高中數(shù)學(xué) 第四章 圓的方程綜合檢測(cè) 新人教A版必修2

【成才之路】高中數(shù)學(xué)第四章圓的方程綜合檢測(cè)新人教A版必修2時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．點(diǎn)B是點(diǎn)A(1,2,3)在坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的射影，則|OB|等于()A.eq\r(14) B.eq\r(13)C．2eq\r(3) D.eq\r(11)[解析]B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2,3)，∴|OB|＝eq\r(02＋22＋32)＝eq\r(13).∴應(yīng)選B.2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．m＜eq\f(1,2) B．m＜0C．m＞eq\f(1,2) D．m≤eq\f(1,2)[答案]A[解析](－1)2＋12－4m＞0，∴m＜eq\f(1,2)，故選A.3．圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A．(1，－2)，5 B．(1，－2)，eq\r(5)C．(－1,2)，5 D．(－1,2)，eq\r(5)[答案]D[解析]圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，則圓心是(－1,2)，半徑為eq\r(5).4．直線l：y＝k(x＋eq\f(1,2))與圓C：x2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．相交或相切 B．相交或相離C．相切 D．相交[答案]D[解析]方法一：圓C的圓心(0,0)到直線y＝k(x＋eq\f(1,2))的距離d＝eq\f(|\f(1,2)k|,\r(k2＋1))，∵d2＝eq\f(\f(1,4)k2,k2＋1)＜eq\f(1,4)＜1，∴所判斷的位置關(guān)系為相交．方法二：直線l：y＝k(x＋eq\f(1,2))過定點(diǎn)(－eq\f(1,2)，0)，而點(diǎn)(－eq\f(1,2)，0)在圓C：x2＋y2＝1內(nèi)部，故直線l與圓C相交．5．圓x2＋y2＋ax＝0的圓心到y(tǒng)軸的距離為1，則a＝()A．－1 B．±1C．－2 D．±2[答案]D[解析]∵圓心坐標(biāo)為(－eq\f(a,2)，0)，∴|－eq\f(a,2)|＝1，∴a＝±2.6．圓C1：x2＋y2＝r2與圓C2：(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，則r的值為()A.eq\f(\r(10),2) B.eq\f(\r(5),2)C．5 D．10[答案]A[解析]圓C1與圓C2的圓心坐標(biāo)分別為(0,0)，(3，－1)，則圓心距d＝eq\r(10)，故2r＝eq\r(10)，r＝eq\f(\r(10),2).7．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，eq\r(3))處的切線方程為()A．x＋eq\r(3)y－2＝0 B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(3)y＋4＝0 D．x－eq\r(3)y＋2＝0[答案]D[解析]∵點(diǎn)(1，eq\r(3))在圓x2＋y2－4x＝0上，∴點(diǎn)P為切點(diǎn)，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直．設(shè)切線的斜率為k，又∵圓心為(2,0)，∴eq\f(0－\r(3),2－1)·k＝－1，解得k＝eq\f(\r(3),3)，∴切線方程為x－eq\r(3)y＋2＝0.8．(－·江蘇蘇州模擬)若直線x－y＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－1或eq\r(3) B．1或3C．－2或6 D．0或4[答案]D[解析]由半徑、半弦長(zhǎng)、圓心到直線的距離d所形成的直角三角形，可得d＝eq\r(2)，故eq\f(|a－2|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝4，或a＝0.9．(～·北京東城區(qū)高三期末檢測(cè))直線l過點(diǎn)(－4,0)，且與圓(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B兩點(diǎn)，如果|AB|＝8，那么直線l的方程為()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0[答案]D[解析]由題意，得圓心C(－1,2)，半徑r＝5，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＋4＝0，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12＋y－22＝25，,x＋4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝6，))即此時(shí)與圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)是(－4，－2)和(－4,6)，則|AB|＝8，即x＋4＝0符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|－k－2＋4k|,\r(k2＋1))＝eq\f(|3k－2|,\r(k2＋1))，又|AB|＝2eq\r(r2－d2)，所以2eq\r(25－\f(|3k－2|,\r(k2＋1))2)＝8，解得k＝－eq\f(5,12)，則直線l的方程為－eq\f(5,12)x－y＋4×(－eq\f(5,12))＝0，即5x＋12y＋20＝0.10．(·廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)等于()A．3eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3) D．1[答案]B[解析]圓x2＋y2＝4的圓心O(0,0)到直線3x＋4y－5＝0的距離d＝eq\f(|－5|,5)＝1，弦AB的長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(3).11．(－·山東威海模擬)若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P，Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°(其中O為原點(diǎn))，則k的值為()A．－eq\r(3)或eq\r(3) B.eq\r(3)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D.eq\r(2)[答案]A[解析]方法一：∵|PQ|＝2×1×sin60°＝eq\r(3)，圓心到直線的距離d＝eq\r(1－\f(\r(3),2)2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,\r(k2＋1))＝eq\f(1,2)，解得k＝±eq\r(3).方法二：利用數(shù)形結(jié)合．如圖所示，∵直線y＝kx＋1過定點(diǎn)(0,1)，而點(diǎn)(0,1)在圓x2＋y2＝1上，故不妨設(shè)P(0,1)，在等腰三角形POQ中，∠POQ＝120°，∴∠QPO＝30°，故∠PAO＝60°，∴k＝eq\r(3)，即直線PA的斜率為eq\r(3).同理可求得直線PB的斜率為－eq\r(3).12．若直線y＝kx－1與曲線y＝－eq\r(1－x－22)有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是()A．(0，eq\f(4,3)] B．[eq\f(1,3)，eq\f(4,3)]C．[0，eq\f(1,2)] D．[0,1][答案]D[解析]曲線y＝－eq\r(1－x－22)表示的圖形是一個(gè)半圓，直線y＝kx－1過定點(diǎn)(0，－1)，在同一坐標(biāo)系中畫出直線和半圓的草圖，由圖可知，k的取值范圍是[0,1]，故選D.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．已知點(diǎn)A(1,2,3)，B(2，－1,4)，點(diǎn)P在y軸上，且|PA|＝|PB|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．[答案]－eq\f(7,6)[解析]設(shè)點(diǎn)P(0，b,0)，則eq\r(1－02＋2－b2＋3－02)＝eq\r(2－02＋－1－b2＋4－02)，解得b＝－eq\f(7,6).14．(－·江蘇揚(yáng)州安宜高中期中)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的長(zhǎng)為2eq\r(3)，則a＝________.[答案]1[解析]由(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2－4)＝0得兩圓公共弦方程為ay－1＝0，又因公共弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，所以圓心(0,0)到該公共弦的距離為1，即eq\f(|0－1|,\r(a2))＝1.又a＞0，所以a＝1.15．已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，點(diǎn)P(0,5)，則過P作圓C的切線有且只有________條．[答案]2[解析]由C(1，－2)，r＝2，則|PC|＝eq\r(12＋－2－52)＝5eq\r(2)>r＝2，∴點(diǎn)P在圓C外，∴過P作圓C的切線有兩條．16．與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．[答案](x－2)2＋(y－2)2＝2[解析]∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圓心A(6,6)，半徑r1＝3eq\r(2)，∵A到l的距離5eq\r(2)，∴所求圓B的直徑2r2＝2eq\r(2)，即r2＝eq\r(2).設(shè)B(m，n)，則由BA⊥l得eq\f(n－6,m－6)＝1，又∵B到l距離為eq\r(2)，∴eq\f(|m＋n－2|,\r(2))＝eq\r(2)，解出m＝2，n＝2.故其方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)求經(jīng)過兩點(diǎn)A(－1,4)，B(3,2)且圓心C在y軸上的圓的方程．[解析]∵AB的中點(diǎn)是(1,3)，kAB＝eq\f(4－2,－1－3)＝－eq\f(1,2)，∴AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.令x＝0，得y＝1，即圓心C(0,1)．∴所求圓的半徑為|AC|＝eq\r(12＋4－12)＝eq\r(10).∴所求圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.18．(本小題滿分12分)(～·寧波高一檢測(cè))如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，M為BD1的中點(diǎn)，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，試求[解析]以D為原點(diǎn)建立如圖所示坐標(biāo)系，則B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)．由于M為BD1的中點(diǎn)，所以M(eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，eq\f(a,2))，取A1C1中點(diǎn)O1，則O1(eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，a)，因?yàn)閨A1N|＝3|NC1|，所以N為O1C1故N(eq\f(a,4)，eq\f(3,4)a，a)．由兩點(diǎn)間的距離公式可得：|MN|＝eq\r(\f(a,2)－\f(a,4)2＋\f(a,2)－\f(3,4)a2＋\f(a,2)－a2)＝eq\f(\r(6),4)a.規(guī)律總結(jié)：空間中的距離可以通過建立空間直角坐標(biāo)系通過距離公式求解．19．(本小題滿分12分)已知直線x－my＋3＝0和圓x2＋y2－6x＋5＝0.(1)當(dāng)直線與圓相切時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)當(dāng)直線與圓相交，且所得弦長(zhǎng)為eq\f(2,5)eq\r(10)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．[解析](1)∵圓x2＋y2－6x＋5＝0可化為(x－3)2＋y2＝4，∴圓心為(3,0)．∵直線x－my＋3＝0與圓相切，∴eq\f(|3＋3|,\r(1＋m2))＝2，解得m＝±2eq\r(2).(2)圓心(3,0)到直線x－my＋3＝0的距離d＝eq\f(6,\r(1＋m2)).由eq\f(2,5)eq\r(10)＝2eq\r(4－\f(6,\r(1＋m2))2)得，2＋2m2＝解得m2＝9，故m＝±3.20．(本小題滿分12分)已知點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，N(4,0)，點(diǎn)P(x，y)為線段MN的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程；(2)求點(diǎn)P(x，y)到直線3x＋4y－86＝0的距離的最大值和最小值．[解析](1)∵點(diǎn)P(x，y)是MN的中點(diǎn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋4,2)，,y＝\f(y0,2)，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y.))將用x，y表示的x0，y0代入到xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4中得(x－2)2＋y2＝1.此式即為所求軌跡方程．(2)由(1)知點(diǎn)P的軌跡是以Q(2,0)為圓心，以1為半徑的圓．點(diǎn)Q到直線3x＋4y－86＝0的距離d＝eq\f(|6－86|,\r(32＋42))＝16.故點(diǎn)P到直線3x＋4y－86＝0的距離的最大值為16＋1＝17，最小值為16－1＝15.21．(本小題滿分12分)如圖所示，l1，l2是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道，連接M，N兩地之間的鐵路線是圓心在l2上的一段圓弧，點(diǎn)M在點(diǎn)O正北方向，且|MO|＝3km，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為4km和5km.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求鐵路線所在圓弧的方程；(2)若該城市的某中學(xué)擬在點(diǎn)O正東方向選址建分校，考慮到環(huán)境問題，要求校址到點(diǎn)O的距離大于4km，并且鐵路線上任意一點(diǎn)到校址的距離不能小于eq\r(26)km.求校址距離點(diǎn)O的最近距離．(注：校址視為一個(gè)點(diǎn)．)[解析](1)以城市開發(fā)中心O為原點(diǎn)，分別以l2、l1為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)題意，得M(0,3)，N(4,5)，故kMN＝eq\f(5－3,4－0)＝eq\f(1,2)，MN的中點(diǎn)為(2,4)，∴線段MN的垂直平分線方程為y－4＝－2(x－2)．令y＝0，得x＝4，故圓心A的坐標(biāo)為(4,0)，半徑r＝eq\r(4－02＋0－32)＝5.∴圓A的方程為(x－4)2＋y2＝25，∴eq\o\ac(MN,\s\up15(︵))的方程為(x－4)2＋y2＝25(0≤x≤4,3≤y≤5)．(2)設(shè)校址選在點(diǎn)B(a,0)(a＞4)，則eq\r(x－a2＋y2)≥eq\r(26)時(shí)0≤x≤4恒成立，又y2＝25－(x－4)2，所以(8－2a)x＋a2－17≥0①對(duì)0≤x令f(x)＝(8－2a)x＋a2∵a＞4，∴8－2a∴f(x)在[0,4]上為減函數(shù)，要使①恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞4，,f4≥0))時(shí)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞4，,8－2a4＋a2－17≥0，))∴a≥5，即校址距離點(diǎn)O的最近距離為5