專題08整式的加減探究與表達規(guī)律(七大題型)(原卷版+解析)

專題07整式的加減探究與表達規(guī)律（七大題型）【題型目錄】【知識梳理】1.解題思維過程：從簡單、局部或特殊情況入手，經(jīng)過提煉、歸納和猜想，探索規(guī)律，獲得結(jié)論．有時候還需要通過類比聯(lián)想才能找到隱含條件．一般有下列幾個類型：①一列數(shù)的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個數(shù)與排列序號之間的關(guān)系．②一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號之間的關(guān)系．③圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數(shù)或圖形總數(shù)與序號之間的關(guān)系．④圖形變換的規(guī)律：找準循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個循環(huán)變換周期，進而觀察商和余數(shù)．⑤數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論．2.常見的數(shù)列規(guī)律：①1，3，5，7，9，…，（為正整數(shù)）．②2，4，6，8，10，…，（為正整數(shù)）．③2，4，8，16，32，…，（為正整數(shù)）．④2，6，12，20，…，（為正整數(shù)）．⑤，，，，，，…，（為正整數(shù)）．⑥特殊數(shù)列：（1）三角形數(shù)：1，3，6，10，15，21，…，．（2）斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個數(shù)開始每一個數(shù)等于與它相鄰的前兩個數(shù)的和．【經(jīng)典題型一數(shù)字排列規(guī)律】【例1】（2023秋·廣東深圳·七年級深圳外國語學校?？计谀┮阎麛?shù)滿足下列條件：，依此類推，則的值為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）觀察一組數(shù)據(jù)：1，1，2，4，7，11，16，22，29，…，若記第一個數(shù)為，記第二個數(shù)為，…，記第n個數(shù)為.通過計算，，，…發(fā)現(xiàn)它們有一定的規(guī)律，由此規(guī)律推算的值應(yīng)為（

）A．5152 B．5051 C．4951 D．48522．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）有依次排列的2個整式x，y，將第1個整式乘以2再與第2個整式相加，稱為第一次操作，得到第3個整式；將第2個整式乘以2再與第3個整式相加，稱為第二次操作，得到第4個整式；將第3個整式乘以2再與第4個整式相加，稱為第三次操作，得到第5個整式，……，以此類推，下列三個說法正確的有（

）．①第7個整式為；②第20個整式中x的系數(shù)與y的系數(shù)的差為；③第11個整式和第12個整式中x的所有系數(shù)與y的所有系數(shù)之和等于2048；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．（2023春·山東日照·九年級日照市新營中學?？茧A段練習）我們將如圖所示的兩種排列形式的個數(shù)分別叫做“三角形數(shù)”（如1，3，6，10…）和“正方形數(shù)”（如1，4，9，16…），在不大于2023數(shù)中，設(shè)最大的“三角形數(shù)”為，最大的“正方形數(shù)”為，則的值為（

）A．60 B．70 C．80 D．904．（2023·福建福州·?？既＃┯^察下列式子：；；根據(jù)上述規(guī)律填寫一個正數(shù)，滿足：．5．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）觀察下列數(shù)據(jù)：，…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第25個數(shù)據(jù)是．6．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考三模）化學中直鏈烷烴的名稱用“碳原子數(shù)+烷”來表示，當碳原子數(shù)為時，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷，丁烷的分子結(jié)構(gòu)式如圖所示，則第7個庚烷分子結(jié)構(gòu)式中“”的個數(shù)是．

7．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）觀察下列等式，將以上三個等式兩邊分別相加得，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：(1)猜想并寫出：______；(2)直接寫出結(jié)果：______；(3)直接寫出結(jié)果：______；(4)計算：．8．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）找規(guī)律：觀察算式；；；；…(1)按規(guī)律填空；．(2)由上面的規(guī)律計算：（要求：寫出計算過程）【經(jīng)典題型二圖形排列規(guī)律】【例2】（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學校考期中）觀察下列圖形，其中第①個圖形由個“△”組成，第②個圖形由個“△”組成，第③個圖形由個“△”組成，…，照此規(guī)律下去，則第⑧個圖形“△”的個數(shù)一共是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·重慶·九年級專題練習）圖①叫做一個基本的“勾股樹”，也叫做第一代勾股樹．讓圖①中兩個小正方形各自長出一個新的勾股樹（如圖②），叫做第二代勾股樹．從第二代勾股樹出發(fā)，又可以長出第三代勾股樹（如圖③）．這樣一生二、二生四、四生八，繼續(xù)生長下去，則第四代勾股樹圖形中正方形的個數(shù)為（）A．15 B．23 C．27 D．312．（2023·重慶·九年級專題練習）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成．如圖①，當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊；如圖②，當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有8塊；如圖③，當正方形地磚有3塊時，等腰直角三角形地磚有10塊；…；以此類推，當人行道有20塊正方形地磚時，等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（

）A．38 B．40 C．42 D．443．（2023春·重慶南岸·九年級重慶第二外國語學校?？茧A段練習）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第⑩個圖形中字母“H”的個數(shù)是（

）A．16 B．18 C．20 D．224．（2023·江蘇淮安·?？家荒＃┤鐖D，觀察各圖中小圓點的擺放規(guī)律，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放下去，則第個圖形中小圓點的個數(shù)為．5．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，下列是一組有規(guī)律的圖案，它們由邊長相同的小正方形組成，按照這樣的規(guī)律，第n個圖案中涂有陰影的小正方形的數(shù)量是個．（用含有n的式子表示）?6．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）某公園內(nèi)有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成．如圖表示此步道的地磚排列方式，其中步道上總共使用84個三角形地磚，那么連續(xù)排列的正方形地磚總共有個．7．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市中實學校?？计谥校⒄叫危ㄈ鐖D1）作如下劃分：第1次劃分：分別連接正方形對邊的中點（如圖2），得線段和，它們交于點M，此時圖2中共有5個正方形；第2次劃分：將圖2左上角正方形再作劃分，得圖3，則圖3中共有9個正方形；(1)若每次都把左上角的正方形一次劃分下去，則第100次劃分后，圖中共有______個正方形；(2)繼續(xù)劃分下去，第幾次劃分后能有805個正方形?寫出計算過程．(3)能否將正方形性劃分成有2018個正方形的圖形?如果能，請算出是第幾次劃分，如果不能，需說明理由．(4)如果設(shè)原正方形的邊長為1，通過不斷地分割該面積為1的正方形，并把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，可以很容易得到一些計算結(jié)果，試著探究求出下面表達式的結(jié)果吧．計算（直接寫出答案即可）8．（2023春·廣東河源·七年級?？奸_學考試）背景閱讀：意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：，，，，，，，，其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩上數(shù)的和．為了紀念這個著名的發(fā)現(xiàn)，人們將這組數(shù)命名為斐波那契數(shù)列．實踐操作：

(1)寫出斐波那契數(shù)列的前個數(shù)；(2)斐波那契數(shù)列的前個數(shù)中，有

個奇數(shù)？(3)現(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的邊長構(gòu)造如圖的正方形系列：再分別依次從左到右取個、個、個、個，正方形拼成如圖長方形并記為①，②，③，④，⑤．（ⅰ）通過計算相應(yīng)長方形的周長填寫表（不計拼出的長方形內(nèi)部的線段）；序號①②③④⑤……周長610

……（ⅱ）若按此規(guī)律繼續(xù)拼成長方形，求序號為⑩的長方形的長與寬．【經(jīng)典題型三圖形面積類規(guī)律】【例3】（2023秋·山東聊城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個正方形紙片分割成四個面積相等的小正方形紙片，然后將其中一個小正方形紙片再分割成四個面積相等的小正方形紙片，如此分割下去．第次分割后，正方形紙片共有多少塊（用含的代數(shù)式表示）？（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）如圖，將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個圖形，圖形①面積是正方形紙片面積的，圖形②面積是圖形①面積的2倍的，圖形③面積是圖形②面積的2倍的，……，圖形⑥面積是圖形⑤面積的2倍的，圖形⑦面積是圖形⑥面積的2倍．計算的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·四川達州·七年級四川省萬源中學校考階段練習）如圖，的面積為1．第一次操作：分別延長，，至點，，，使，，，順次連接，，，得到△．第二次操作：分別延長，，至點，，；使，，，順次連接，，，得到△，按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2021，最少經(jīng)過次操作．A．6 B．5 C．4 D．33．（2023·廣東江門·廣東省江門市實驗中學?？家荒＃┤鐖D，將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，部分①是邊長為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類推，可求得陰影部分的面積是，受此啟發(fā)，的值為．4．（2023秋·全國·七年級專題練習）一個大長方形被分成8個小長方形，其中有5個小長方形的面積如圖中的數(shù)字所示，分析所缺的數(shù)，則這個大長方形的面積為．5．（2023春·廣東梅州·七年級校考開學考試）在某多媒體電子雜志的某一期上刊登了“正方形雪花圖案的形成”的演示案例：作一個正方形，設(shè)每邊長為，將每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為a的小正方形，得到圖形如圖（2）所示，稱為第一次變化，再對圖（2）的每個邊做相同的變化，得到圖形如圖（3），稱為第二次變化．如此連續(xù)作幾次，便可得到一個絢麗多彩的雪花圖案．如不斷發(fā)展下去到第2018次變化時，圖形的面積是否會變化，（填寫“會”或者“不會”），圖形的周長為．6．（2023春·四川自貢·七年級自貢市第一中學校考階段練習）我們把如圖1所示的菱形稱為基本圖形，將此基本圖形不斷復(fù)制并平移，使得相鄰兩個基本圖形的一個頂點與對稱中心重合，得到的所有菱形都稱為基本圖形的特征圖形，顯然圖2中有3個特征圖形．（1）觀察以上圖形并完成如表：根據(jù)表中規(guī)律猜想，圖n（n≥2）中特征圖形的個數(shù)為．（用含n的式子表示）圖形名稱基本圖形的個數(shù)特征圖形的個數(shù)圖111圖223圖337圖44………………（2）若基本圖形的面積為2，則圖2中小特征圖形的面積是；圖2020中所有特征圖形的面積之和為．7．（2023秋·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形的面積均為1第1個等式：第2個等式：第3個等式：____________……據(jù)此規(guī)律：(1)請寫出第3個等式：___；(2)猜想第n個等式為___（用含n的等式表示）；(3)已知如上圖所示的一個草垛的最底端有2020支小正方形草束，則這堆草垛共有多少支草束？【經(jīng)典題型四動點類規(guī)律】【例4】（2022秋·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示，數(shù)軸上O，A兩點的距離為8，一動點P從點A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到的中點處，第2次從點跳動到的中點處，第3次從點跳動到的中點處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點，，，…，（，n是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2023次跳動后的點與O點的距離是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江臺州·校考二模）如圖所示，動點P從第一個數(shù)0的位置出發(fā)，每次跳動一個單位長度，第一次跳動一個單位長度到達數(shù)1的位置，第二次跳動一個單位長度到達數(shù)2的位置，第三次跳動一個單位長度到達數(shù)3的位置，第四次跳動一個單位長度到達數(shù)4的位置，…，依此規(guī)律跳動下去，點P從0跳動6次到達的位置，點P從0跳動21次到達的位置，…，點在一條直線上，則點P從0跳動（

）次可到達的位置．A．887 B．903 C．90 D．10242．（2022秋·全國·七年級專題練習）如圖所示，甲、乙兩動點分別從正方形的頂點，同時沿正方形的邊開始移動，甲點依順時針方向環(huán)行，乙點依逆時針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們第2021次相遇在邊（

）上．A． B． C． D．3．（2023秋·四川廣安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，動點M從點A出發(fā)以的速度沿著正方形的邊順時針運動，同時動點N也從點A出發(fā)以的速度沿著正方形的邊逆時針運動，1s后點M，N都運動到點D，記為第1次相遇，繼續(xù)進行下去，則第2023次相遇在點處．4．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）數(shù)軸上兩點的距離為4，一動點從點出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到的中點處，第2次從點跳動到的中點處，第3次從點跳動到的中點處．按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點（，是整數(shù)）處，那么線段的長度為（，是整數(shù)）．5．（2018秋·浙江紹興·七年級紹興市越城區(qū)孫端中學階段練習）點O在直線AB上，點A1，A2，A3，……在射線OA上，點B1，B2，B3，……在射線OB上，圖中的每一個實線段和虛線段的長均為1個單位長度．一個動點M從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度按如圖所示的箭頭方向沿著實線段和以點O為圓心的半圓勻速運動，即從OA1B1B2A2……按此規(guī)律，則動點M到達A10點處所需時間為秒．（結(jié)果保留π）6．（2022秋·貴州貴陽·七年級校聯(lián)考期中）已知在數(shù)軸上，有一動點Q從原點O出發(fā)，在數(shù)軸上以每秒鐘2個單位長度的速度來回移動，其移動方式是先向右移動1個單位長度，再向左移動2個單位長度，又向右移動3個單位長度，再向左移動4個單位長度，又向右移動5個單位長度……(1)5秒鐘后動點Q所處的位置表示的數(shù)是______；(2)如果在數(shù)軸上還有一個定點A，且A與原點O相距20個單位長度，問：動點Q從原點出發(fā)，可能與點A重合嗎？若能，則第一次與點A重合需多長時間？若不能，請說明理由．7．（2022秋·河南洛陽·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，數(shù)軸上有一動點Q從A出發(fā)，沿正方向移動．(1)當AQ＝2QB時，則Q點在數(shù)軸上所表示的數(shù)為；(2)數(shù)軸上有一點C，且點C滿足AC＝m?BC（其中m＞1），則點C在數(shù)軸上所表示的數(shù)為（用含m的代數(shù)式表示）；(3)點P1為線段AB的中點，點P2為線段BP1的中點，點P3為線段BP2的中點，…依此類推，點Pn為線段BPn﹣1的中點，它們在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為p1，p2，p3，…，pn（n為正整數(shù)）．①請問：當n≥2時，2pn﹣pn﹣1是否恒為定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．②記S＝p1+p2+p3+…+pn﹣1+2pn，求當n＝2022時S的值．【經(jīng)典題型五數(shù)列規(guī)律】【例5】（2022春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示的是中國南宋數(shù)學家楊輝在詳解《九章算法》中出現(xiàn)的三角形狀的數(shù)列，又稱為“楊輝三角”．該三角形中的數(shù)據(jù)排列有著一定的規(guī)律，第21行從左邊數(shù)第19個數(shù)是（

）A．19 B．380 C．210 D．190【變式訓(xùn)練】1．（2021·全國·九年級假期作業(yè)）已知數(shù)列，，，···滿足，其中，若且，則的值為（

）A．2 B．5 C． D．2．（2023秋·山東濱州·七年級?？计谀┲麛?shù)學家斐波那契發(fā)現(xiàn)著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13…，這個數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和．如圖1，現(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的邊長構(gòu)造正方形；如圖2，再分別依次從左到右取2個，3個，4個，5個正方形拼成長方形并標記為①、②、③、④，若按此規(guī)律繼續(xù)作長方形，則序號為⑨的長方形的周長是（

）A．466 B．288 C．233 D．1783．（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D所示的是中國南宋數(shù)學家楊輝在詳解《九章算法》中出現(xiàn)的三角形狀的數(shù)列，又稱為“楊輝三角形”該三角形中的數(shù)據(jù)排列有著一定的規(guī)律，若將其中組斜數(shù)列用字母、，，代替，如圖，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考三模）按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，如數(shù)列：，，，，…，則這個數(shù)列前2023個數(shù)的和為．5．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）有一組數(shù)列：……則第10個是.6．（2022秋·廣東珠?！て吣昙壷楹Ｊ械诰胖袑W?？计谥校┯^察下列數(shù)列，找出規(guī)律后，寫出數(shù)列下一項：，．7．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）材料題：請仔細閱讀以下信息，試著給出你的答案和解答過程這里有三組數(shù)：①，，，；②，，，，；③，，，①②兩組是由有限個數(shù)組成的，③是由無限個數(shù)組成的，它們的共同點：都是按一定次序排成的一列數(shù)，稱之為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，各項依次叫做這個數(shù)列的第項或首項，第項，第項，，第項，一般記成，，這三組數(shù)列都是從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個常數(shù)就叫公差，公差通常用字母表示．(1)如數(shù)列①中數(shù)列②中那么數(shù)列③中______．(2)又如，，______；(3)由此可得到______(4)由（3）的結(jié)論你能否求得此等差數(shù)列，，，第項與第項．8（2021秋·河南周口·七年級統(tǒng)考期中）斐波那契是中世紀意大利數(shù)學家，他在《計算之書》中提出了一個有趣的兔子問題：一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來．如果所有的兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？第1個月和第2個月還是一對；第3個月生下一對小兔子，總數(shù)是2對；第4個月老兔子又生下一對，小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是3對；…，依次類推可以列出下表：經(jīng)過月數(shù)123456789101112總體對數(shù)11235813像表中數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，就是著名的斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列．在現(xiàn)代物理、化學、生物等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用，美國數(shù)學會從1963年起出版了數(shù)學雜志《斐波那契數(shù)列季刊》，用于專門刊載這方面的研究成果．回答下列問題：(1)將上表中空缺的數(shù)據(jù)補充完整；(2)斐波那契數(shù)列前2021個數(shù)中一共有多少個偶數(shù)？(3)如圖，是以斐波那契數(shù)列的每一項的數(shù)為邊長畫6個小正方形組成的一個大長方形．每個小正方形畫出四分之一圓弧，使相鄰的圓弧首尾相連，這些圓弧組成的平滑曲線稱為斐波那契螺旋線．請計算圖中斐波那契螺旋線的長．（π取3.14）【經(jīng)典題型六新定義規(guī)律】【例6】（2023秋·浙江·七年級專題練習）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算可以重復(fù)進行，例如，取時，運算過程如圖．若，則第2023次“F運算”的結(jié)果是（）A．16 B．1 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考一模）現(xiàn)定義一種變換：對于一個由有限個數(shù)組成的序列S0，將其中的每個數(shù)換成該數(shù)在S0中出現(xiàn)的次數(shù)，可得到一個新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通過變換可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以為任意序列，則下面的序列可作為S1的是（）A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3） C．（1，1，2，2，3） D．（1，2，1，1，2）2．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的最大正整數(shù)），并且運算可以重復(fù)進行，例如如圖所示為時的運算過程，若，則第次“F”運算的結(jié)果是（

）A．152 B．49 C．62 D．313．（2023秋·陜西安康·七年級統(tǒng)考期末）定義：若是不為1的有理數(shù)，則稱為的差倒數(shù)．如2的差倒數(shù)為．現(xiàn)有若干個數(shù)，第一個數(shù)記為，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，依此類推，若，則．4．（2023秋·山西朔州·七年級?？计谀┫铝懈魇绞前葱露x的已知“△”運算得到的，觀察下列等式：，，，……根據(jù)這個定義，計算的結(jié)果為．5．（2023秋·廣東惠州·七年級校考階段練習）對于任意非零實數(shù)，，定義運算“”，使下列式子成立：；；；；；則．6．（2023·全國·九年級專題練習）《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數(shù)的特征，在數(shù)的學習過程中，我們會對其中一些具有某種特性的數(shù)進行研究，如學習自然數(shù)時，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等，現(xiàn)在我們來研究另一種特殊的自然數(shù)——“純數(shù)”．定義：對于自然數(shù)n，在計算時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位，則稱這個自然數(shù)n為“純數(shù)”．例如：32是“純數(shù)”，因為計算時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位；23不是“純數(shù)”，因為計算時，個位產(chǎn)生了進位．(1)判斷2022是否是“純數(shù)”？請說明理由；(2)請直接寫出2023到2050之間的“純數(shù)”；不大于100的“純數(shù)”的個數(shù)為______．7．（2023·上?！ち昙壖倨谧鳂I(yè)）在數(shù)的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學習自然數(shù)時，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)——“好數(shù)”．定義：對于三位自然數(shù)n，各位數(shù)字都不為0，且百位數(shù)字與十位數(shù)字之和恰好能被個位數(shù)字整除，則稱這個自然數(shù)n為“好數(shù)”．例如：426是“好數(shù)”．因為4，2，6都不為0，且4＋2＝6，6能被6整除；643不是“好數(shù)”，因為6＋4＝10，10不能被3整除．(1)判斷312，875是否是“好數(shù)”？并說明理由；(2)求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大5的所有“好數(shù)”的個數(shù)，并說明理由．【經(jīng)典題型七規(guī)律性問題綜合】【例7】（2023秋·湖南長沙·七年級校聯(lián)考期末）大于1的正整數(shù)m的三次冪可“分裂”成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，如，，，…若分裂后，其中有一個奇數(shù)是1005，則m的值是（

）A．31 B．32 C．33 D．34【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶南岸·七年級重慶市珊瑚初級中學校?？计谥校┠纤螖?shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將其稱為“楊輝三角”．（a＋b）0＝1（a＋b）1＝a＋b（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5…則（a＋b）10展開式中所有項的系數(shù)和是（

）A．2048 B．1024 C．512 D．2562．（2023秋·四川遂寧·八年級統(tǒng)考期末）“楊輝三角”給出了展開式的系數(shù)規(guī)律（其中n為正整數(shù)，展開式的項按a的次數(shù)降幕排列），它的構(gòu)造規(guī)則是：兩腰上都是數(shù)字1，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個數(shù)之和．例如：展開式的項的系數(shù)1，2，1與“楊輝三角”第三排對應(yīng)：展開式的項的系數(shù)1，3，3，1．與“楊輝三角”第四排對應(yīng)；依此類推……判斷下列說法正確的是（

）①“楊輝三角”第六排數(shù)字依次是：1，5，10，10，5，1；②當時，代數(shù)式的值為；③展開式中所有系數(shù)之和為；④當代數(shù)式的值為1時，或3．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④3．（2023·北京·九年級專題練習）在一次數(shù)學活動課上，李老師將一副撲克牌中的紅桃共張牌挑出，打亂順序隨機發(fā)給了甲、乙、丙三名同學，每人三張牌．已知甲的三張牌數(shù)字之和是，乙的三張牌數(shù)字之和與丙的三張牌數(shù)字之和相同，且乙的三張牌上的數(shù)字都是奇數(shù)．寫出甲的三張牌上的數(shù)字是，丙的三張牌上的數(shù)字是．4．（2023春·重慶渝北·七年級重慶市松樹橋中學校?？茧A段練習）等邊在數(shù)軸上的位置如圖所示，點、對應(yīng)的數(shù)分別為0和，若繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻折，翻轉(zhuǎn)1次后，點所對應(yīng)的數(shù)為1；則翻轉(zhuǎn)次后，點所對應(yīng)的數(shù)是．5．（2023·浙江杭州·?？家荒＃┰谇?+3+32+33+34+35+36+37+38的值時，張紅發(fā)現(xiàn)：從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的3倍，于是她假設(shè)：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①，然后在①式的兩邊都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②，②-①得，3S-S=39-1，即2S=39-1，所以S=．得出答案后，愛動腦筋的張紅想：如果把“3”換成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值？如能求出，其正確答案是．6．（2023春·江蘇·七年級專題練習）桌子上有7張反面向上的紙牌，每次翻轉(zhuǎn)n張（n為正整數(shù)）紙牌，多次操作后能使所有紙牌正面向上嗎？用“+1”、“”分別表示一張紙牌“正面向上”、“反面向上”，將所有牌的對應(yīng)值相加得到總和，我們的目標是將總和從變化為．(1)當時，每翻轉(zhuǎn)1張紙牌，總和的變化量是2或，則最少次操作后所有紙牌全部正面向上；(2)當時，每翻轉(zhuǎn)2張紙牌，總和的變化量是，多次操作后能使所有紙牌全部正面向上嗎？若能，最少需要幾次操作？若不能，簡要說明理由；(3)若要使多次操作后所有紙牌全部正面向上，寫出n的所有可能的值．7．（2023秋·貴州安順·七年級校聯(lián)考期末）閱讀理解題．我們把從開始至的個連續(xù)自然數(shù)的立方和記作，那么有：；；

觀察上面式子的規(guī)律，完成下面各題．(1)猜想出（用表示）．(2)依規(guī)律，直接求的值為．(3)依規(guī)律，的值．(4)依規(guī)律，求的值．

專題07整式的加減探究與表達規(guī)律（七大題型）【題型目錄】【知識梳理】1.解題思維過程：從簡單、局部或特殊情況入手，經(jīng)過提煉、歸納和猜想，探索規(guī)律，獲得結(jié)論．有時候還需要通過類比聯(lián)想才能找到隱含條件．一般有下列幾個類型：①一列數(shù)的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個數(shù)與排列序號之間的關(guān)系．②一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結(jié)規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號之間的關(guān)系．③圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數(shù)或圖形總數(shù)與序號之間的關(guān)系．④圖形變換的規(guī)律：找準循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個循環(huán)變換周期，進而觀察商和余數(shù)．⑤數(shù)形結(jié)合的規(guī)律：觀察前項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結(jié)論．2.常見的數(shù)列規(guī)律：①1，3，5，7，9，…，（為正整數(shù)）．②2，4，6，8，10，…，（為正整數(shù)）．③2，4，8，16，32，…，（為正整數(shù)）．④2，6，12，20，…，（為正整數(shù)）．⑤，，，，，，…，（為正整數(shù)）．⑥特殊數(shù)列：（1）三角形數(shù)：1，3，6，10，15，21，…，．（2）斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個數(shù)開始每一個數(shù)等于與它相鄰的前兩個數(shù)的和．【經(jīng)典題型一數(shù)字排列規(guī)律】【例1】（2023秋·廣東深圳·七年級深圳外國語學校?？计谀┮阎麛?shù)滿足下列條件：，依此類推，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出的值，觀察其數(shù)值的變化規(guī)律，進而求出的值．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，，，，，，，觀察其規(guī)律可得，，，，故選：A．【點睛】本題考查了數(shù)的變化規(guī)律，通過計算前面幾個數(shù)的數(shù)值觀察其規(guī)律是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度適中．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）觀察一組數(shù)據(jù)：1，1，2，4，7，11，16，22，29，…，若記第一個數(shù)為，記第二個數(shù)為，…，記第n個數(shù)為.通過計算，，，…發(fā)現(xiàn)它們有一定的規(guī)律，由此規(guī)律推算的值應(yīng)為（

）A．5152 B．5051 C．4951 D．4852【答案】D【分析】利用差值分別求出數(shù)值，得出，再根據(jù)所有式子相加即可得出答案．【詳解】根據(jù)題意，得（1）（2）（3）（4）（5）……（99）（1）+（2）+…+（99）=即故選：D【點睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）有依次排列的2個整式x，y，將第1個整式乘以2再與第2個整式相加，稱為第一次操作，得到第3個整式；將第2個整式乘以2再與第3個整式相加，稱為第二次操作，得到第4個整式；將第3個整式乘以2再與第4個整式相加，稱為第三次操作，得到第5個整式，……，以此類推，下列三個說法正確的有（

）．①第7個整式為；②第20個整式中x的系數(shù)與y的系數(shù)的差為；③第11個整式和第12個整式中x的所有系數(shù)與y的所有系數(shù)之和等于2048；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】按要求分別列出整式，即可判斷①；由①可知，當是奇數(shù)時，x的系數(shù)與y的系數(shù)大1，當是偶數(shù)時，y的系數(shù)與x的系數(shù)大1，據(jù)此即可判斷②；分別求出部分整式的系數(shù)和，可得第11個整式和第12個整式中x的所有系數(shù)與y的所有系數(shù)之和，即可判斷③，據(jù)此即可得出答案．【詳解】解：第1個整式為，第2個整式為，第3個整式為，第4個整式為，第5個整式為，第6個整式為，第7個整式為，故①正確，符合題意；由①可知，當是奇數(shù)時，x的系數(shù)與y的系數(shù)大1，當是偶數(shù)時，y的系數(shù)與x的系數(shù)大1，∴第20個整式中x的系數(shù)與y的系數(shù)的差為，故②正確，符合題意；第1個整式和第2個整式中x的所有系數(shù)與y的所有系數(shù)的和為2，第3個整式和第4個整式中x的所有系數(shù)與y的所有系數(shù)的和為，第5個整式和第6個整式中x的所有系數(shù)與y的所有系數(shù)的和為，∴第11個整式和第12個整式中x的所有系數(shù)與y的所有系數(shù)之和，故③正確，符合題意，綜上可得：說法正確的為①②③，有3個．故選：D【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律、通過計算，得出整式各項系數(shù)之間的關(guān)系，找到系數(shù)和的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東日照·九年級日照市新營中學?？茧A段練習）我們將如圖所示的兩種排列形式的個數(shù)分別叫做“三角形數(shù)”（如1，3，6，10…）和“正方形數(shù)”（如1，4，9，16…），在不大于2023數(shù)中，設(shè)最大的“三角形數(shù)”為，最大的“正方形數(shù)”為，則的值為（

）A．60 B．70 C．80 D．90【答案】C【分析】由題意知第個“三角形數(shù)”為，第個“正方形數(shù)”為，根據(jù)“三角形數(shù)”、“正方形數(shù)”及在不大于2023數(shù)中尋找出最大的“三角形數(shù)”為，最大的“正方形數(shù)”為，即可得到答案．【詳解】解：由題意可知第個“三角形數(shù)”為，第個“正方形數(shù)”為，當時，；當時，；即最大的“三角形數(shù)”為；當時，；當時，；即最大的“正方形數(shù)”為；，故選：C．【點睛】本題考查圖形與數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得到第個“三角形數(shù)”為，第個“正方形數(shù)”為．4．（2023·福建福州·校考三模）觀察下列式子：；；根據(jù)上述規(guī)律填寫一個正數(shù)，滿足：．【答案】75【分析】利用題中的等式得到（n為正整數(shù)）．【詳解】由題意得：，∵∴，故答案為：．【點睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）觀察下列數(shù)據(jù)：，…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第25個數(shù)據(jù)是．【答案】/【分析】將數(shù)據(jù)改寫為：，，，，，……看出規(guī)律：第奇數(shù)個數(shù)是負數(shù)，偶數(shù)個數(shù)是正數(shù)，第幾個數(shù)分母就是幾，分子是分母的平方加1，由規(guī)律可寫出第25個數(shù)．【詳解】由規(guī)律可知，第25個數(shù)是負數(shù)，分母為25，分子為，所以第25個數(shù)為，故答案為．【點睛】本題考查數(shù)字規(guī)律問題，將原數(shù)據(jù)進行改寫，找出符號和數(shù)字的規(guī)律是關(guān)鍵．6．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考三模）化學中直鏈烷烴的名稱用“碳原子數(shù)+烷”來表示，當碳原子數(shù)為時，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷，丁烷的分子結(jié)構(gòu)式如圖所示，則第7個庚烷分子結(jié)構(gòu)式中“”的個數(shù)是．

【答案】16【分析】根據(jù)題目中的圖形，可以發(fā)現(xiàn)“”的個數(shù)的變化特點，然后即可寫出第7個庚烷分子結(jié)構(gòu)式中“”的個數(shù)．【詳解】解：由圖可得：甲烷分子結(jié)構(gòu)中“”的個數(shù)是：，乙烷分子結(jié)構(gòu)中“”的個數(shù)是：，丙烷分子結(jié)構(gòu)中“”的個數(shù)是：，……庚烷分子結(jié)構(gòu)中“”的個數(shù)是：，故答案為：16．【點睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)“”的個數(shù)的變化特點．7．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）觀察下列等式，將以上三個等式兩邊分別相加得，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：(1)猜想并寫出：______；(2)直接寫出結(jié)果：______；(3)直接寫出結(jié)果：______；(4)計算：．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）觀察題目給出的等式：可得分子為1，分母為兩個相鄰整數(shù)的乘積的分數(shù)可化為這兩個整數(shù)的倒數(shù)之差，即可得解；（2）根據(jù)規(guī)律把各分數(shù)轉(zhuǎn)化，再進行分數(shù)的加減運算即可；（3）先提取公因數(shù)，然后按照前面的運算方法計算即可；（4）先提取公因數(shù)2，然后按照前面的運算方法計算即可．【詳解】（1）解：由題意得，，故答案為：；（2）解：；故答案為：；（3）解：原式；（4）解：原式．【點睛】本題考查探究數(shù)字規(guī)律以及有理數(shù)的運算，利用規(guī)律進行計算是解題的關(guān)鍵．．8．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）找規(guī)律：觀察算式；；；；…(1)按規(guī)律填空；．(2)由上面的規(guī)律計算：（要求：寫出計算過程）【答案】(1)3025；(2)1622600【分析】（1）根據(jù)題干中算式總結(jié)出公式：，根據(jù)規(guī)律計算即可；（2）根據(jù)規(guī)律用前50項減前10項即可；【詳解】（1）該列數(shù)的規(guī)律是：，，，故答案為：3025，；（2）；【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，總結(jié)歸納出規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型二圖形排列規(guī)律】【例2】（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學?？计谥校┯^察下列圖形，其中第①個圖形由個“△”組成，第②個圖形由個“△”組成，第③個圖形由個“△”組成，…，照此規(guī)律下去，則第⑧個圖形“△”的個數(shù)一共是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知：第①個圖形中“△”的個數(shù)為，第②個圖形中“△”的個數(shù)為，第③個圖形中“△”的個數(shù)為，由此可求得第個圖形中“△”的個數(shù)，從而可求出最后結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意可知：第①個圖形中“△”的個數(shù)為，第②個圖形中“△”的個數(shù)為，第③個圖形中“△”的個數(shù)為，，第個圖形中“△”的個數(shù)為，第⑧個圖形中“△”的個數(shù)為，故選：．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出第個圖形中“△”的個數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（2023·重慶·九年級專題練習）圖①叫做一個基本的“勾股樹”，也叫做第一代勾股樹．讓圖①中兩個小正方形各自長出一個新的勾股樹（如圖②），叫做第二代勾股樹．從第二代勾股樹出發(fā)，又可以長出第三代勾股樹（如圖③）．這樣一生二、二生四、四生八，繼續(xù)生長下去，則第四代勾股樹圖形中正方形的個數(shù)為（）A．15 B．23 C．27 D．31【答案】D【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第四代勾股樹中正方形的個數(shù)．【詳解】解：第一代勾股樹中正方形有(個)，第二代勾股樹中正方形有(個)，第三代勾股樹中正方形有(個)，第四代勾股樹中正方形有(個)，故選：D．【點睛】本題考查圖形中的規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，得到圖形變化的規(guī)律．2．（2023·重慶·九年級專題練習）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成．如圖①，當正方形地磚只有1塊時，等腰直角三角形地磚有6塊；如圖②，當正方形地磚有2塊時，等腰直角三角形地磚有8塊；如圖③，當正方形地磚有3塊時，等腰直角三角形地磚有10塊；…；以此類推，當人行道有20塊正方形地磚時，等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（

）A．38 B．40 C．42 D．44【答案】D【分析】探究規(guī)律，利用規(guī)律，構(gòu)建方程求解．【詳解】解：觀察圖①可知等腰直角三角形地磚：，觀察圖②可知等腰直角三角形地磚：，觀察圖③可知等腰直角三角形地磚：，歸納得有塊正方形地磚時，等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為，∴當人行道有塊正方形地磚時，等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為，故選D．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，探究規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．3．（2023春·重慶南岸·九年級重慶第二外國語學校?？茧A段練習）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第⑩個圖形中字母“H”的個數(shù)是（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】D【分析】列舉每個圖形中H和C的個數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：∵第個圖中H的個數(shù)為4，第個圖中H的個數(shù)為，第個圖中H的個數(shù)為，∴第n個圖中H的個數(shù)為，∴第⑩個圖形中字母“H”的個數(shù)是，故選：D．【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律：每個圖形比上一個圖形多2個H是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇淮安·?？家荒＃┤鐖D，觀察各圖中小圓點的擺放規(guī)律，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放下去，則第個圖形中小圓點的個數(shù)為．【答案】144【分析】根據(jù)題目中各個圖形的小黑點的個數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從而可以得到第個圖形中小圓點的個數(shù)．【詳解】解：由題意可得，第一個圖形的小圓點的個數(shù)為：，第二個圖形的小圓點的個數(shù)為：，第三個圖形的小圓點的個數(shù)為：，第十個圖形的小圓點的個數(shù)為：，故答案為：．【點睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中圖形的小圓點的變化規(guī)律．5．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，下列是一組有規(guī)律的圖案，它們由邊長相同的小正方形組成，按照這樣的規(guī)律，第n個圖案中涂有陰影的小正方形的數(shù)量是個．（用含有n的式子表示）?【答案】【分析】通過分析圖案個數(shù)與涂有陰影的小正方形的個數(shù)之間的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：由圖形可知：第1個圖案有涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：5，第2個圖案有涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：，第3個圖案有涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：，…，∴第n個圖案有涂有陰影的小正方形的個數(shù)為：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了圖形與數(shù)字的變化規(guī)律，列代數(shù)式，通過分析找到圖案個數(shù)與涂有陰影的小正方形的個數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）某公園內(nèi)有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成．如圖表示此步道的地磚排列方式，其中步道上總共使用84個三角形地磚，那么連續(xù)排列的正方形地磚總共有個．【答案】40【分析】根據(jù)中間一個正方形對應(yīng)兩個等腰直角三角形，從而得出正方形地磚的個數(shù)．【詳解】解：步道上總共使用連續(xù)排列的正方形地磚：(個)．故答案為∶40【點睛】本題考查了等腰直角三角形：兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．也考查了規(guī)律型問題的解決方法，探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．7．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市中實學校?？计谥校⒄叫危ㄈ鐖D1）作如下劃分：第1次劃分：分別連接正方形對邊的中點（如圖2），得線段和，它們交于點M，此時圖2中共有5個正方形；第2次劃分：將圖2左上角正方形再作劃分，得圖3，則圖3中共有9個正方形；(1)若每次都把左上角的正方形一次劃分下去，則第100次劃分后，圖中共有______個正方形；(2)繼續(xù)劃分下去，第幾次劃分后能有805個正方形?寫出計算過程．(3)能否將正方形性劃分成有2018個正方形的圖形?如果能，請算出是第幾次劃分，如果不能，需說明理由．(4)如果設(shè)原正方形的邊長為1，通過不斷地分割該面積為1的正方形，并把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，可以很容易得到一些計算結(jié)果，試著探究求出下面表達式的結(jié)果吧．計算（直接寫出答案即可）【答案】(1)401；(2)201，過程見解析；(3)不能，理由見解析；(4)【分析】（1）由第一次可得5個正方形，第二次可得9個正方形，第三次可得13個正方形，可得規(guī)律：第n次可得個正方形，繼而求得答案；（2）由規(guī)律可得方程，繼而求得答案；（3）由規(guī)律可得，又由n為整數(shù)，可求得答案；（4）此題可看作上面圖形的面積問題，即可求得答案．【詳解】（1）∵第一次可得5個正方形，第二次可得9個正方形，第三次可得13個正方形，∴第n次可得個正方形，∴第100次可得正方形：（個）；故答案為：401；（2）根據(jù)題意得：，解得：；∴第201次劃分后能有805個正方形；（3）不能，∵，解得：，∴n不是整數(shù)，∴不能將正方形劃分成有2018個正方形的圖形；（4）結(jié)合題意得：．【點睛】此題考查了規(guī)律問題．注意根據(jù)題意得到規(guī)律：第n次可得個正方形是解此題的關(guān)鍵．8．（2023春·廣東河源·七年級?？奸_學考試）背景閱讀：意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：，，，，，，，，其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩上數(shù)的和．為了紀念這個著名的發(fā)現(xiàn)，人們將這組數(shù)命名為斐波那契數(shù)列．實踐操作：

(1)寫出斐波那契數(shù)列的前個數(shù)；(2)斐波那契數(shù)列的前個數(shù)中，有

個奇數(shù)？(3)現(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的邊長構(gòu)造如圖的正方形系列：再分別依次從左到右取個、個、個、個，正方形拼成如圖長方形并記為①，②，③，④，⑤．（?。┩ㄟ^計算相應(yīng)長方形的周長填寫表（不計拼出的長方形內(nèi)部的線段）；序號①②③④⑤……周長610

……（ⅱ）若按此規(guī)律繼續(xù)拼成長方形，求序號為⑩的長方形的長與寬．【答案】(1)，，，，，，，，，(2)(3)（?。?；；；（ⅱ）長為，寬為【分析】（1）斐波那契數(shù)列的定義即可求解；（2）分析婓波那契數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)每三項都是前兩個為奇第三個為偶，結(jié)合2017是3的多少倍余幾，即可得出結(jié)論；（3）①根據(jù)圖形特性，可以找出周長為最大的正方形的周長+小一號的正方形的兩條邊，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；②根據(jù)（1）中結(jié)果及規(guī)律即可得到序號為⑩的長方形長和寬．【詳解】（1）寫出斐波那契數(shù)列的前10個數(shù)是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55（2）奇偶特點：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶……，3個一周期.奇數(shù)：（個），故答案為：；（3）（i）通過計算相對應(yīng)長方形的周長填寫表（不計拼出的長方形內(nèi)部的線段）序號為①的長方形的周長為；序號為②的長方形的周長為；序號為③的長方形的周長為；序號為④的長方形的周長為；序號為⑤的長方形的周長為；序號①②③④⑤……周長610

16

26

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……（ii）由（1）得，第11個數(shù)為，第10個長方形的長為：；寬為：．【點睛】本題主要考查規(guī)律型—數(shù)字的變換類，根據(jù)已知找出正確的規(guī)律是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典題型三圖形面積類規(guī)律】【例3】（2023秋·山東聊城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個正方形紙片分割成四個面積相等的小正方形紙片，然后將其中一個小正方形紙片再分割成四個面積相等的小正方形紙片，如此分割下去．第次分割后，正方形紙片共有多少塊（用含的代數(shù)式表示）？（）A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形規(guī)律，得出計算方法，計算結(jié)果．【詳解】解：第一次有個，第二次有，第三次有，……以此類推，第次有．故選：．【點睛】首先至少正確計算三個特殊數(shù)據(jù)，然后進一步發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的規(guī)律，進行計算即可．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）如圖，將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個圖形，圖形①面積是正方形紙片面積的，圖形②面積是圖形①面積的2倍的，圖形③面積是圖形②面積的2倍的，……，圖形⑥面積是圖形⑤面積的2倍的，圖形⑦面積是圖形⑥面積的2倍．計算的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得圖形①面積是，圖形②面積是，圖形③面積是，圖形④面積是圖形⑤面積是，圖形⑥面積是，圖形⑦面積是．從而得到的面積等于①②③④⑤⑥的面積之和，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：圖形①面積是，圖形②面積是，圖形③面積是，圖形④面積是圖形⑤面積是，圖形⑥面積是，圖形⑦面積是．∴的面積等于①②③④⑤⑥的面積之和，∴．故選：A【點睛】本題考查了圖形的變化以及有理數(shù)的混合運算，數(shù)形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．2．（2023春·四川達州·七年級四川省萬源中學校考階段練習）如圖，的面積為1．第一次操作：分別延長，，至點，，，使，，，順次連接，，，得到△．第二次操作：分別延長，，至點，，；使，，，順次連接，，，得到△，按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2021，最少經(jīng)過次操作．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)三角形的面積公式可知，若兩個三角形等底同高，則它們面積相等，從而推出，，進而得到，再以此類推進行求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示：，，，，，，同理：，，，同理可得，第二次操作后，第三次操作后的面積為，第四次操作后的面積為，按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2021，至少要經(jīng)過4次操作，故選：C．【點睛】本題考查三角形面積相關(guān)的規(guī)律探究，解答此題的關(guān)鍵是找出相鄰兩次操作之間三角形面積的關(guān)系，再根據(jù)此規(guī)律求解即可．3．（2023·廣東江門·廣東省江門市實驗中學?？家荒＃┤鐖D，將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，部分①是邊長為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類推，可求得陰影部分的面積是，受此啟發(fā)，的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意和圖形中的數(shù)據(jù)，可以得到陰影部分的面積，并計算出所求式子的值．【詳解】解：∵部分①是邊長為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，∴陰影部分的面積是，∴．故答案為：．【點睛】本題考查圖形的變化類，根據(jù)圖形的面積關(guān)系，列出等式，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．4．（2023秋·全國·七年級專題練習）一個大長方形被分成8個小長方形，其中有5個小長方形的面積如圖中的數(shù)字所示，分析所缺的數(shù)，則這個大長方形的面積為．【答案】100【分析】由長方形的面積=長×寬，可知等寬的兩個長方形面積的比等于長的比，根據(jù)這個等量關(guān)系進行計算即可得．【詳解】解：根據(jù)長方形的性質(zhì)，第二塊面積為：，第四塊面積為：，第七塊面積為：，大長方形的面積為：，故答案為：100．【點睛】本題考查了長方形的面積公式的運用，解題的關(guān)鍵是找到等寬的兩個長方形，根據(jù)面積的比等于長的比進行求解．5．（2023春·廣東梅州·七年級?？奸_學考試）在某多媒體電子雜志的某一期上刊登了“正方形雪花圖案的形成”的演示案例：作一個正方形，設(shè)每邊長為，將每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為a的小正方形，得到圖形如圖（2）所示，稱為第一次變化，再對圖（2）的每個邊做相同的變化，得到圖形如圖（3），稱為第二次變化．如此連續(xù)作幾次，便可得到一個絢麗多彩的雪花圖案．如不斷發(fā)展下去到第2018次變化時，圖形的面積是否會變化，（填寫“會”或者“不會”），圖形的周長為．【答案】不會【分析】突出和凹進部分相等，所以面積不會變化．第一個周長是16a，第一次周邊變化后32a，第二次變化后64a，所以第n次變化是．【詳解】解：觀察圖形可知，突出和凹進部分相等，所以面積不會變化；∵正方形的邊長為，∴正方形的周長為，觀察圖形，可得正方形每進行一次變化，周長變?yōu)樵瓉淼膬杀?，∴第一次變化后的圖形的周長為：32a=，第二次變化后的圖形的周長為：64a=，……第n次變化后圖形的周長為：．故答案為：不會；．【點睛】本題考查了圖形的規(guī)律變化，觀察圖形得到后一個圖形的周長是前一個圖形周長兩倍是解決問題的關(guān)鍵．6．（2023春·四川自貢·七年級自貢市第一中學?？茧A段練習）我們把如圖1所示的菱形稱為基本圖形，將此基本圖形不斷復(fù)制并平移，使得相鄰兩個基本圖形的一個頂點與對稱中心重合，得到的所有菱形都稱為基本圖形的特征圖形，顯然圖2中有3個特征圖形．（1）觀察以上圖形并完成如表：根據(jù)表中規(guī)律猜想，圖n（n≥2）中特征圖形的個數(shù)為．（用含n的式子表示）圖形名稱基本圖形的個數(shù)特征圖形的個數(shù)圖111圖223圖337圖44………………（2）若基本圖形的面積為2，則圖2中小特征圖形的面積是；圖2020中所有特征圖形的面積之和為．【答案】（1）4n﹣5．（2），．【分析】（1）根據(jù)從第3個圖形開始，每多一個基本圖形就會多出4個菱形解答即可．（2）由圖2可知基本圖形面積應(yīng)為2個菱形的面積-重復(fù)的菱形面積，根據(jù)圖形的特征解決問題即可．【詳解】解：（1）由題意可知，圖③中菱形的個數(shù)7＝3+4×（3﹣2），圖④中，菱形的個數(shù)為3+4×（4﹣2）＝11，∵當n≥3時，每多一個基本圖形就會多出4個菱形，∴圖（n）中，菱形的個數(shù)為3+4（n﹣2）＝4n﹣5，故答案為：4n﹣5．（2）如圖2中，圖形的面積＝2×2﹣×2＝，圖2020中所有特征圖形的面積之和為＝2020×2﹣2019××2＝，故答案為，．【點睛】本題考查平移設(shè)計圖案，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．7．（2023秋·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形的面積均為1第1個等式：第2個等式：第3個等式：____________……據(jù)此規(guī)律：(1)請寫出第3個等式：___；(2)猜想第n個等式為___（用含n的等式表示）；(3)已知如上圖所示的一個草垛的最底端有2020支小正方形草束，則這堆草垛共有多少支草束？【答案】(1)(2)(3)1021110支【分析】（1）根據(jù)所給的等式左邊和右邊的形式進行解答即可；（2）分析所給的等式，等式左邊是偶數(shù)之和，右邊是連續(xù)整數(shù)乘積，得出結(jié)果；（3）利用（2）中的規(guī)律進行求解即可．【詳解】（1）解：（1）由題意得：第3個等式為：，故答案為：；（2）（2）∵第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，...，∴第n個等式：，故答案為：（n＋1）（n＋2）；（3）（3）∵草垛的最底端有2020支小正方形草束，∴．答：這堆草垛中共有1021110支草束．【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，分析等式規(guī)律題時，觀察等式的兩邊的特征，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形分析出存在的規(guī)律．【經(jīng)典題型四動點類規(guī)律】【例4】（2022秋·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示，數(shù)軸上O，A兩點的距離為8，一動點P從點A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到的中點處，第2次從點跳動到的中點處，第3次從點跳動到的中點處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點，，，…，（，n是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2023次跳動后的點與O點的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得第一次跳動到的中點處，即在離原點的長度為，第二次從處跳動到處，離原點的長度為，可得跳動n次離原點的長度為，代入計算即可；【詳解】解：由題意得，∵第一次跳動到的中點處時，∴，同理第二次從處跳動到處時離原點的長度為，第二次從處跳動到處時離原點的長度為，…∴跳動n次離原點的長度為，∴2023次跳動后的點與點的距離是；故選D．【點睛】本題主要考查了圖形類的規(guī)律，數(shù)軸上兩點的距離，，準確分析計算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江臺州·?？级＃┤鐖D所示，動點P從第一個數(shù)0的位置出發(fā)，每次跳動一個單位長度，第一次跳動一個單位長度到達數(shù)1的位置，第二次跳動一個單位長度到達數(shù)2的位置，第三次跳動一個單位長度到達數(shù)3的位置，第四次跳動一個單位長度到達數(shù)4的位置，…，依此規(guī)律跳動下去，點P從0跳動6次到達的位置，點P從0跳動21次到達的位置，…，點在一條直線上，則點P從0跳動（

）次可到達的位置．A．887 B．903 C．90 D．1024【答案】B【分析】由題意得：從點P從0跳動個單位長度，到達，跳動個單位長度，到達，可以得出，跳動次數(shù)為從1開始連續(xù)正整數(shù)的和，且最后一個加數(shù)為，進而得到答案即可；【詳解】解：由題意得：從點P從0跳動個單位長度，到達，跳動個單位長度，到達，由此可得：跳動次數(shù)為從1開始連續(xù)的正整數(shù)的和，最后一個加數(shù)為，∵，∴點從跳到跳動了：，故選：B．【點睛】本題考查圖形中的規(guī)律探究．根據(jù)圖形，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·全國·七年級專題練習）如圖所示，甲、乙兩動點分別從正方形的頂點，同時沿正方形的邊開始移動，甲點依順時針方向環(huán)行，乙點依逆時針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們第2021次相遇在邊（

）上．A． B． C． D．【答案】D【分析】此題利用行程問題中的相遇問題，根據(jù)乙的速度是甲的速度的4倍，求得每一次相遇的地點，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周長的；從第2次相遇起，每次甲走了正方形周長的，從第2次相遇起，5次一個循環(huán)．因此可得：從開始出發(fā)起，每次相遇的位置依次是：，，點，，；依次循環(huán)．故它們第2021次相遇位置在邊上．故選：D．【點睛】本題主要考查了規(guī)律型的題目，對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．3．（2023秋·四川廣安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，動點M從點A出發(fā)以的速度沿著正方形的邊順時針運動，同時動點N也從點A出發(fā)以的速度沿著正方形的邊逆時針運動，1s后點M，N都運動到點D，記為第1次相遇，繼續(xù)進行下去，則第2023次相遇在點處．【答案】B【分析】M和N相遇一次所用的時間為1秒，即按M路線每一次相遇正好前進一個邊長，到達下一個頂點，再由，可求出結(jié)果．【詳解】解：M和N相遇一次的時間為1秒，即每一次相遇M正好前進一個邊長，到達下一個頂點，∵，∴第2023次相遇在B處．故答案為：B．【點睛】此題考查了實際問題中周期性規(guī)律歸納能力，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)它們相遇點周期性循環(huán)出現(xiàn)的規(guī)律．4．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）數(shù)軸上兩點的距離為4，一動點從點出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到的中點處，第2次從點跳動到的中點處，第3次從點跳動到的中點處．按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點（，是整數(shù)）處，那么線段的長度為（，是整數(shù)）．【答案】【分析】根據(jù)題意，得第一次跳動到OA的中點A1處，即在離原點的長度為×4，第二次從A1點跳動到A2處，即在離原點的長度為（）2×4，則跳動n次后，即跳到了離原點的長度為（）n×4=，再根據(jù)線段的和差關(guān)系可得線段AnA的長度．【詳解】由于OA=4，所有第一次跳動到OA的中點A1處時，OA1=OA=×4=2，同理第二次從A1點跳動到A2處，離原點的（）2×4處，同理跳動n次后，離原點的長度為（）n×4=，故線段AnA的長度為4-（n≥3，n是整數(shù)）．故答案為4-．【點睛】考查了兩點間的距離，本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．本題注意根據(jù)題意表示出各個點跳動的規(guī)律．5．（2018秋·浙江紹興·七年級紹興市越城區(qū)孫端中學階段練習）點O在直線AB上，點A1，A2，A3，……在射線OA上，點B1，B2，B3，……在射線OB上，圖中的每一個實線段和虛線段的長均為1個單位長度．一個動點M從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度按如圖所示的箭頭方向沿著實線段和以點O為圓心的半圓勻速運動，即從OA1B1B2A2……按此規(guī)律，則動點M到達A10點處所需時間為秒．（結(jié)果保留π）【答案】10+55π

．【分析】觀察動點M從O點出發(fā)到A4點，得到點M在直線AB上運動了4個單位長度，在以O(shè)為圓心的半圓運動了（π?1+π?2+π?3+π?4）單位長度，然后可得到動點M到達A10點處運動的單位長度=4×2.5+（π?1+π?2+…+π?10），然后除以速度即可得到動點M到達A10點處所需時間．【詳解】動點M從O點出發(fā)到A4點，在直線AB上運動了4個單位長度，在以O(shè)為圓心的半圓運動了（π?1+π?2+π?3+π?4）單位長度，∵10=4×2.5，∴動點M到達A10點處運動的單位長度=4×2.5+（π?1+π?2+…+π?10）=10+55π；∴動點M到達A10點處運動所需時間=（10+55π）÷1=（10+55π）秒，故答案為10+55π.【點睛】本題考查了規(guī)律型——圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是通過特殊圖象找到圖象變化，歸納總結(jié)出規(guī)律，再利用規(guī)律解決問題．也考查了圓的周長公式．6．（2022秋·貴州貴陽·七年級校聯(lián)考期中）已知在數(shù)軸上，有一動點Q從原點O出發(fā)，在數(shù)軸上以每秒鐘2個單位長度的速度來回移動，其移動方式是先向右移動1個單位長度，再向左移動2個單位長度，又向右移動3個單位長度，再向左移動4個單位長度，又向右移動5個單位長度……(1)5秒鐘后動點Q所處的位置表示的數(shù)是______；(2)如果在數(shù)軸上還有一個定點A，且A與原點O相距20個單位長度，問：動點Q從原點出發(fā)，可能與點A重合嗎？若能，則第一次與點A重合需多長時間？若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)能，分鐘或分鐘【分析】（1）先找出點Q每次移動的距離的規(guī)律、每次移動后所處位置對應(yīng)的數(shù)出現(xiàn)的規(guī)律，計算出移動的次數(shù)和移動5秒后點Q的位置對應(yīng)的數(shù)；（2）分兩種情況討論：當點A在原點右邊時，當點A在原點左邊時，即可求解．【詳解】（1）解：由題意可知，點Q每次移動的距離（單位長度）的規(guī)律是：1，2，3，4，5，…，點Q每次移動后所處位置對應(yīng)的數(shù)出現(xiàn)的規(guī)律是：，…，設(shè)點Q第n次移動后所處位置對應(yīng)的數(shù)為x，當n為奇數(shù)時，則x為正數(shù)，且，當n為偶數(shù)時，則x為負數(shù)，且，∵（單位長度），（單位長度），∴第5次移動完對用的數(shù)是，∴，∴5秒后點Q的位置對應(yīng)的數(shù)是．故答案為：．（2）解：①當點A在原點右邊時，設(shè)需要第n次到達點A，則，解得∴動點Q走過的路程是，∴第一次與點A重合需時間秒分鐘，②當點A在原點左邊時，設(shè)需要第n次到達點A，則，解得，∴動點Q走過的路程是，∴第一次與點A重合需時間秒分鐘；綜上所述，第一次與點A重合需時間為分鐘或分鐘．【點睛】本題考查數(shù)軸和數(shù)字類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握用數(shù)軸表示有理數(shù)，注意要分情況討論求解，弄清楚跳到點A處的次數(shù)的計算方法．7．（2022秋·河南洛陽·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，數(shù)軸上有一動點Q從A出發(fā)，沿正方向移動．(1)當AQ＝2QB時，則Q點在數(shù)軸上所表示的數(shù)為；(2)數(shù)軸上有一點C，且點C滿足AC＝m?BC（其中m＞1），則點C在數(shù)軸上所表示的數(shù)為（用含m的代數(shù)式表示）；(3)點P1為線段AB的中點，點P2為線段BP1的中點，點P3為線段BP2的中點，…依此類推，點Pn為線段BPn﹣1的中點，它們在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為p1，p2，p3，…，pn（n為正整數(shù)）．①請問：當n≥2時，2pn﹣pn﹣1是否恒為定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．②記S＝p1+p2+p3+…+pn﹣1+2pn，求當n＝2022時S的值．【答案】(1)2或；(2)或；(3)①2pn﹣pn﹣1為定值為1；②2022【分析】（1）分情況討論：根據(jù)圖形中AQ與BQ的關(guān)系列等式可得結(jié)論；（2）同理根據(jù)（1）分情況討論，由圖形AC+BC=1或AC-BC=1，可得結(jié)論；（3）①根據(jù)中點的定義依次得：P1表示的數(shù)為，P2表示的數(shù)為，P3表示的數(shù)為，…，Pn-1表示的數(shù)為，Pn表示的數(shù)為，代入計算2pn-pn-1的值可得結(jié)論；②由①得：當n=2022時，2P2022-P2018=1，2P2022=P2018+1，同理得：2P2018=P2017+1，2P2017=P2016+1，2P2016=P2015+1，…，2P2=P1+1，代入計算可得結(jié)論．【詳解】（1）分兩種情況：①當Q在A、B之間時，如圖1，∵AQ＝2QB，AQ+BQ＝1，∴AQ，即Q點在數(shù)軸上所表示的數(shù)為；②當Q在點B的右邊時，如圖2，∵AQ﹣BQ＝1，AQ＝2BQ，∴AQAQ＝1，∴AQ＝2，即Q點在數(shù)軸上所表示的數(shù)為2，綜上，Q點在數(shù)軸上所表示的數(shù)為2或；故答案為：2或；（2）∵AC＝m?BC，∴BC，分兩種情況：①當C在A、B之間時，如圖3，∵AC+BC＝1，∴AC1，AC，即C點在數(shù)軸上所表示的數(shù)為；②當C在點B的右邊時，如圖4，∵AC﹣BC＝1，∴AC1，∴AC，即C點在數(shù)軸上所表示的數(shù)為，綜上，C點在數(shù)軸上所表示的數(shù)為或；故答案為：或；（3）①由題意得：P1表示的數(shù)為，P2表示的數(shù)為，P3表示的數(shù)為，…，Pn﹣1表示的數(shù)為，Pn表示的數(shù)為，∴當n≥2時，2pn﹣pn﹣1＝21，則當n≥2時，2pn﹣pn﹣1為定值為1；②由①得：當n＝2022時，2P2022﹣P2018＝1，2P2022＝P2018+1，同理得：2P2018＝P2017+1，2P2017＝P2016+1，2P2016＝P2015+1，…，2P2＝P1+1，∴S＝p1+p2+p3+…+p2018+2p2022，＝p1+p2+p3+…+p2018+P2018+1，＝p1+p2+p3+…+2p2018+1，＝p1+p2+p3+…+2p2017+2，＝p1+2p2+2017，＝2P1+2018，＝2022【點睛】此題考查了數(shù)軸上兩點的距離及動點運動問題，利用數(shù)軸上兩點之間的距離以及點的平移規(guī)律解決問題，注意分類探討兩點之間的距離與兩點之間的位置關(guān)系．【經(jīng)典題型五數(shù)列規(guī)律】【例5】（2022春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示的是中國南宋數(shù)學家楊輝在詳解《九章算法》中出現(xiàn)的三角形狀的數(shù)列，又稱為“楊輝三角”．該三角形中的數(shù)據(jù)排列有著一定的規(guī)律，第21行從左邊數(shù)第19個數(shù)是（

）A．19 B．380 C．210 D．190【答案】D【分析】第21行從左邊數(shù)第19個數(shù)即為從右邊數(shù)第3個數(shù)，然后根據(jù)圖形解答即可．【詳解】解：第21行從左邊數(shù)第19個數(shù)即為從右邊數(shù)第三個第3行右邊數(shù)第三個數(shù)為1，即第4行右邊數(shù)第三個數(shù)為3，即第5行右邊數(shù)第三個數(shù)為6，即第6行右邊數(shù)第三個數(shù)為10，即……第21行右邊數(shù)第三個數(shù)為21，即．故選D．【點睛】本題主要考查了圖形的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第21行從左邊數(shù)第19個數(shù)即為從右邊數(shù)地第3個數(shù)成為解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·全國·九年級假期作業(yè)）已知數(shù)列，，，···滿足，其中，若且，則的值為（

）A．2 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題中規(guī)律依次求出、、······，然后可以發(fā)現(xiàn)5個數(shù)為一組循環(huán)，因此根據(jù)即可求解．【詳解】由，則，，，，與相同．故每5個數(shù)為一組循環(huán)出現(xiàn)，，第2019個數(shù)與第4個數(shù)同，故選C．【點睛】本題考查考了整式的規(guī)律，實數(shù)的規(guī)律問題，此類題的關(guān)鍵是要求出前幾個數(shù)總結(jié)規(guī)律．2．（2023秋·山東濱州·七年級?？计谀┲麛?shù)學家斐波那契發(fā)現(xiàn)著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13…，這個數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和．如圖1，現(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的邊長構(gòu)造正方形；如圖2，再分別依次從左到右取2個，3個，4個，5個正方形拼成長方形并標記為①、②、③、④，若按此規(guī)律繼續(xù)作長方形，則序號為⑨的長方形的周長是（

）A．466 B．288 C．233 D．178【答案】B【分析】根據(jù)給出的前4個圖形找出周長的規(guī)律，然后利用規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：由題意知，裴波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……序號為①的長方形的周長為，序號為②的長方形的周長為，序號為③的長方形的周長為，序號為④的長方形的周長為，觀察可知，序號為n的長方形的周長為裴波那契數(shù)列第和個數(shù)之和的2倍，裴波那契數(shù)列第10個數(shù)為55，第11個數(shù)為89，因此序號為⑨的長方形的周長是，故選B．【點睛】本題為規(guī)律探索類試題，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D所示的是中國南宋數(shù)學家楊輝在詳解《九章算法》中出現(xiàn)的三角形狀的數(shù)列，又稱為“楊輝三角形”該三角形中的數(shù)據(jù)排列有著一定的規(guī)律，若將其中組斜數(shù)列用字母、，，代替，如圖，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和圖形中的數(shù)據(jù)，可知，從而可以求得所求式子的值，本題得以解決．【詳解】解：，，，，，，則故選：B．【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形的變化尋找規(guī)律．4．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考三模）按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，如數(shù)列：，，，，…，則這個數(shù)列前2023個數(shù)的和為．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列得出第n個數(shù)為，據(jù)此可得前2023個數(shù)的和為，再用裂項求和計算可得．【詳解】由數(shù)列知：第n個數(shù)為，則前2023個數(shù)的和為，故答案為：．【點睛】本題考查了規(guī)律題、有理數(shù)的加減混合運算等，熟練掌握有理數(shù)混合運算的法則以及得出第n個數(shù)為是解題的關(guān)鍵．5．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）有一組數(shù)列：……則第10個是.【答案】【分析】通過觀察可得“分數(shù)的分子是從1開始的連續(xù)自然數(shù)，分母是比分子的平方數(shù)大1的數(shù)，并且第奇數(shù)個數(shù)是負數(shù)，偶數(shù)個數(shù)是正數(shù)”據(jù)此分析即可解答．【詳解】解：∵，，，，，，…，且第奇數(shù)個數(shù)是負數(shù)，偶數(shù)個數(shù)是正數(shù)．∴第10個數(shù)是．故答案為：．【點睛