河北省保定市部分高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高二數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊，選擇性必修第一冊第一章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.2.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直的充要條件,列方程求解即得.【詳解】由可得，，因，故，解得.故選：D.3.若是空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間基底的概念對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，是空間的一個(gè)基底，A選項(xiàng)，由于，所以共面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由于不存在實(shí)數(shù)，使得，所以不共面，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由于，所以共面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由于，所以共面，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B4.已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在外，點(diǎn)在內(nèi)，且，則點(diǎn)到平面的距離（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】由點(diǎn)到平面的距離的向量法公式直接計(jì)算求解即可.【詳解】由題得.故選：A.5.續(xù)航能力關(guān)乎無人機(jī)的“生命力”，太陽能供能是實(shí)現(xiàn)無人機(jī)長時(shí)續(xù)航的重要路徑之一.某大學(xué)科研團(tuán)隊(duì)利用自主開發(fā)的新型靜電電機(jī)，成功研制出僅重克的太陽能動(dòng)力微型無人機(jī)，實(shí)現(xiàn)純自然光供能下的持續(xù)飛行.為激發(fā)同學(xué)們對無人機(jī)的興趣，某校無人機(jī)興趣社團(tuán)在校內(nèi)進(jìn)行選拔賽，8名參賽學(xué)生的成績依次為，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（也叫第75百分位數(shù)）為（）A.93 B.92 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義和求解的方法步驟即可計(jì)算求解.【詳解】8名學(xué)生的成績從低到高依次為，且，故上四分位數(shù)為.故選：D.6.在中，角的對邊分別為，若，則（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理結(jié)合整體代入思想求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，而，在中，，所以，故，由余弦定理得，代入得，，故，故，故B正確.故選：B7.某人忘記了一位同學(xué)電話號碼的最后一個(gè)數(shù)字，但確定這個(gè)數(shù)字一定是奇數(shù)，隨意撥號，則撥號不超過兩次就撥對號碼的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，事件可表示為第一次撥對和第一次沒撥對第二次撥對的互斥事件的和，再由互斥事件概率加法公式及古典概型求解.【詳解】設(shè)第次撥號撥對號碼.撥號不超過兩次就撥對號碼可表示，所以撥號不超過兩次就撥對號碼的概率為.故選：B8.已知圓錐在正方體內(nèi)，，且垂直于圓錐的底面，當(dāng)該圓錐的底面積最大時(shí)，圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析出當(dāng)圓錐底面與正六邊形相內(nèi)切時(shí)，圓錐體積最大，結(jié)合正方體性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】取的中點(diǎn)，分別記為，連接，，如圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)易知六邊形為正六邊形，此時(shí)的中點(diǎn)為該正六邊形的中心，且平面，當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正六邊形時(shí)，該圓錐的底面積最大.設(shè)此時(shí)圓錐的底面圓半徑為，因?yàn)?，所以，所以，圓錐的底面積，圓錐的高，所以圓錐的體積.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題為真命題的有（）A.若，則B.若，則C.若，則或D.若，相交，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線與平面的平行的判定與性質(zhì)判定A，由線面垂直的性質(zhì)判斷B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷C，由線面平行的判定判斷D.【詳解】對于A，若，，則直線可能相交或平行或異面，故A錯(cuò)誤.對于B，若，則，故B正確.對于C，若，則或，故C正確.對于D，若相交，則或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知事件兩兩互斥，若，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解.【詳解】對于A，因?yàn)槭录蓛苫コ?，所以，故A錯(cuò)誤.對于B，由，得，故B正確.對于D，由，得，故D正確.對于C，因?yàn)?，所以C正確.故選：BCD11.已知厚度不計(jì)的容器是由半徑為，圓心角為的扇形以一條最外邊的半徑為軸旋轉(zhuǎn)得到的，下列幾何體中，可以放入該容器中的有（）A.棱長為的正方體B.底面半徑和高均為的圓錐C.棱長均為的四面體D.半徑為的球【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)所得圖形，數(shù)形結(jié)合，可判斷A，再由圖形內(nèi)接正四面體可判斷C，由C求三角形外接圓半徑判斷B，根據(jù)截面圖計(jì)算可判斷D.【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，對于A，設(shè)正方體的棱長為，如圖，則可容納的最長對角線，解得，故A正確.對于C，如圖，取三段圓弧的中點(diǎn)，則四面體的棱長均為2m，所以可以容納，故C正確.對于B，如圖，同選項(xiàng)C的分析，的外接圓半徑為，所以不可以容納，故B錯(cuò)誤.對于D，如圖，設(shè)球的半徑為，按正中間剖開所得的軸截面，如圖，可知圓與圓內(nèi)切，，解得，所以不可以容納，故D錯(cuò)誤.故選：AC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.《九章算術(shù)》中將正四棱臺稱為方亭，現(xiàn)有一方亭，體積為13，則該方亭的高是______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺的體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)正四棱臺的高為.因?yàn)?，所以方亭的體積，解得.故答案為：313.在空間直角坐標(biāo)系中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為______.【答案】##0.2【解析】【分析】求出，結(jié)合向量夾角余弦公式得到異面直線所成角的余弦值.【詳解】依題意可得，則，故異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：14.在中，點(diǎn)在邊上，，則的外接圓的半徑為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，則由題以及正弦定理形式的面積公式結(jié)合可得，進(jìn)而可求出，再由即可得解.【詳解】設(shè)，則，由，得，即，又，所以，即，又，所以，所以，則，所以，所以，則外接圓的半徑為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特征可知解決本題的關(guān)鍵是利用即求出.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.某高中為了解本校高二年級學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每天體育鍛煉的時(shí)間，并以此作為樣本，按照進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知樣本中體育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生有10人.（1）求頻率分布直方圖中和的值；（2）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)（求平均數(shù)時(shí)，同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.【答案】（1），（2）中位數(shù)是72分鐘；平均數(shù)是72分鐘【解析】【分析】（1）求出在[50，60）內(nèi)的頻率即可求出，根據(jù)頻率之和為1即可列式求.（2）先求出前3組的頻率之和以及前4組的頻率之和得樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)x在第4組，再依據(jù)頻率分布直方圖所給數(shù)據(jù)列出等量關(guān)系式求解即可；由平均數(shù)的定義和公式直接計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意可知，學(xué)生每天體育鍛煉的時(shí)間在[50，60）內(nèi)的頻率為，則，由各組頻率之和為1，可知，解得.【小問2詳解】前3組的頻率之和為，前4組的頻率之和為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第4組，設(shè)為，所以，解得，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是72分鐘；估計(jì)平均數(shù)分鐘.16.在中，角的對邊分別是，已知.（1）證明：.（2）若的面積為1，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)和差角公式可得，即可利用正弦定理邊角互化求解，（2）根據(jù)面積公式可得，進(jìn)而可得，由余弦定理即可求解.【小問1詳解】由可得，故，,即,由正弦定理可得，故【小問2詳解】由可得，故結(jié)合得,故，又,故，故，由余弦定理可得17.如圖，在四棱錐中，已知底面是邊長為的菱形，，且平面，垂足為.（1）證明：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，由線面垂直得到，結(jié)合正三角形，故，并得到為等邊三角形，，故，即，結(jié)合，得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的夾角公式得到答案.【小問1詳解】連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，，由勾股定理得，，因?yàn)椋?又四邊形是菱形，，所以是正三角形，所以.由，得是正三角形，.所以，即.由平面，平面，可得.因?yàn)?，平面，所以平?【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)椋?，則，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得取，可得.設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.在正四棱柱中，已知，點(diǎn)分別在棱上，且四點(diǎn)共面，.（1）若，記平面與底面的交線為，證明：.（2）若，記四邊形的面積為，求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理得線面平行，再由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行即可；（2）利用平行四邊形面積公式得出關(guān)于關(guān)系式，再由兩角和正切公式及變形，結(jié)合均值不等式，二次函數(shù)求最值即可.【小問1詳解】連接，因?yàn)?，所以，則.在正四棱柱中，易知，所以四邊形是平行四邊形，從而.又平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.【小問2詳解】由正四棱柱對面平行，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，即四邊形為平行四邊形.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.，則，，，化簡可得.因?yàn)?，所以，整理?由，可得.，易知在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.19.給定平面上一個(gè)圖形D，以及圖形D上的點(diǎn)，如果對于D上任意的點(diǎn)P，為與P無關(guān)的定值，我們就稱為關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn).（1）已知為圖形D，判斷點(diǎn)是不是關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)；（2）若圖形D是邊長為2的正方形，是它的4個(gè)頂點(diǎn)，P為該正方形上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若給定單位圓及其內(nèi)接正2024邊形為該單位圓上的任意一點(diǎn)，證明是關(guān)于圓的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)，并求的值.【答案】（1）不是（2）（3）證明見解析，4048【解析】【分析】（1）分別計(jì)算與重合和與重合時(shí)這兩種情況下的結(jié)果，再依據(jù)一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)的定義得解.（2）根據(jù)向量運(yùn)算法則得，再結(jié)合正方形結(jié)構(gòu)性質(zhì)可得的最大值和最小值，進(jìn)而得解.（3）先轉(zhuǎn)化，從而得，再結(jié)合和偶數(shù)邊正多邊形圖形結(jié)構(gòu)性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】點(diǎn)不是關(guān)于的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)，理由如下：當(dāng)與重合時(shí)，有，當(dāng)與重合時(shí)，有，故不是關(guān)于的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn).【小問2詳解】因?yàn)?，所以，故由正方形結(jié)構(gòu)性質(zhì)得：當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值；當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值0.所以的取值范圍為.【小問3詳解】設(shè)單位圓的圓心為，則，所以，因