類型三 新解題方法型（原卷版）

類型三新解題方法型【典例1】求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見的數(shù)學(xué)問題，中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中便記載了求兩個正整數(shù)最大公數(shù)最大公約數(shù)的一種方法——更相減損術(shù)，術(shù)曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少成多，更相減損，求其等也．以等數(shù)約之”，意思是說，要求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)，先用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，得到差，然后用減數(shù)與差中的較大數(shù)減去較小數(shù)，以此類推，當(dāng)減數(shù)與差相等時，此時的差(或減數(shù))即為這兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)．例如：求91與56的最大公約數(shù)eq\a\vs4\al(解：)91－56＝3556－35＝2135－21＝1421－14＝714－7＝7所以，91與56的最大公約數(shù)是7.請用以上方法解決下列問題：(1)求108與45的最大公約數(shù)；(2)求三個數(shù)78、104、143的最大公約數(shù)．【典例2】數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個主要研究對象，我們經(jīng)常運用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題．下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用．探究：求不等式|x－1|<2的解集(1)探究|x－1|的幾何意義(2)求方程|x－1|＝2的解(3)求不等式|x－1|<2的解集因為|x－1|表示數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與1所對應(yīng)的點之間的距離，所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個距離小于2的點對應(yīng)的數(shù)x的范圍．請在圖②的數(shù)軸上表示|x－1|<2的解集，并寫出這個解集．【典例3】古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(公元250年前后)在《算術(shù)》中提到了一元二次方程的問題，不過當(dāng)時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解．在歐幾里得的《幾何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的圖解法是：如圖，以eq\f(a,2)和b為兩直角邊作Rt△ABC，再在斜邊上截取BD＝eq\f(a,2)，則AD的長就是所求方程的解．(1)請用含字母a、b的代數(shù)式表示AD的長．(2)請利用你已學(xué)的知識說明該圖解法的正確性，并說說這種解法的遺憾之處．第3題圖【典例4】請你閱讀引例及其分析解答，希望能給你以啟示，然后完成對探究一和探究二的解答．引例：設(shè)a，b，c為非負實數(shù)，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)，分析：考慮不等式中各式的幾何意義，我們可以試構(gòu)造一個邊長為a＋b＋c的正方形來研究．解：如圖①，設(shè)正方形的邊長為a＋b＋c，則AB＝eq\r(a2＋b2)，BC＝eq\r(b2＋c2)，CD＝eq\r(a2＋c2)，顯然AB＋BC＋CD≥AD，∴eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．探究一：已知兩個正數(shù)x，y，滿足x＋y＝12，求eq\r(x2＋4)＋eq\r(y2＋9)的最小值(圖②僅供參考)；探究二：若