浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)“三校聯(lián)考”2025屆高三9月數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)“三校聯(lián)考”2025屆高三9月數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={x|(x+1)(x?4)<0}，B={x|2x+a<0}，且A∩B={x|?1<x<3}，則a=(

)A.6 B.4 C.?4 D.?62.已知z1+i=1?1i，則z=(A.2 B.22 C.23.下列說(shuō)法中，正確的命題是(

)A.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N2,σ2,PX<4=0.8，則P2<X<4=0.2

B.線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，反之，線性相關(guān)性越弱

C.已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為y=a+bx，若4.函數(shù)f(x)=2x+2A. B.

C. D.5.若平面單位向量a，b，c滿足a,b=π6，b?cA.5 B.3 C.156.設(shè)a=2π，b=log2πA.c>b>a B.a>c>b C.b>c>a D.a>b>c7.已知過(guò)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0)，且|AB|=2x0+1，A.324 B.3228.已知數(shù)列an滿足a1=3,an+1?an=2,4bn=(?1)n+1A.(110,+∞) B.(15,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a>0，b>0，直線l1:x+(a?2)y+1=0，l2:bx+y?2=0，且lA.0<ab≤1 B.a+b≤2 10.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F、G分別在棱D1A1、D1C1、A1AA.存在λ∈(0,1)使得平面EFG截正方體所得截面圖形為四邊形

B.當(dāng)λ=34時(shí)，三棱錐B?EFG體積為32

C.當(dāng)λ=34時(shí)，三棱錐A1?EFG的外接球表面積為34π

D.當(dāng)11.已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R，g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f(x)+g′(x)=1，f(x)?g′(4?x)=3,若g(x)為奇函數(shù)，則(

)A.f(2)=2 B.g′(0)+g′(4)=?2

C.f(?1)=f(?3) D.g′(?4)=g′(4)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知n∈Z，且3≤n≤6，若x?1x3n的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式中x?413.已知四個(gè)函數(shù)：?①y=?ex，?②y=?lnx，?③y=x，?④y=14.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以線段F1F四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)在△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，4(1)求角A．

(2)若△ABC的面積為33，a=13，D為邊BC16.(本小題15分)如圖(1)，在?ABC中，CD⊥AB，BD=2CD=2AD=4，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)．將?ACD沿CD折起到?PCD的位置，使DE⊥BC，如圖(2)．(1)求證：PB⊥PC．(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得CP⊥DF？若存在，求二面角P?DF?E的余弦值；若不存在，說(shuō)明理由．17.(本小題15分)已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=?32時(shí)，求(2)當(dāng)x≥1時(shí)，不等式fx≥0恒成立，求a18.(本小題17分)

已知P(x,y)在曲線C：x+1=(x?1)2+y2，直線l：y=k(x?1)交曲線C于A，B兩點(diǎn).(點(diǎn)A在第一象限)

(1)求曲線C的方程；

(2)若過(guò)(1,0)且與l垂直的直線l′與曲線C交于C，D兩點(diǎn)；(點(diǎn)C在第一象限)

(ⅰ)求四邊形ACBD面積的最小值．

(ⅱ)設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為P19.(本小題17分)在三維空間中，立方體的坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)a1,a2,a3表示，其中ai∈{0,1},i=1,2,3，而在n維空間中(n≥2,n∈N)，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)a1,(1)求出n維“立方體”的頂點(diǎn)數(shù)；(2)在n維“立方體”中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離．①求X的分布列與期望；②求X的方差．

參考答案1.D

2.C

3.D

4.C

5.A

6.B

7.A

8.D

9.ABD

10.BD

11.ABD

12.6

13.1214.1715.解：(1)因?yàn)?33S=b2[sin(2A+B)sinB+1]，

所以433S=(sin2AcosB+cos2AsinBsinB+1)?b2=2sinAcosAcosB+2cos2AsinBsinB?b2=2cosAsin(A+B)sinB?b2=2cosAsinCsinB?b2，

由正弦定理得，433S=2ccosAb?b2，即433×12bcsinA=2bccosA，

因?yàn)閎c≠0，

16.解：(1)證明：依題意可知點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，PD=CD=2，

所以DE⊥PC，

又DE⊥BC，BC∩PC=C，BC，PC?平面PCB，

所以DE⊥平面PCB，

又PB?平面PCB，所以DE⊥PB，

依題意可知CD⊥PD，CD⊥BD，BD∩PD=D，BD，PD?平面PDB，

所以CD⊥平面PDB，

又PB?平面PDB，所以CD⊥PB，

因?yàn)镃D∩DE=D，CD，DE?平面PCD，所以PB⊥平面PCD，

又PC?平面PCD，

所以PB⊥PC．

(2)由題意，得PC=AC=22+22=22，BC=22+42=25，

由(1)PC⊥PB，所以PB=(25)2?(22)2=23．

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DP，DC所在直線分別為x軸、z軸，過(guò)點(diǎn)D且平行于PB的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，則D(0,0,0)，P(2,0,0)，C(0,0,2)，E(1,0,1)，B(2,23,0)，

所以CP=(2,0,?2)，DP=(2,0,0)，DE=(1,0,1)，

設(shè)BF=tBC(0≤t≤1)，即BF=tBC=(?2t,?23t,2t)，

則F(2?2t,23?23t,2t)，DF=(2?2t,23?23t,2t)，

若存在點(diǎn)F，使得CP⊥DF，則CP?DF=4?8t=0，

解得t=12，則DF=(1,3,1)，

設(shè)平面17.解：(1)當(dāng)a=?32時(shí)，f(x)=?32x?lnx?12x，x>0，

則f′(x)=?32?1x+12x2=?(3x?1)(x+1)2x2，

令f′(x)<0，得x∈(13,+∞)；令f′(x)>0，得x∈(0,13)，

所以f(x)在(0,13)上單調(diào)遞增，在(13,+∞)上單調(diào)遞減；

所以f(x)在x=13處取到極大值f(13)=ln3?2，無(wú)極小值；

(2)因?yàn)閤≥1，f(x)=ax?lnx?12x≥0恒成立，

所以a≥lnxx+12x2恒成立，18.解：(1)將x+1=(x?1)2+y2兩邊同時(shí)平方，

此時(shí)(x+1)2=(x?1)2+y2，

整理得y2=4x，

所以曲線C的方程為y2=4x；

(2)(ⅰ)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，

由(1)知曲線C的準(zhǔn)線為x=?1，

設(shè)F(1,0)，

由拋物線性質(zhì)可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，|CF|=x3+1，|DF|=x4+1，

因?yàn)閨AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2，|CD|=|CF|+|DF|=x3+x4+2，

又直線l過(guò)(1,0)且與直線l′交于點(diǎn)(1,0)，

所以CF⊥AB，DF⊥AB，

此時(shí)S四邊形ACBD=S△ACB+S△ABD=12|AB|?|CF|+12|AB|?|DF|=12|AB|?|CD|，

聯(lián)立y=k(x?1)y2=4x，消去y并整理得k2x2?(2k2+4)x+k19.解：(1)對(duì)于

n

維坐標(biāo)

a1,a2,a所以共有

2n

種不同的點(diǎn)，即共有

2n(2)①對(duì)于

X=k1≤k≤n,k