《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》第七章

第七章列聯(lián)分析引導(dǎo)案例

美國稅收制度公正嗎？根據(jù)美國一家網(wǎng)站的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，認(rèn)為美國稅收制度不公正的公民的收入、年齡、教育水平并不相同。在2006年4月對1005人進(jìn)行的調(diào)查中，該網(wǎng)站提出，60%的美國人認(rèn)為稅收制度不公正，而薪資高于5萬美元的人群中，有超過60%的人認(rèn)為稅收制度不公正，具體數(shù)據(jù)如表7-1所示。從上述數(shù)據(jù)可知，收入低于5萬美元的美國人中有55.44%認(rèn)為美國稅收制度不公正，而收入高于5萬美元的美國人中有64%認(rèn)為美國稅收制度不公正，那么這兩個收入階層的美國人對美國稅收制度的認(rèn)同比例是否一致？要解決這個問題，可以使用列聯(lián)分析方法。經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，這兩個收入階層的美國人對美國稅收制度的認(rèn)同比例顯然是不一致的。第一節(jié)列聯(lián)表第三節(jié)列聯(lián)表中的相關(guān)測量第二節(jié)統(tǒng)計(jì)量與檢驗(yàn)第一節(jié)列聯(lián)表第三節(jié)列聯(lián)表中的相關(guān)測量第二節(jié)統(tǒng)計(jì)量與檢驗(yàn)一、列聯(lián)表的構(gòu)造列聯(lián)表是由兩個以上的變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分布表。例如，要分析收入情況和儲蓄率的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了500個儲戶，年收入分為10萬以下、10～20萬、20萬以上，儲蓄率分為低于10%、10%～30%、30%以上，得到列聯(lián)表7-2。觀察值的分布（一）表7-2就是一個簡單的觀察值的分布。表中最右邊顯示了收入情況變量的總數(shù)，如10萬以下的有210人，10～20萬的有185人，20萬以上的有105人，我們把每一行的總數(shù)稱為行邊緣頻數(shù)；表中最下邊顯示了儲蓄率情況變量的總數(shù)，如10%以下的有172人，10%～30%的有171人，30%以上的有157人，我們把每一列的總數(shù)稱為列邊緣頻數(shù)。列聯(lián)表所表現(xiàn)的就是變量Y在變量X條件下的分布，或是變量X在變量Y條件下的分布，因此又把列聯(lián)表中的觀察值分布稱為條件分布，每個具體的觀察值就是條件頻數(shù)。例如，收入在10萬以下的人中，儲蓄率在10%以下的有15人，就是一個條件頻數(shù)。二、列聯(lián)表的分布百分比的分布（二）條件頻數(shù)反映了數(shù)據(jù)的分布，但不適合進(jìn)行對比。為了能在相同的基數(shù)上比較，使列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)提供更多的信息，可以計(jì)算相應(yīng)的百分比。表7-3就是一個列聯(lián)表的百分比分布。期望值的分布（三）在實(shí)際分析中，我們還需要期望值的分布。假定行變量和列變量是獨(dú)立的，一個觀察頻數(shù)的期望頻數(shù)是總頻數(shù)的個數(shù)n乘以該觀察頻數(shù)落入第i行和第j列的概率，即

（7-1）根據(jù)式（7-1）可知，期望頻數(shù)等于觀察頻數(shù)對應(yīng)的行合計(jì)數(shù)乘以列合計(jì)數(shù)除以總頻數(shù)n。表7-4是利用Excel計(jì)算的儲戶期望值分布表。用Excel計(jì)算期望值的操作步驟如下：（1）將表7-2中的觀察值數(shù)據(jù)輸入Excel，選中B10單元格，輸入“=ROUND($E3*B$6/$E$6,0)”，如圖7-1所示。（2）選中B10單元格，將鼠標(biāo)放在右下角，出現(xiàn)“+”時(shí)，向右拉至D10處。（3）選中B10、C10和D10單元格，將鼠標(biāo)移動到D10的右下角，出現(xiàn)“+”時(shí)，向下拉至D12處。第一節(jié)列聯(lián)表第三節(jié)列聯(lián)表中的相關(guān)測量第二節(jié)統(tǒng)計(jì)量與檢驗(yàn)一、統(tǒng)計(jì)量

統(tǒng)計(jì)量可用于變量間的擬合優(yōu)度和獨(dú)立性檢驗(yàn)，測定兩個分類變量之間的相關(guān)程度。若用表示觀察值頻數(shù)，用表示期望值頻數(shù)，則統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：

（7-2）統(tǒng)計(jì)量具有以下特征：①，因?yàn)樗菍ζ椒街到Y(jié)果的匯總。②值的大小與觀察值和期望值的配對數(shù)即的多少有關(guān)。越多，在不改變分布的情況下，值越大，因此，統(tǒng)計(jì)量的分布與自由度有關(guān)。③統(tǒng)計(jì)量描述了觀察值與期望值的接近程度。兩者越接近，即越小，計(jì)算出來的值越?。环粗?，越大，計(jì)算出來的值越大。運(yùn)用分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，需要確定分布的自由度。在的列聯(lián)表中，若，則自由度為；若，則自由度為；當(dāng)且時(shí)，自由度為。根據(jù)表7-2、表7-4和式（7-2），將統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算過程列入表7-5。二、檢驗(yàn)檢驗(yàn)即卡方檢驗(yàn)，是指運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果與分布中的臨界值進(jìn)行比較，作出對原假設(shè)的統(tǒng)計(jì)決策?？ǚ綑z驗(yàn)可以用于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)。其中，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是對多個總體比例是否等于其期望概率的檢驗(yàn)；獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩組或多組資料是否相互關(guān)聯(lián)，如果不相互關(guān)聯(lián)，就稱為獨(dú)立。例如，儲戶的收入水平和儲蓄率是否存在關(guān)系，對父母的孝敬程度是否與孩子性別有關(guān)等。第一節(jié)列聯(lián)表第三節(jié)列聯(lián)表中的相關(guān)測量第二節(jié)統(tǒng)計(jì)量與檢驗(yàn)一、相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是描述列聯(lián)表數(shù)據(jù)相關(guān)程度最常用的一種相關(guān)系數(shù)。對于列聯(lián)表，相關(guān)系數(shù)的值在0～1之間，其計(jì)算公式為：（7-3）表7-6是一個簡化的列聯(lián)表，a、b、c、d均為觀察頻數(shù)。由表7-6中的數(shù)據(jù)，可計(jì)算出a、b、c、d對應(yīng)的期望頻數(shù)分別為：，，，統(tǒng)計(jì)量為：因此，相關(guān)系數(shù)為：

（7-4）

可見，當(dāng)時(shí)，，表明變量X與Y之間相互獨(dú)立；若，，則；若，，則；時(shí)，表明變量X與Y完全相關(guān)，此時(shí)的符號并沒有實(shí)際意義。越大，表明變量X與Y的相關(guān)程度越高。但是，當(dāng)R×C列聯(lián)表中的行數(shù)R或列數(shù)C大于2時(shí)，相關(guān)系數(shù)將隨著R或C的變大而增大，且值沒有上限。這時(shí)就不能用相關(guān)系數(shù)測定兩個變量的相關(guān)程度，而應(yīng)該采用c相關(guān)系數(shù)。二、c相關(guān)系數(shù)

c相關(guān)系數(shù)即列聯(lián)相關(guān)系數(shù)，又稱列聯(lián)系數(shù)，主要用于大于列聯(lián)表的情況。c相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：

（7-5）當(dāng)列聯(lián)表中的兩個變量相互獨(dú)立時(shí)，，但它不可能大于1。c相關(guān)系數(shù)的大小取決于自由度，也就是說會隨著R和C的增大而增大。對不同的行或列計(jì)算的c相關(guān)系數(shù)是不能進(jìn)行比較的，只有兩個列聯(lián)表的行數(shù)和列數(shù)一致時(shí)，才能比較其c相關(guān)系數(shù)，因此c相關(guān)系數(shù)的使用有一定的局限性。但由于其計(jì)算簡便，且對總體的分布沒有任何要求，所以c相關(guān)系數(shù)仍不失為一種適應(yīng)性較廣的測試值。三、V相關(guān)系數(shù)鑒于相關(guān)系數(shù)對于大于的列聯(lián)表無上限，c相關(guān)系數(shù)小于1的情況，克萊默提出了V相關(guān)系數(shù)。其計(jì)算公式為：

（7-6）式中，表示取中較小的一個。當(dāng)兩個變量相互獨(dú)立時(shí)，；當(dāng)兩個變量完全相關(guān)時(shí)，。所以，V的取值是在0～1之間。如果列聯(lián)表中有一維為2，即，則V值等于值。表7-2是一個的列聯(lián)表，計(jì)算相關(guān)系