+β＝180°時(shí)，我們稱△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB'C邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”．(1)[特例感知]在圖2，圖3中，△AB'C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形，且BC＝6時(shí)，則AD長(zhǎng)為．②如圖3，當(dāng)∠BAC＝90°，且BC＝7時(shí)，則AD長(zhǎng)為．(2)[猜想論證]在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．（如果你沒有找到證明思路，可以考慮延長(zhǎng)AD或延長(zhǎng)B'A，…）(3)[拓展應(yīng)用]如圖4，在四邊形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD為邊在四邊形ABCD內(nèi)部作等邊△PCD，連接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋補(bǔ)三角形”，請(qǐng)直接寫出△PBC的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)及四邊形ABCD的邊AD長(zhǎng)．【答案】(1)①；②(2)AD＝BC，證明見解析(3)旋補(bǔ)中線長(zhǎng)為，【分析】（1）①首先證明是含有是直角三角形，可得即可解決問題．②首先證明，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題．（2）結(jié)論：．如圖1中，延長(zhǎng)AD到M，使得，連接，首先證明四邊形是平行四邊形，再證明，即可解決問題．（3）如圖4中，過點(diǎn)P作于H，取BC的中點(diǎn)J，連接PJ．解直角三角形求出BC，PJ，利用（2）中結(jié)論解決問題即可．(1)解：①如圖2中，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：3．②如圖3中，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．(2)結(jié)論：AD＝BC．理由：如圖1中，延長(zhǎng)AD到M，使得AD＝DM，連接B′M，C′M∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．(3)如圖4中，過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，取BC的中點(diǎn)J，連接PJ．∵是等邊三角形，∴，∵∠BCD＝150°，∴∠PCB＝90°，∵是的“旋補(bǔ)三角形”，∴，∵PH⊥AB，∴，∴，∴，∴，∴，∴的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)，∵，∴，∵也是的“旋補(bǔ)三角形”，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．2．（2020年湖北省隨州市曾都區(qū)九年級(jí)升學(xué)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）我們定義：如圖1，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，我們稱是的“旋補(bǔ)三角形”，邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”．【特例感知】（1）在圖2，圖3中，是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)為等邊三角形，且時(shí)，則長(zhǎng)為．②如圖3，當(dāng)，且時(shí)，則長(zhǎng)為．【猜想論證】（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．（如果你沒有找到證明思路，可以考慮延長(zhǎng)或延長(zhǎng)，……）【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，在四邊形中，，，，以為邊在四邊形內(nèi)部作等邊，連接，．若是的“旋補(bǔ)三角形”，請(qǐng)直接寫出的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)及四邊形的邊長(zhǎng)．【答案】（1）①，②；（2），見解析；（3），【分析】（1）①由旋補(bǔ)三角形的概念可證明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=BC即可解決問題；②首先證明△BAC≌△B′AC′，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；（2）結(jié)論：AD=BC．如圖1中，延長(zhǎng)AD到Q，使得AD=DQ，連接B′Q，C′Q，首先證明四邊形AC′QB′是平行四邊形，再證明△BAC≌△AB′Q，即可解決問題；（3）由，是等邊三角形可得，由旋補(bǔ)三角形的概念可得，PB=PA，進(jìn)而求出PB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理就可求出BC的長(zhǎng)，由（2）的結(jié)論即可求出旋補(bǔ)中線PE的長(zhǎng)和AD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）①∵是的“旋補(bǔ)三角形”，∴，，,∵為等邊三角形，且，∴，，∴是等腰三角形，，∴AD⊥，，∴AD=3，②∵是的“旋補(bǔ)三角形”，∴，，,∵，∴，∴，∴，∵AD為中線，∴；（2)猜想：如圖，延長(zhǎng)至Q，使．∵是的“旋補(bǔ)中線”，．四邊形是平行四邊形，，．由定義可知，，，，，．∵，；（3）過點(diǎn)P作PE⊥AB，取AD的中點(diǎn)F，連接PF，延長(zhǎng)DP，過點(diǎn)A作AM