從銀行貸款問題看非光滑分析理論的應(yīng)用教學(xué)講義

從銀行貸款問題看非光滑分析理論的應(yīng)用2024/9/27大背景時(shí)至今日，我國進(jìn)入世界貿(mào)易組織WTO已經(jīng)五周年，我國金融業(yè)與國際接軌的寬限期已經(jīng)結(jié)束，溫家寶總理最近簽署了有關(guān)開放外資銀行經(jīng)營人民幣業(yè)務(wù)的法令。由于我國長期實(shí)行計(jì)劃經(jīng)濟(jì)，在很長的時(shí)期里，銀行的功能實(shí)際上充當(dāng)了財(cái)政的出納，而自身的經(jīng)濟(jì)效益反而放到次要地位。銀行在信貸業(yè)務(wù)方面長期積累的的呆帳、壞帳比例曾一度達(dá)到國際上公認(rèn)的“技術(shù)性破產(chǎn)”水平。自從改革開放以來，銀行系統(tǒng)的體制改革—至少是在形式上，已經(jīng)步入了商業(yè)化軌道。經(jīng)過最近幾年的試點(diǎn)，2005年1月6日，國務(wù)院公布了中國建設(shè)銀行和中國銀行實(shí)施股份制改造試點(diǎn)，并注資450億美元，集中消化了兩行財(cái)務(wù)上的歷史包袱，邁開了股份制改造、將兩行辦成現(xiàn)代商業(yè)銀行改革的實(shí)質(zhì)性步伐。此后，工行和建行也陸續(xù)跟進(jìn)。2024/9/27問題的提出無庸諱言，商業(yè)銀行的所有經(jīng)營活動(dòng)都是以經(jīng)濟(jì)效益為第一優(yōu)先考慮的。銀行的經(jīng)濟(jì)效益的主體部分是通過存、貸利率差實(shí)現(xiàn)的。因此，如何向客戶(企業(yè)和個(gè)人)發(fā)放貸款，使之獲得最大收益就成為一個(gè)熱點(diǎn)研究課題。我們?cè)谶@里提出一條思路：使用最優(yōu)化方法。這里介紹的方法，有可能制作成軟件包，成為投資決策系統(tǒng)的一部分。問題：某銀行有一筆總額為a的資金，將其貸給n個(gè)客戶，假設(shè)第i個(gè)客戶獲得的貸款金額為xi。如何安排這些xi，可以使銀行獲得最大經(jīng)濟(jì)效益？2024/9/27目標(biāo)函數(shù)的凹性假設(shè)在模型(P)中，可行集顯然是凸集；然而，要求目標(biāo)函數(shù)是凹函數(shù)，我們需要一個(gè)合理的假設(shè)。假設(shè)：客戶的收益與貸款金額成正比，或者客戶的收益與貸款金額間存在某種飽和趨勢（分別如右圖的半直線和曲線）。這兩種情況都決定了函數(shù)Ri(xi)是凹的。xiRi(xi)O2024/9/27凸規(guī)劃這樣一來，我們的非線性規(guī)劃模型(P)是一個(gè)凸規(guī)劃問題（可行集為凸集，極大化一個(gè)凹目標(biāo)函數(shù)）。理論上，我們的銀行放款問題已經(jīng)完滿解決：求解一個(gè)非線性凸規(guī)劃問題！然而，在實(shí)踐中，我們面臨兩大難題：一方面，每個(gè)客戶的收益函數(shù)Ri(xi)銀行方很難掌握；另一方面，當(dāng)客戶數(shù)量n較大時(shí)，計(jì)算量是難以忍受的。2024/9/27分散化銀行的決策者使用利率杠桿，將“權(quán)力”下放，實(shí)現(xiàn)“分散化”處理的目的。設(shè)銀行貸款利率為

*

，對(duì)于每個(gè)客戶，他們只需按自己的效益最大化原則來決定自己的貸款金額。這樣，剛才的問題分散化為n個(gè)獨(dú)立的最優(yōu)化問題(模型中的

*實(shí)際上是(1+

*))：2024/9/27困難這些問題的個(gè)數(shù)雖多，但都是單變量凸規(guī)劃問題，且每個(gè)問題都由一個(gè)企業(yè)來解。因此，實(shí)際上問題已經(jīng)大大簡化?，F(xiàn)在的新問題在于：提出怎樣的利率

*，使得這筆資金仍能達(dá)到最優(yōu)分配，即仍能達(dá)到總收益最大這一目標(biāo)？從直觀上可以看出，如果*定得過高，企業(yè)都不大愿意貸款，資金得不到充分利用；但如果定得過低，又會(huì)使企業(yè)貸款欲望膨脹，對(duì)于單個(gè)客戶，他們不會(huì)考慮銀行資金總額的限制，因此，有可能突破總金額a的上限。2024/9/27分散化參數(shù)：Lagrange乘子不過，銀行方可以動(dòng)用利率杠桿，既控制客戶的貸款欲望，又使資金充分利用。下面我們斷言：滿足要求的（最優(yōu)）利率

*，正是不等式約束等價(jià)地的Lagrange乘子。2024/9/27問題(P)的部分無約束化撇開一些簡單的變換，可以看出如果

*是對(duì)應(yīng)于約束條件的Lagrange乘子

*，則問題(P)等價(jià)于下面的問題(PL)：這里的L(x,

*)是問題(P)的部分Lagrange函數(shù)(注意：問題(P)是極大化目標(biāo)函數(shù)，因此，L(x,

*)的后一項(xiàng)是減號(hào))。2024/9/27資金的“影子價(jià)格”(PL)的目標(biāo)函數(shù)：正是將約束條件取消后對(duì)原問題(P)的目標(biāo)函數(shù)的懲罰(也就是罰函數(shù))。事實(shí)上，破壞約束條件后，是正項(xiàng)，*越大，(PL)的最優(yōu)目標(biāo)值越小。而Lagrange乘子

*則是因?yàn)槠茐募s束條件應(yīng)付出的單位代價(jià)（這就是資金的“影子價(jià)格”）。2024/9/27如何求最優(yōu)利率

*？因?yàn)?PL)(P)，所以不要指望通過(PL)來求

*。我們將模型(PL)中的

*看成變量0，則對(duì)任意固定的,(PL)的解是：這個(gè)解實(shí)際上是懲罰單位為時(shí)，原問題(PL)的近似解(此時(shí)的不一定是問題(PL)的

*)。2024/9/27如何求最優(yōu)利率

*？續(xù)1要使約束條件全部起作用，應(yīng)

該使懲罰項(xiàng)達(dá)到最大(相當(dāng)于違反交

通規(guī)則的罰款，你罰到他傾家蕩產(chǎn))！觀察的表達(dá)式，要使懲罰項(xiàng)

就應(yīng)該使2024/9/27如何求最優(yōu)利率

*？續(xù)2綜上分析，求

*的問題，歸結(jié)為求解關(guān)于決策變量的一個(gè)帶非負(fù)約束的極小化問題：2024/9/27如何求最優(yōu)利率

*？續(xù)3注意到是凹函數(shù)，是仿射函數(shù)，因而仍然是凹函數(shù)。于是上確界存在，且是關(guān)于變量的仿射函數(shù)。因而，問題(P

)是一個(gè)單變量凸規(guī)劃問題，理論上是容易求解出

*的。

2024/9/27還有困難細(xì)心的聽眾一定可以看出，問題依然含有銀行方很難掌握的每個(gè)客戶的收益函數(shù)Ri(xi)。進(jìn)一步的簡化，需要用到不可微優(yōu)化和數(shù)學(xué)規(guī)劃擾動(dòng)問題理論方面的知識(shí)。2024/9/27凸規(guī)劃問題的擾動(dòng)問題考慮凸規(guī)劃問題(P)：記a=(a1,…,ap)T

，b=(b1,…,bq)T，稱為問題(P)的擾動(dòng)問題，記為(pa,b)。2024/9/27擾動(dòng)問題解函數(shù)的凸性對(duì)于擾動(dòng)問題(pa,b)，我們記它的(最優(yōu)目標(biāo))值為V=V(a,b)。顯然，可以將其看成是擾動(dòng)向量(a,b)的函數(shù)。我們有如下的重要定理

定理：設(shè)f，g1,…,gp為線性空間X上的凸函數(shù),h1,…,hq為X上的仿射函數(shù),V=V(a,b)為問題(pa,b)的值，那么V是Rp×Rq上的凸函數(shù)。證明1.doc2024/9/27函數(shù)V=V(a,b)的獲得注意到函數(shù)V=V(a,b)是擾動(dòng)問題(pa,b)的(最優(yōu)目標(biāo))值，而問題(pa,b)實(shí)際上是參數(shù)規(guī)劃，參數(shù)為(a,b)

Rp×Rq。由此可見，獲得V(a,b)的解析表達(dá)式并非易事。操作性較強(qiáng)的辦法是取足夠多的參數(shù)(a,b)，求解相應(yīng)的(Pa,b)。用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的非線性回歸分析(曲線擬合)獲得V=V(a,b)的估計(jì)。

2024/9/27凸函數(shù)的次微分設(shè)X為Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g，X*為X的拓?fù)鋵?duì)偶空間，f:X→R∪{±∞}為X上的凸函數(shù)，集合稱為f在x

X處的次微分，稱為f在x

X處的次梯度。特別，當(dāng)f是可微函數(shù)時(shí)，次梯度就是通常的梯度或?qū)?shù)，次微分就是這個(gè)梯度或?qū)?shù)組成的單元集。2024/9/27凸規(guī)劃擾動(dòng)問題最優(yōu)解V=V(a,b)

的凸性和次可微性定理進(jìn)一步，我們還有：定理：設(shè)問題的Lagrange乘子存在，且為的Lagrange乘子的全體（注意：不一定是單元集）。那么V=V(a,b)是Rp×Rq上的真凸函數(shù)，且它在處次可微，其次微分為：

證明2.doc2024/9/27方向可導(dǎo)設(shè)X為拓?fù)湎蛄靠臻g，f:X→R∪{+∞}為X上的真凸函數(shù)。方向?qū)?shù)：如果極限存在，則稱f在x處沿方向h是方向可導(dǎo)的，且稱為f在x處沿方向h的方向?qū)?shù)。2024/9/27Gateaux可導(dǎo)設(shè)f:X→R∪{+∞}為X上的任意函數(shù)。如果對(duì)于x∈int(domf)，剛才定義的對(duì)任何方向h都存在，且存在x*∈X*，滿足則稱f在x處Gateaux可導(dǎo)，x*稱為其Gateaux導(dǎo)數(shù)，并記作x*=▽f(x)。2024/9/27Gateaux可導(dǎo)的條件充分條件：設(shè)f是拓?fù)湎蛄靠臻gX上的真凸函數(shù)，且f在x∈domf處連續(xù)。如果對(duì)任何方向h∈X都存在，則f在x處是Gateaux可導(dǎo)的。充要條件：設(shè)f是拓?fù)湎蛄靠臻gX上的真凸函數(shù)，且f在x∈domf處連續(xù)。則f在x處Gateaux可導(dǎo)當(dāng)且僅當(dāng)為單元集。顯然，對(duì)于(多元)實(shí)值可微函數(shù)f(x)，總是Gateaux可導(dǎo)的。2024/9/27V=V(a,b)的Gateaux可導(dǎo)性凸規(guī)劃擾動(dòng)問題最優(yōu)解V=V(a,b)的凸性和次可微性定理對(duì)于解決我們的問題特別重要，因?yàn)橛伤虶ateaux可導(dǎo)的充要條件可以得到如下的(證明3.doc)推論：如果問題有唯一的Lagrange乘子，那么V在處Gateaux可導(dǎo)，即

2024/9/27回到問題(P

)的求解(1)令如果各個(gè)企業(yè)的總收益與資金總量

的關(guān)系是已知的，則函數(shù)f(λ)是關(guān)于變量λ的已知（凸）函數(shù)。于是，我們想求解的問題(P

)化為求解單變量凸規(guī)劃問題(P)

推導(dǎo)4.doc

2024/9/27說明對(duì)于地區(qū)或行業(yè)，各個(gè)企業(yè)的總收益與貸出資金總量的關(guān)系通常是由金融專家們按金融學(xué)和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)測算出來的。在數(shù)學(xué)上，使用的方法多為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的非線性回歸分析(曲線擬合)。2024/9/27回到問題(P

)的求解(2)利用剛才討論的結(jié)果，我們要求解擾動(dòng)問題(Pa)：

設(shè)(Pa)的最優(yōu)解為V=V(a)。使用前面提到的推論：當(dāng)問題(Pa)有唯一的Lagrange乘子時(shí)，我們要求的最優(yōu)利率可以按來計(jì)算。2024/9/27結(jié)