四川省川大附中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理

II卷（共90分）二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填寫在答題卡上相應(yīng)位置的橫線上。）已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為__________．已知點(diǎn)及圓，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為___________．已知函數(shù)若，使，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F和的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為M，且拋物線在點(diǎn)M處的切線與直線垂直，當(dāng)取最大值時(shí)，雙曲線C的方程為______．三、解答題（本題共6小題，共70分）（本小題12分）命題，，命題，使得成立．

若為真，為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

已知，若r是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．（本小題12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且．求拋物線C的方程及的值；設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作斜率為的直線l交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線C上異于M、N的一點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)t的值．（本小題12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比值為2，點(diǎn)P的軌跡為曲線C．求曲線C的軌跡方程過(guò)點(diǎn)作直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為，求面積的最大值．

（本小題12分）已知圓C1：(x＋eq\f(\r(6),2))2＋y2＝eq\f(25,8)，圓C2：(x－eq\f(\r(6),2))2＋y2＝eq\f(1,8)，動(dòng)圓P與已知兩圓都外切．(1)求動(dòng)圓的圓心P的軌跡E的方程；(2)直線l：y＝kx＋1與點(diǎn)P的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A，B，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)N，求點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍．

（本小題12分）已知橢圓E：的左，右焦點(diǎn)分別為，，且，與短軸的一個(gè)端點(diǎn)Q構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，點(diǎn)在橢圓E上，過(guò)點(diǎn)作相互垂直且與x軸不重合的兩直線AB，CD分別交橢圓E于A，B，C，D且M，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)

求橢圓的方程；

求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)；

求面積的最大值．

（本小題10分）已知命題p：實(shí)數(shù)m滿意，命題q：實(shí)數(shù)m滿意方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且非q是非p的充分不必要條件，求a的取值范圍。數(shù)學(xué)答案1--12BBBAADDCABAD13．814．15．16．17解：對(duì)隨意，不等式

恒成立，

，解得，即

p

為真命題時(shí)，；

存在：，使得成立，即成立，，即命題q

為真時(shí)，；

為真，為假，、q

一真一假，

當(dāng)

p

真q

假時(shí)，則，且，即，

當(dāng)p假q

真時(shí)，則或，且，即，

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

若，r是q的充分不必要條件，則，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍．18解：由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，依據(jù)拋物線的定義，，

所以，故拋物線方程為，當(dāng)時(shí)，

由知，焦點(diǎn)，故直線l的方程為，聯(lián)立，得，解得，．所以，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則由，

得，所以又因?yàn)辄c(diǎn)Q在拋物線上，所以，解得或舍去．故

19解：設(shè)點(diǎn)，，即，即，

化為，曲線C的方程為．

解法一：由題意可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為，

由可知，點(diǎn)M是圓的圓心，點(diǎn)M到直線l的距離為，由得，即，又，

所以，令，所以，，，

當(dāng)，即，此時(shí)，符合題意，即時(shí)取等號(hào)．

所以面積的最大值為2．

解法二：由題意可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為，

設(shè)直線l與x軸的夾角為，其中，圓心M到直線到直線l的距離為，

，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以面積的最大值為2．20解:(1)已知兩圓的圓心、半徑分別為C1(－eq\f(\r(6),2)，0)，r1＝eq\f(5\r(2),4)；C2(eq\f(\r(6),2)，0)，r2＝eq\f(\r(2),4).設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，由題意知|PC1|＝r＋eq\f(5\r(2),4)，|PC2|＝r＋eq\f(\r(2),4)，則|PC1|－|PC2|＝eq\r(2)<|C1C2|＝eq\r(6).所以點(diǎn)P在以C1，C2為焦點(diǎn)的雙曲線右支上，其中2a＝eq\r(2)，2c＝eq\r(6)，所以b2＝1.故軌跡E的方程為2x2－y2＝1(x>0)．(2)將直線y＝kx＋1代入雙曲線方程，并整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，依題意，直線l與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－2≠0，,Δ＝2k2－8k2－2>0，,x1＋x2＝－\f(2k,k2－2)>0，,x1x2＝\f(2,k2－2)>0.))所以－2<k<－eq\r(2).且x0＝eq\f(－k,k2－2)，y0＝kx0＋1＝eq\f(－2,k2－2)，則AB的中垂線方程為y＋eq\f(2,k2－2)＝－eq\f(1,k)(x＋eq\f(k,k2－2))．令x＝0，得yN＝eq\f(3,2－k2).∵－2<k<－eq\r(2)，∴yN<－eq\f(3,2).21解：橢圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn)

且，與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)Q構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，則，，

，解得，，橢圓方程為；

Ⅱ證明：設(shè)直線AB的方程為，，則直線CD的方程為，

聯(lián)立，消去x得，，

設(shè)，，則，，

，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，

將M的坐標(biāo)中的m用代換，得CD的中點(diǎn)，，

直線MN的方程為，即為，

令，可得，即有，則直線MN過(guò)定點(diǎn)R，且為，

面積為

令，由于的導(dǎo)數(shù)為，且大于0，即有在遞增．

即有在遞減，

當(dāng)，即時(shí)，S取得最大值，為；則面積的最大值為．22.已知命題