2022-2023學(xué)年上海九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期課時同步練23.1銳角的三角函數(shù)

23.1:銳角的三角函數(shù)

1.在用AABC中，ZC=90,AC=3,AB=4,那么cosA的值是（）

43-34

A.—B.一C.—D.一

5453

2.sin47、tan47。、cos47。的大小關(guān)系是（）

A.cos47">sin47>tan47B.tan47>sin47°>cos47

C.sin47°>tan470>cos47°D.tan47">cos47">sin470

一3

3.在ziABC中，NC=90;sinA=",cosA=（）

3434

A.-B.-C.一D.-

5543

4.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,則tanB的值是（：）

B

AC

344

A.-B.-C.一D.-

4355

5.在中，/C=9<y,下列式子中最大的一個是（）

A.tanA+cotAB.sinA+cosAC.tanA+cosAD.cotA+sinA

6.下列計算錯誤的是（）

A.sin60-sin30°=sin30LB.sin245°4-cos245=1

C.（tan60）2=3D.tan30=Sm3°

cos30，

7.已知在ABC中，ZC=90°.若sinA=;,則cosA等于（

）

A.gB.正C.i

D.1

222

8.已知sinacosa=[,且CT<a<45。，則sina—cosa的值為（）

8

AGRr2D.士也

A?B.----C?一

2242

9.三棱柱的三視圖如圖所示，已知AEFG中，EF=8cm,EG=12cm.若A8的長為4血0加，貝歸4G是

（）

DE

□AB

三棱柱主視圖左視圖俯視圖

A.30B.45,C.60D.90,

10.a、夕都是銳角，目.cosavcos/7,則下列各式中正確的是（）

A.a<[5B.cotaccot?C.tancr<tan^D.sinavsin?

11.已知sin35°=0.5736,則cos55°=.

3

12.計算sin3（y+9cos6（T=；若sina=1，則cosa=.

13.銳角A滿足cosA=g,利用計算器求NA時，依次按鍵（-ndf［河］則計算器上

顯示的結(jié)果是.

14.sin60。的相反數(shù)是.

15.計算：2sin45+2cos60-tan60=.

16.6tan45'—2cos60=.

17.（；tan70。尸叫（3tan20。尸009=.

18.下圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，NBACZDAE.（填或"<"）

2

19.在RtAABC中，NACB=90。，sinB=y,則cosB=；若百tan26?=l,則。=.

20.已知部分銳角三角函數(shù)值：sinl&=出沙,sin30=1，sin45="，sin75=如史，計算

4224

cos75=.（提示：sin2x+cos2x=1）

4

21.在AABC■中，NC=90「，BC=8cm,tanA=-,求AC的長.

22.如圖，海中有兩個小島C、D,某漁船在海中的A處測得小島。位于東北方向上，且相距300海里,

該漁船自西向東航行一段時間到達(dá)8處，此時測得小島C恰好在點8的正北方向上，且相距75海里，又測

得點8與小島。相距306海里.

(1)求sin/48￡>的值；

(2)求小島C、。之間的距離(計算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值).

23.如圖，一艘漁船正以必走海里/小時的速度由西向東趕魚群，在A處看小島C在船北偏東60。，60分

3

鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東30。.

(1)求小島C到航線AB的距離.

(2)已知以小島C為中心周圍20海里內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊軍事演習(xí)的著彈危險區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追

趕魚群，是否有進(jìn)入危險區(qū)的可能？若漁船進(jìn)去危險區(qū)，那么經(jīng)過多少分鐘可穿過危險區(qū)？

24.閱讀下面的材料：

(1)銳角三角函數(shù)概念：在RQABC中，ZC=90°,NA,N8,NC的對邊分別是a,b,c,稱5MA=巴，sinB=-

cc

是兩個銳角NA,N8的"正弦"，特殊情況：直角的正弦值為1,即5汾90。=1,也就是S山C=￡=l.

C

...ci_.,a..?"/口h

由sinA=一,口J得zpc—~~；由smB=~~,可得c——；~~,

csinAcsmB

c

而c=

1sin90sinC

,于是就有=~^~.

sinAsinBsinC

(2)其實，對于任意的銳角△ABC,上述結(jié)論仍然成立，即三角形各邊與對角的正弦之比相等，我們稱之

為〃正弦定理〃，我們可以利用三角形面積公式證明其正確性.

AD

證明：如圖1作4DJ_8C于。則在中，sinB=

9

AD=c^sinB,SAABC-yaAD=yac*sinB,

在RRAC。中，s/nC=—，/.AD=b^sinC.

b

/.S/MBG;Q.aDtJob.sMC.同理可得A8c=

因此有SAABC=；ac?sinB=gab^sinC=ybc，sinA.

^^)t^=ac^sinB=ab?sinC=bc?sinA.

(1)在銳角△ABC中,Z8=60°,ZC=45°,c=2,求b；

(2)求問題(1)中△八8c的面積；

(3)求s/“75。的值(以上均求精確值，結(jié)果帶根號的保留根號)

25.大剛在學(xué)習(xí)解直角三角形時發(fā)現(xiàn)：一副三角板中，含45。的三角板的斜邊與含30。的三角板的長直角邊

相等，于是，大剛同學(xué)提出一個問題：如圖，將一副三角板直角頂點重合拼放在一起，點8,C,E在同一

直線上，若BE,求4F的長.

A

Q|O

BcE

26.如圖，在AABC中，AB=AC=1(),8c=16,點。為BC邊上的一個動點(點。不與點8、點C重合).以

。為頂點作N4￡>E=N8,射線。E交AC邊于點E,過點A作AFL4。交射線QE于點尸.

(1)求證：AB-CE=BD-CD；

(2)當(dāng)。尸平分NA0C時，求AE的長；

(3)當(dāng)AAEF是等腰三角形時，求8。的長.

27.如圖1,已知正方形ABC。，E是線段BC上一點，N是線段8c延長線上一點，以AE為邊在直線BC的

上方作正方形AEFG.

(1)連接GD,求證DG=5E；

(2)連接FC,求tanN尸CN的值：

(3)如圖2,將圖1中正方形ABCD改為矩形48CD,AB=3,8c=8,E是線段8c上一動點(不含端點8,

C),以AE為邊在直線BC的上方作矩形AEFG,使頂點G恰好落在射線CD上.當(dāng)點E由8向C運動時，判

斷tanNRW的值是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由.

圖1圖2

28.某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動，愛思考的小實同學(xué)在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩條中

線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形如圖1、圖2、圖3中，AF.BE是的中線，ARL5E于點P,

像AABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形

(特例探究)

（1）如圖1,當(dāng)NPAB=45。，AB=6及時，AC=,BC=；

如圖2,當(dāng)sin/PA8=』，AB=4時，AC=,BC=；

2

（歸納證明）

（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想AB?、BC\AC?三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3

證明你的結(jié)論；

（拓展證明）

（3）如圖4,在1中，AB=4y/3,BC=2亞,D、E、F分別是邊A8、ACBC的中點，連結(jié)OE并

延長至G,使得GE=DE,連結(jié)8G,當(dāng)3GLAC于點M時，求GF的長.

29.（定義）

如圖1,在R3A8C中，點M,N分別在直角邊AC,8c上，若4必+8/\/2=乂解，則稱線段MN為RtAA8C

的“勾股線”.

（運用）

（1）如圖1,/MN為Rtz\ABC的"勾股線"，AC=6,BC=4,AM=2,求CN的長；

（2）如圖2,RSABC中，NC=90。，點P在邊AC上，試用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作出RtAABC的一條“勾

股線”PQ（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）；

（3）如圖3,EF是R3ABC的“勾股線"，BF=#>AE,CF=^AE,D是斜邊A8上一點，且4。=逐8。，連

30.在AABC中，ZA、E>8、NC的對邊分別為。、b、c,且滿足等式（4）？=4（c+a）（c—a）和5a-3。=0

,求sinA+sinb的值.

23.1：銳角的三角函數(shù)

1.在mAA3C中，NC=90,AC=3,AB=4,那么coS的值是（）

4334

A.-B.-C.-D.一

5453

【答案】B

【解析】由銳角三角函數(shù)的定義求解.

【解答】如圖所示：

AC3

CosA

AB4

故選B.

【點評】考查了銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是余弦的定義（鄰邊與斜邊的比值）.

2.sin47。、tan47。、cos47。的大小關(guān)系是（）

A.cos47>sin470>tan47°B.tan474>sin47>cos47

C.sin47">tan47'>cos47°D.tan470>cos470>sin470

【答案】B

【解析】利用計算器分別計算47度角的正弦值，余弦值，正切值再比較即可得出答案.

【解答】解：sin47°?0.73.cos47°?0.68,tan47?1.07

tan47>sin47>cos47，

故選：B.

【點評】本題考查了同角的三角函數(shù)值，不是特殊角時可借助計算器.

3

3.在AABC中，/C=9（y,sinA=-,cosA=（）

A—B.1c.A.A

554D3

【答案】B

【解析】畫出直角=角形，根據(jù)正弦的定義和勾股定理，寫出三邊比例關(guān)系，再由余弦的定義求出cosA.

【解答】解：如圖，

sinA=^3

AB5

二設(shè)8c=3x,AB=5x,

在mAABC中，由勾股定理可得AC=4x,

.?.8SA”4x4

AB5x-5

故選B.

【點評】本題考查正弦和余弦的定義，解題的關(guān)鍵是畫出圖象結(jié)合勾股定理求出三邊比例關(guān)系，并根據(jù)正

弦和余弦的定義求值.

4.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,貝ItanB的值是（）

【答案】D

【解答】分析：根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊求解即可.

AC4

詳解：?；AB=5,BC=3,AC=4,/.cosA=-----=—.

AB5

故選D.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰

邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

5.在凡AABC中，/C=90",下列式子中最大的一個是（）

A.tanA+cotAB.sinA+cosAC.tanA+cosAD.cotA+sinA

【答案】A

sinAcosA

【解析】IBiEtanA=------,cotA=—:—，以及OVsinAVl,0<cosA<l,得出tanA>sinA,cotA>cosA即

cosAsinA

可得出答案.

【解答】解：?.,在RjABC中，ZC=90°,

.,.0°<ZA<90°,

cirjyd

*.*tanA=-------,,0<sinA<1,0<cosA<I,

cosA

/.tanA>sinA,

..cosA

.cotAx=-------,

sinA

.*.cotA>cosA,

故：tanA+cotA>sinA+cosA,

tanA+cotA>tanA+cosA,

tanA+cotA>cotA+sinA,

則式子中最大的一個是tanA+cotA.

故選：A.

【點評】此題主要考查了銳角三角三角函數(shù)的增減性，根據(jù)OVsinAVl,0<cosA<l,得出tanA>sinA,

cotA>cosA是解題關(guān)鍵.

6.下列計算錯誤的是（）

A.sin60-sin300=sin30°B.sin2450+cos245°=1

C.（tan60）2=3D.tan30

cos30

【答案】A

【解析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.

【解答】解:A.sin60°-sin30°^sin300,故A符合題意;

22

B.sii?45"+cos245"=1、故B不符合題意；

C.（tan60">=（百>=3,故C不符合題意；

D.tan30。=包型-，故D不符合題意；

cos30

故選:A.

【點評】本題主要考查三角函數(shù)的定義及運算，注意運算的準(zhǔn)確性.

7.已知在RsABC中，ZC=90°.若sinA=；,則cosA等于（）

A.且B.也C.-D.1

222

【答案】A

【解答】解：因為在RSABC中，ZC=90°,sinA=1,

所以NA=30。,

所以cosA=—,

2

故選A.

8.已知sinacosa=l,且0。<。<45°,則sina—cosa的值為()

8

A.立B.-且C.-D.士也

2242

【答案】B

【解析】山題意把已知條件兩邊都乘以2,再根據(jù)si/a+cos2a=1,進(jìn)行配方，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出

cosa與sina的取值范圍，從而得到sina-cosa<0,最后開方即可得解.

【解答】解：:sinacosaT，

O

1

..2sina*cosa=—,

4

/.sin2a+cos2a-2sinaecosa=1--,

4

i3

即(sina-cosa)2=—,

4

V00<a<45°,

:走<cosa<1,0<sina<^-?

22

，sina-cosaVO,

?.sina-cosa=———.

2

故選：B.

【點評】本題考查同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用好siMa+cos2a=1,并求出sina-cosa<0是解題的關(guān)鍵.

9.三棱柱的三視圖如圖所示，已知AEFG中，EF=8cm,EG=\2cm.若AB的長為4缶機(jī)，貝帕EFG是

A.30B.45°C.60D.90

【答案】B

【解析】作匹，F(xiàn)G于。，根據(jù)三視圖的對應(yīng)情況可得出，4EFG中FG上的高即為AB的長，進(jìn)而銳角

三角函數(shù)的定義求解即可.

【解答】解：作EDJ-FG于。，

由題意得AB=ED=40cm，

在RSEFD中,NEDF=90,，EF=Scm,

..ED47272

EF82

/.ZEFD=45°.

故選3.

【點評】此題主要考查了由三視圖的知識，以及銳角三角函數(shù)的知識，根據(jù)已知得出ED=AB是解題關(guān)鍵.

10.a、夕都是銳角，且cosavcos尸，則下列各式中正確的是（）

A.a</3B.cotcr<cot/?C.tana<tan/?D.sincr<siny?

【答案】B

【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性先判斷解答.a、夕大小，再進(jìn)而判定其他類型三角函數(shù)值大小即可.

【解答】解：：a、夕都是銳角，且cosa<cos￡,

a>。，

cotcr<coty0,tana>tan/?,sina>sin/?.

故選：B

【點評】本題考查了三角函數(shù)的增減性，熟知各類三角函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵.

11.已知sin350=0.5736,貝Ucos55=.

【答案】0.5736

【解析】根據(jù)一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，從而可得答案.

【解答】解：：35。+55。=90,

***cos550=sin35°=0.5736.

故答案為0.5736.

【點評】

本題考查的是互為余角的兩個角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，掌握互余的兩角的三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3

12.計算sin30'+9cos60"=;若sina=j,則cosa=.

【答案】51

【解析】將特殊角的三角函數(shù)值代入計算；設(shè)斜邊為5x,一條直角邊為3x,根據(jù)勾股定理求出另外一條直

角邊的長度，即可求出cosa的值.

【解答】解：sin3(T+9cos60=g+9xg=5；

設(shè)斜邊為5x,一條直角邊為3x,

則另條直角邊的長度為：J(5x)2-(3x『=4x,

4x4

則cosa=——=一.

5x5

4

故答案為：5；—.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、同角三角函數(shù)的關(guān)系、勾股定理，熟練掌握特殊三角函數(shù)的值

是解題的關(guān)鍵.

13.銳角A滿足cosA=；,利用計算器求NA時，依次按鍵叵可叵]切日日囚日，則計算器上

顯示的結(jié)果是.

【答案】60°

【解析】根據(jù)題意輸入計算器，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

【解答】解：依次按鍵，自砌叵[[T]D[T][T]F]顯示的是arccos；的值，即A的度數(shù)為60。.

故答案為：60.

【點評】本題考查了用計算器根據(jù)三角函數(shù)值求角的度數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值，熟知操作方法，牢記特

殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

14.sin60°的相反數(shù)是.

【答案】-9

【解析】

Vsin60°=^,立的相反數(shù)是.立，

222

Asin60的相反數(shù)是.立.

2

故答案為-立.

2

15.計算：2sin45'+2cos60-tan60=.

【答案】6+1-6

【解析】把特殊角是三角函數(shù)值代入計算即可.

【解答】解：原式=2x也+2x1-石

22

=>/2+1->/3.

故答案為：0+1-百.

【點評】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練記憶是關(guān)鍵.

16.6tan45'-2cos60=.

【答案】5

【解析】將特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)行計算即可.

【解答】解：原式=6xl-2xg=5.

故答案為：5.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

17.(^tan70s)2(x)9.(3tan20)2009=.

【答案】1

【解析】首先根據(jù)幕運算的性質(zhì)：(必)"'=?！?'，aman=am+n,進(jìn)行整理;再根據(jù)互為余角的正切值互為倒

數(shù)即可計算.

【解答】ft^WtaMOy儂QtanZOI^Jiyoo^tai^OY'mS^FanZOy009：^.

=(1x3)2009(tan70?tan2O0)2009=1

故答案為：I

【點評】本題考查了累的運算法則和互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握法則的運用是解題的關(guān)鍵

18.下圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，NBAC______ZDAE.(填“>”,"=”或“<”)

【答案】>

【解析】構(gòu)造等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可進(jìn)行比較大小.

【解答】解：如下圖所示，

△AFG是等腰直角三角形，

，ZFAG=ZBAC=45°,

：.ABAC＞ADAE.

故答案為＞?

另：此題也可直接測量得到結(jié)果.

【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2

19.在RsABC中，ZACB=90°,sinB=y,貝ijcosB=；若Gtan26=1,則。=.

【答案】—;15°.

7

cc2

【解答】解：sin2B+cos2B=l,sinB=—

7

所以cosB二主叵；

7

因為百tan26=1

所以tan20=-^==—

后3

根據(jù)特殊角三角函數(shù)值可得28=30、所以。=15。.

20.已知部分銳角三角函數(shù)值：sinl5=逆二也，sin3（T=＜，sin45=—,sin75=如史，計算

4224

cos750=.（提不：sin2x+cos2x=l）

［答案］遠(yuǎn)二在

4

【解析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系：cosA=sin（90-NA）即可求解.

【解答】解：；sinl5?近二也，

4

,cos75;=sin（90,_75）=sinl5'=";&.

故答案為:巫e

4

【點評】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，深刻理解三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

4

21.在A/WC?中，NC=90。，BC=8cm,tanA=-,求AC的長.

【答案】6cm

【解析】根據(jù)正切定義：銳角A的對邊。與鄰邊b的比叫做NA的正切可得B方C=4?,再代入6C=8c”進(jìn)行

計算即可.

4

【解答】解：:tanA=-,

.BC4

??----=—,

AC3

?/BC=8an,

AC=6cm.

【點評】本題考查了解直角三角形知識，理解正切的定義是解題關(guān)鍵.

22.如圖，海中有兩個小島C、D,某漁船在海中的A處測得小島。位于東北方向上，且相距30匹海里,

該漁船自西向東航行一段時間到達(dá)8處，此時測得小島C恰好在點8的正北方向上，且相距75海里，又測

得點B與小島。相距30石海里.

（1）求sinZABO的值；

（2）求小島C、。之間的距離（計算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值）.

【答案】（1）（2）75海里.

【解析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得AE=DE=，^AO=30海里，再根

2

據(jù)正弦三角函數(shù)的定義即可得；

（2）如圖（見解析）,先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得BF=DE=30海里,從而可得CF=45海里,再在RtVBDF

中，利用勾股定理可得。尸=60海里，然后在MACDF中，利用勾股定理即可得.

【解答】（1）如圖，過點D作。于?點E,

由題意得：ZA=45。,ZABC=90。，4。=30&海里，BC=75海里，BD=306海里,

放血叱是等腰直角二角形,

歷

AE=DE=—AD=30海里,

2

,sin43”=斗=回

BD30石5

(2)如圖，過點D作。F_L8C于點F,則四邊形BEDF是矩形,

.?.BF=DE=30海里,

;.CF=BC—BF=45海里,

在RtNBDF中，DF=yjBD2-BF2=60海里，

在用ACE>F中，CD=Jc產(chǎn)+DF=J452+GO'=75（海里），

故小島C、。之間的距離為75海里.

【點評】本題考查了方位角、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、正弦二角函

數(shù)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形和矩形是解題關(guān)鍵.

23.如圖，一艘漁船正以必8海里〃卜時的速度由西向東趕魚群，在A處看小島C在船北偏東60。，60分

3

鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東30。.

(1)求小島C到航線AB的距離.

(2)已知以小島C為中心周圍20海里內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊軍事演習(xí)的著彈危險區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追

趕魚群，是否有進(jìn)入危險區(qū)的可能？若漁船進(jìn)去危險區(qū)，那么經(jīng)過多少分鐘可穿過危險區(qū)？

【答案】（1）小島c到航線AB的距離為16海里；（2）這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，會有進(jìn)入危險區(qū)的可

能；漁船進(jìn)去危險區(qū)，那么經(jīng)過45&分鐘可穿過危險區(qū).

【解析】（1）作CDJ_AB于D,由題意得出/CAB=NACB=30。，從而得出AB=CB=%2g,在RtABCD

3

中，求得CD的長即可.

（2）利用勾股定理得出MD的長進(jìn)而得出答案.

【解答】（1）作CD_LAB交AB于點D,如圖1所示

由題意可知：ZCAB=90°-60°=30°,ZCBD=90°-30°=60°

ZACB=ZCBD-ZCAB=30°

，ZCAB=ZACB

.*.AB=CB=-2^X-=32^

3603

在RtACBD中

CO=C8xsin（NC8O）=粵xsin（60）=4x等=16

；.小島C到航線AB的距離為16海里;

（2）VCD=16<20

.??這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，會有進(jìn)入危險區(qū)的可能

設(shè)M為開始進(jìn)入危險區(qū)的位置，N為離開危險區(qū)的位置，如圖2所示:

即CM=CN=20

VCD1AB

；.DM=DN

在RtACMD中

DM=""—CD2=V202-162=12

.?.MN=2DM=24

24_3y/3

，可穿過危險區(qū)的時間為：益萬=丁小時

3

即邁X60=45石分鐘

4

，漁船進(jìn)去危險區(qū)，那么經(jīng)過45百分鐘可穿過危險區(qū).

【點評】本題考查了方位角、勾股定理、等腰三角形、三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌方位角、握

勾股定理、等腰三角形、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

24.閱讀下面的材料：

(1)銳角三角函數(shù)概念：在ROABC中，ZC=90°,NA,NB,NC的對邊分別是a,b,c,稱s加4=一

c

hr

s%4-是兩個銳角NA,NB的“正弦”，特殊情況：直角的正弦值為1,即加90。=1,也就是s加C=-=L

cc

由5譏4=巴，可得c=‘一；lilsinB--,可得c="—,

csinAesinB

—cc

而片廠嬴如

sinC

,于是就有"b0

sinAsinBsinC

(2)其實，對于任意的銳角△ABC,上述結(jié)論仍然成立，即三角形各邊與對角的正弦之比相等，我們稱之

為“正弦定理”，我們可以利用三角形面積公式證明其正確性.

An

證明：如圖1作AO_LBC于拉則在心△A3。中，sinB=—,

99

AD=csinB,SAABC=gaAD=；ac*sinB,

AD

在RtAACD中，sinC=-,：?AD=b,sinC.

b

ABC=ya*AD=yah*sinC.同理可得SAABC=yhc*sinA.

因此有SAABC-gac9sinB=；ab*sinC=；be”inA.

也就是=ac"山.

一注取辦”,znsinBsinCsinA

母項都除以阪，得-^=丁故，-=」_=上

'sinAsinBsinC

請你根據(jù)對上面材料的理解，解答下列問題:

(1)在銳角△ABC中，ZB=60°,ZC=45°,c=2,求〃；

(2)求問題(1)中△ABC的面積；

(3)求s%75。的值(以上均求精確值，結(jié)果帶根號的保留根號)

【答案】(1)b=V6；(2)AABC的面積=紀(jì)史：(3)sin75索諉+立

24

【解析】(1)根據(jù)閱讀材料得到一==名=，7,則一、=一三，可計算出5="；

sin4sinBsinCsin60°sin45°

BD

(2)作ADJ_BC于D,如圖，在RsABD中，利用余弦的定義得cosB=cos6(T=，可計算出BD=1,

AB

在RtZiADC中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD=CD=X￡AC=V5,所以BC=BD+CD=W+1,然后根據(jù)

2

三角形面積公式計算得到△ABC的面積=土巨；

2

(3)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NA=180。-ZB-ZC=75°,再根據(jù)閱讀材料得到△ABC的面積

=^-bcsinA,BP—V6x2xsin750二二匕",可計算出sin750="*°.

2224

ab

【解答】解：（1）,?>——-=—一~二.，

sinAsmBsmC

.b2

?,sin60°-sin450'

2.x——

?**b=-r^—=V6;

包

（2）作ADLBC于D,如圖,

在RtAABD中，cosB=cos60°=

AB2

ABD=1,

在RSADC中，AD=CD二也AC=受x癡二6

22

.?.BC=BD+CD=V3+1,

?二4ABC的面積二：xgx（G+i）=3+G；

2?

(3)VZB=60°,ZC=45°,

???ZA=180°-ZB-ZC=75°,

A△ABC的面積=gbcsinA,

，！x指x2xsin750=ll2H.,

29

【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.

25.大剛在學(xué)習(xí)解直角三角形時發(fā)現(xiàn)：一副三角板中，含45。的三角板的斜邊與含30。的三角板的長直角邊

相等，于是，大剛同學(xué)提出一個問題：如圖，將一副三角板直角頂點重合拼放在一起，點3,C,E在同一

直線上，若BC=7,求4尸的長.

【解析】根據(jù)正切的定義求出AC,根據(jù)正弦的定義求出CF,計算即可.

【解答】解：在Rtz\ABC中，BC=7,ZA=30°,

tanA

則EF=AC=7g,

VZE=45°,

FC=EF*sinE=^^-,

2

???AF=AC-FC=7g-友.

2

【點評】

本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的

關(guān)鍵.

26.如圖，在AABC中，AB=AC=10,BC=16,點。為BC邊上的一個動點(點。不與點B、點C重合).以

D為頂點作ZADE=ZB,射線DE交AC邊于點E,過點A作AF,AD交射線OE于點尸.

(1)求證：AB?CE=BD?CD；

(2)當(dāng)O尸平分N4DC時，求AE的長；

(3)當(dāng)AA￡R是等腰三角形時，求8。的長.

【答案】⑴證明見解析；(2)AE=梟；⑶BO的長為11或1或，.

【解析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到4=/C,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到的O=NC7)E,得到

ABAD^ACDE,根據(jù)相似一角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

ATRD

(2)證明。尸〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到蕓=黑，證明ABDASABAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式

ACBC

計算，得到答案；

(3)分點尸在OE的延長線上、點尸在線段3E上兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算即可.

【解答】(1)證明：???AB=AC,

:.=NC,ZADC=NR4O+NB,ZADE=4B,

:./BAD=/CDE,又ZB=/C,

：.ABAD^ACDE,

.ABBD

^~CD~~CE'

即AB?CE=BD?CD；

(2)解：:D尸平分NADC,

:.ZADE=ZCDE,

?:NCDE=/BAD,

:.ZADE=ZBAD,

；.DF//AB,

.AEBD

'U~AC~~BC'

ZBAD=ZADE=ZB,

:.NBAD=NC,又NB=ZB,

:.ABDA^ABAC，

.BDBABD10

??=,Lo、r|Ji=

BABC1016

25

解得，BD=-

4f

25

:.AE_~4f

To--!?

解得，AE=宣；

(3)解：作A/7_LBC于H,

VAB=ACfAHIBC,

：.BH=HC=-BC=8,

2

由勾股定理得，AH=ylAB2-BH2=V102-82=6?

3

:.tanB=—

BH4

4/7Q

??.tanZADF=—=一，

AD4

設(shè)A尸=3x,則AO=4x,

由勾股定理得，DF=JAD?+A尸=5了,

,:ABAD^ACDE，

.ADAB

'~DE~~CD

當(dāng)點尸在的延長線上，E4=FE時，DE=5x-3x=2x,

1f)AY

解得，8=5,

CD2x

:?BD=BC-CD=\\,

當(dāng)E4=所時，DE=EF=2.5x,

?12_4x

??&―2.5x'

25

解得：CD=E，

4

??.BD=BC-CD=—；

4

7

當(dāng)AE=AF=3x時，DE=y

104x-

---=—/

*,?CD7,解得，CD=—,

丁2

25

??.BD=BC-CD=—；

2

當(dāng)點?在線段￡>￡上時，為鈍角，

???只有E4=FE=3x,則?！?8x,

.104x

??—=—,

CD8x

解得，C￡)=20>16,不合題意，

???A4斯是等腰三角形時，BZ)的長為11或手39或胃25.

42

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定

定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.

27.如圖1,已知正方形ABC。，E是線段8c上一點，N是線段8c延長線上一點，以4E為邊在直線BC

的上方作正方形AEFG.

(1)連接GO,求證DG=8E；

(2)連接FC,求tanNFCN的值；

(3)如圖2,將圖1中正方形ABCC改為矩形ABC。，AB=3,BC=8,E是線段8c上一動點(不含端點

B,C),以AE為邊在直線BC的上方作矩形AEFG,使頂點G恰好落在射線CO上.當(dāng)點E由B向C運動

時，判斷tanNFCN的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)tanNFCN=M=l；(3)是定值，tanNFCN=g.

CM3

【解析】(1)證明△明石室64)，問題得證；

FM

(2)過尸作RW_LBN,垂足為M,證明△&4￡^AMEF,得到CM=FM,求出tanNFaVuR=1；

⑶過尸作FNLBN,垂足為M,證明旌aA司，ABAESAMEF,設(shè)BE=a,得到尸M=號，求得

Q

tan4FCN=-，問題得解.

【解答】(1):正方形A8c。和正方形AEFG中

AZBAD=ZEAG=90°fAB=AD,AE=AG.

:.ZBAE=ZGAD

：.MAE^AGAD

：.DG=BE

(2)過F作FM_L8V,垂足為M,則有N8=NAE/=NfME=90。，

/.ZBAE+ZAEB=ZFEM+ZAEB=90°

即ZBAE=^FEM

又AE=EF

Z\BAE=Z\MEF

:?FM=BE,EM=AB

又BE+EC=AB,EM=EC+CM

:.CM=FM

FM

在Rr△FCM中，A\anAFCN=—=\

(3)過尸作BWJ.BN,垂足為M,則有ZB=ZA￡F=NRWE=90°,

ZBAE+ZAEB=NFEM+ZAEB=90°

即ZBAE=ZFEM

同理可證：ZGAD=NFEM

又AG=EF

Z\DAG=Z^MEF,Z\BAE^/\MEF

設(shè)BE=a,則EM=EC+CM=BC=BE+EC,

CM=BE=a,

3a即尸M號

8~FM

8cz

FM_y_8

tanZFCN=

CMa3

即tan/FCTV的值為定值

【點評】本題考查是正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，求三角函數(shù)，相似等知識，綜合性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵根據(jù)

題意，每一步都為后續(xù)解題提供條件或思路.

28.某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動，愛思考的小實同學(xué)在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩條中

線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形如圖1、圖2、圖3中，AF.BE是的中