第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型Chapter2Mathematicalmodelofcontrolsystem控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是指描述系統(tǒng)或元件輸入量、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型，可以使用解析法和實(shí)驗(yàn)法

數(shù)學(xué)模型時(shí)域模型頻域模型方框圖和信號(hào)流圖狀態(tài)空間模型本章重點(diǎn)內(nèi)容系統(tǒng)微分方程的列寫(xiě)傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)系統(tǒng)框圖的建立和等效變換信號(hào)流圖和梅遜公式的應(yīng)用2.1列寫(xiě)系統(tǒng)微分方程的一般方法解析法建立微分方程的一般步驟是根據(jù)實(shí)際工作情況，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；1從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞時(shí)序及方向，根據(jù)各變量所遵循的物理、化學(xué)定律，列寫(xiě)出變化（運(yùn)動(dòng)）過(guò)程中的微分方程組；2消去中間變量，得到只包含輸入、輸出量的微分方程；3標(biāo)準(zhǔn)化工作:將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)的右側(cè)，即將與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)的左側(cè)，并按照降冪排列。4例2-1R-L-C串聯(lián)電路圖2-1動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型為二階常系數(shù)線性微分方程。2.1.1簡(jiǎn)單系統(tǒng)微分方程的建立

例2-2已知一R-C網(wǎng)絡(luò)如圖所示，試寫(xiě)出該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間的微分方程。解：設(shè)回路電流i1、i2①

②

③④

⑤由④、⑤得由②導(dǎo)出

將i1、i2代入①、③，則得

例2-3設(shè)彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)如圖所示，試求外力與質(zhì)量為m的質(zhì)量塊的位移之間的微分方程式。

彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)

式中，f為阻尼系數(shù)；k為彈簧的彈性系數(shù)。這是一種機(jī)械平移運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，它是一個(gè)二階微分方程。2.1.2復(fù)雜系統(tǒng)微分方程的建立找到控制系統(tǒng)的總輸入量和最終的輸出量，明確系統(tǒng)中各元件的連接方式和各自的工作原理;分別列寫(xiě)出各個(gè)典型元件的微分方程，組成方程組;消去所有中間變量，得到系統(tǒng)最終輸入量和輸出量的關(guān)系式,即為控制系統(tǒng)的微分方程。

例2-5直流調(diào)速系統(tǒng)(DCspeedcontrolsystem)當(dāng)電動(dòng)機(jī)的負(fù)載或電網(wǎng)電壓變化時(shí)，由于系統(tǒng)的自動(dòng)控制作用，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速能近似的維持不變。

解：系統(tǒng)框圖執(zhí)行元件參考輸入控制變量被控制量擾動(dòng)量被控對(duì)象控制器測(cè)量元件偏差

(1)放大器(amplifier)

假設(shè)無(wú)慣性

（2）直流他勵(lì)發(fā)電機(jī)(DCseparatelyexcitedgenerator)

為分析簡(jiǎn)化起見(jiàn)，假設(shè)拖動(dòng)發(fā)電機(jī)的原動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速恒定不變，發(fā)電機(jī)沒(méi)有磁滯回線和剩磁。此外，還設(shè)發(fā)電機(jī)的磁化曲線為一直線，即。

由電機(jī)學(xué)的原理得其中。把式(2-6)代入式(2-5)，于是得式中，（2-5）（2-6）(3)直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)(DCseparatelyexcitedmotor)由基爾霍夫定律和牛頓第二定律得由上述三式中消去中間變量后，得式中,稱(chēng)為電動(dòng)機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)；稱(chēng)為電動(dòng)機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)；的量綱與時(shí)間的量綱相同。

(2-8)(4)測(cè)速發(fā)電機(jī)測(cè)速發(fā)電機(jī)的磁場(chǎng)恒定不變。測(cè)速發(fā)電機(jī)發(fā)出的電壓與轉(zhuǎn)速成正比

(5)比較環(huán)節(jié)

(2-11)

(2-10)

系統(tǒng)方程:對(duì)整個(gè)系統(tǒng)而言，引起系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的外部因素是給定電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩。其余的物理量均為中間變量，經(jīng)消元后得(2-12)線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

?絕對(duì)的線性元件和線性系統(tǒng)不存在

非本質(zhì)非線性

本質(zhì)非線性

線性化:在滿(mǎn)足一定條件的前提下，用近似的線性系統(tǒng)代替非線性方程。線性化的基本條件:非線性特性必須是非本質(zhì)的，系統(tǒng)各變量對(duì)于工作點(diǎn)僅有微小的偏離。

微偏法:若非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其各階導(dǎo)數(shù)均存在，則由級(jí)數(shù)理論可知，可在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階及二階以上的各項(xiàng)，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。線性化的方法:設(shè)一非線性元件的輸入為x、輸出為y，它們間的關(guān)系如圖所示，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(2-13)在給定工作點(diǎn)附近，將上式展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)若在工作點(diǎn)附近增量的變化很小，則可略去式中項(xiàng)及其后面所有的高階項(xiàng)，這樣，上式近似表示為

(2-14)

或?qū)憺?/p>

（2-14）

式中，式（2-14）就是式（2-13）的線性化方程。疊加原理：可疊加性和齊次性線性系統(tǒng)的基本特性當(dāng)f(t)=f1(t)時(shí)，上述方程的解為x1(t)；當(dāng)f(t)=f2(t)時(shí)，上述方程的解為x2(t)；如果f(t)=f1(t)+f2(t),方程的解為x(t)=x1(t)+x2(t),這就是疊加性當(dāng)f(t)=Af1(t)時(shí)，上述方程的解為x1(t)=Ax1(t),這就是齊次性

END

10≤y≤12上線性化。求用線性化方程來(lái)計(jì)算當(dāng)x=5，y=10時(shí)z值所產(chǎn)生的誤差。解：由于研究的區(qū)域?yàn)?≤x≤7、10≤y≤12，故選擇工作點(diǎn)x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66.求在點(diǎn)x0=6，y0=11，z0=66附近非線性方程的線性化表達(dá)式。將非線性方程在點(diǎn)x0,y0,z0處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，并忽略其高階項(xiàng)，則有因此，線性化方程式為：z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66當(dāng)x=5,y=10時(shí)，z的精確值為z=xy=5×10=50由線性化方程求得的z值為z=11x+6y=55+60-66=49因此，誤差為50-49=1，表示成百分?jǐn)?shù)

例2-4試把非線性方程z=xy在區(qū)域5≤x≤7、例子：直流他勵(lì)發(fā)電機(jī)磁化曲線的線性化設(shè)發(fā)電機(jī)原工作于磁化曲線的A點(diǎn)。若令發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁電壓增加，求其增量電動(dòng)勢(shì)的變化規(guī)律。若發(fā)電機(jī)在小（增量）信號(hào)勵(lì)磁電壓的作用下，工作點(diǎn)A的偏離范圍便較小，從而可以通過(guò)A點(diǎn)作一切線CD，且依此切線CD近似地代替原有的曲線EAF。在平衡點(diǎn)A處，發(fā)電機(jī)的方程為當(dāng)勵(lì)磁電壓增加后，則有（2-15）（2-16）（2-17）（2-18）

由式（2-17）減式（2-15），式（2-18）減去式（2-16）后得作上述相減的運(yùn)算，消去了原平衡工作點(diǎn)A處各變量間的關(guān)系，使所求的式（2-19）、（2-20）中的變量均為增量，因而稱(chēng)這兩個(gè)方程式為增量方程式。（2-19）（2-20）

增量方程只描述了發(fā)電機(jī)在平衡工作點(diǎn)A處受到增量勵(lì)磁電壓作用下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。對(duì)于式（2-19）、（2-20）而言，發(fā)電機(jī)勵(lì)磁曲線的坐標(biāo)原點(diǎn)不是在O點(diǎn)而是移至原平衡點(diǎn)A處。因此，發(fā)電機(jī)的初始條件變?yōu)榱懔?。這樣，不僅便于求解方程，而且也是我們以后研究控制系統(tǒng)時(shí)假設(shè)零初始條件的依據(jù)。需要注意的是，在式（2-19）中之所以不寫(xiě)作，而用表示，原因是那一段磁化曲線不是一直線，即，表示電感L不是一個(gè)常數(shù)，因而用反電動(dòng)勢(shì)來(lái)表示。

把磁化曲線在平衡工作點(diǎn)處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)略去上式中項(xiàng)及其后面所有的高階項(xiàng)，并令 則式（2-21）便簡(jiǎn)化為（2-21）或?qū)懽魇街袨槠胶夤ぷ鼽c(diǎn)A處的正切值。根據(jù)式（2-22），式（2-19）和式（2-20）可改寫(xiě)為其中，（2-22）（2-23）（2-24）

不難看出，隨著發(fā)電機(jī)平衡工作點(diǎn)的不同，其時(shí)間常數(shù)和放大倍數(shù)也不同。由線性化引起的誤差的大小與非線性的程度和工作點(diǎn)偏移的大小有關(guān)。

嚴(yán)格