人教版數(shù)學(xué)九年級上冊22.3.2　二次函數(shù)與商品利潤問題 教案

人教版數(shù)學(xué)九年級上冊22.3.2二次函數(shù)與商品利潤問題教案學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容人教版數(shù)學(xué)九年級上冊第22.3.2節(jié)“二次函數(shù)與商品利潤問題”教案，主要內(nèi)容包括以下幾個方面：

1.理解二次函數(shù)的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）。

2.掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，包括開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等。

3.學(xué)會利用二次函數(shù)解決實際問題，尤其是商品利潤問題。

4.能夠運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)分析商品利潤的最大化或最小化問題。

5.熟練運(yùn)用二次函數(shù)解決實際生活中的利潤問題，提高解決實際問題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.邏輯推理：通過學(xué)習(xí)二次函數(shù)的一般形式和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生從具體實例中抽象出二次函數(shù)模型的能力，提高學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。

2.數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)解決實際問題的能力，學(xué)會建立二次函數(shù)模型，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

3.數(shù)據(jù)分析：通過分析二次函數(shù)圖象和實際問題中的數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)據(jù)中提取有價值信息的能力，提高學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)公式和性質(zhì)進(jìn)行計算和解決問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-二次函數(shù)的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）

-二次函數(shù)的性質(zhì)，包括開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等

-利用二次函數(shù)解決商品利潤問題

-運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)分析商品利潤的最大化或最小化問題

-熟練運(yùn)用二次函數(shù)解決實際生活中的利潤問題

2.教學(xué)難點(diǎn)

-理解二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)之間的關(guān)系：開口方向由a的符號決定，對稱軸為x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,c-b^2/4a)

-掌握利潤問題的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建：利潤=銷售額-成本，成本包括固定成本和變動成本

-運(yùn)用二次函數(shù)解決實際問題時，如何正確轉(zhuǎn)化問題為二次函數(shù)模型并應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)求解

-在實際問題中，如何判斷二次函數(shù)的最大化或最小化問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解最優(yōu)解

舉例說明：

-教學(xué)重點(diǎn)舉例：通過實際案例，讓學(xué)生繪制二次函數(shù)圖象，并分析開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，加深對二次函數(shù)性質(zhì)的理解。

-教學(xué)難點(diǎn)舉例：給出一個商品銷售問題，要求學(xué)生構(gòu)建二次函數(shù)模型，并求解最大利潤點(diǎn)。例如，某商品售價為每件P元，固定成本為F元，銷售x件，總銷售額為R=Px，總成本為C=F+Gx（G為每件商品的變動成本），利潤為L=R-C。將此問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型，并利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大利潤點(diǎn)。教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體投影儀、白板、教學(xué)黑板、粉筆、教案及教學(xué)課件、數(shù)學(xué)教科書、練習(xí)冊。

2.課程平臺：無需特定課程平臺，適用于傳統(tǒng)教室教學(xué)環(huán)境。

3.信息化資源：互聯(lián)網(wǎng)訪問權(quán)限（用于查找相關(guān)教學(xué)案例和實際問題）、數(shù)學(xué)軟件或圖形計算器（用于繪制二次函數(shù)圖象和分析）。

4.教學(xué)手段：小組討論、合作學(xué)習(xí)、問題解決、案例分析、數(shù)學(xué)建模、課堂講解、互動提問、練習(xí)與反饋。教學(xué)實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：提供本節(jié)課的教學(xué)課件和預(yù)習(xí)問題，要求學(xué)生預(yù)習(xí)二次函數(shù)的一般形式和性質(zhì)。

-設(shè)計預(yù)習(xí)問題：提出問題如“二次函數(shù)的圖象如何判斷開口方向？”，“頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸有何關(guān)系？”等。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過在線平臺收集學(xué)生的預(yù)習(xí)筆記和問題，了解學(xué)生的預(yù)習(xí)情況。

學(xué)生活動：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生獨(dú)立閱讀教科書和提供的課件，理解二次函數(shù)的基本概念。

-思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生針對問題進(jìn)行思考，嘗試自己解答，并記錄下疑問。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生在平臺上提交預(yù)習(xí)筆記和問題，與同學(xué)分享學(xué)習(xí)成果。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生獨(dú)立完成預(yù)習(xí)任務(wù)，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

-信息技術(shù)手段：在線平臺和課件資源，促進(jìn)學(xué)生之間的交流和信息共享。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前熟悉本節(jié)課的核心概念，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動：

-導(dǎo)入新課：通過一個實際商品利潤問題引入二次函數(shù)與利潤問題的關(guān)系。

-講解知識點(diǎn)：詳細(xì)講解二次函數(shù)的一般形式、性質(zhì)和如何解決利潤問題。

-組織課堂活動：分組討論如何將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型，并求解最優(yōu)解。

-解答疑問：針對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提出的問題，進(jìn)行解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-聽講并思考：學(xué)生專注聽講，積極思考并記錄關(guān)鍵信息。

-參與課堂活動：學(xué)生分組討論，共同解決實際問題，并分享解題過程。

-提問與討論：學(xué)生針對不理解的地方提出問題，并與同學(xué)進(jìn)行討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：教師通過講解，幫助學(xué)生掌握二次函數(shù)的核心概念。

-合作學(xué)習(xí)法：小組討論，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊合作意識和溝通能力。

-實踐活動法：通過解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和解決問題的能力。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解二次函數(shù)的知識點(diǎn)，掌握解決實際問題的方法。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和解決問題的能力。

-通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：布置相關(guān)的練習(xí)題，要求學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)解決商品利潤問題。

-提供拓展資源：推薦學(xué)生閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)文章，了解二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-完成作業(yè)：學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)，運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題。

-拓展學(xué)習(xí)：學(xué)生利用推薦的資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考。

-反思總結(jié)：學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程和作業(yè)進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

-反思總結(jié)法：學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，促進(jìn)自我提升。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的二次函數(shù)知識和技能。

-通過拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識視野和思維方式。

-通過反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)自我提升。知識點(diǎn)梳理本節(jié)課主要涉及以下知識點(diǎn)：

1.二次函數(shù)的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）

-理解二次函數(shù)的各個參數(shù)的含義：a代表開口方向和寬度，b代表對稱軸的位置，c代表頂點(diǎn)的y坐標(biāo)。

-掌握如何通過a的符號判斷開口方向：a>0時，開口向上；a<0時，開口向下。

-了解對稱軸的公式：x=-b/2a，并理解其含義。

-掌握頂點(diǎn)坐標(biāo)的計算公式：(-b/2a,c-b^2/4a)，并能夠根據(jù)給定的二次函數(shù)求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。

2.二次函數(shù)的性質(zhì)：

-掌握二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等基本性質(zhì)。

-了解二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)：通過解方程y=0得到。

-掌握二次函數(shù)的最值問題：對于開口向上的二次函數(shù)，最小值在頂點(diǎn)處；對于開口向下的二次函數(shù)，最大值在頂點(diǎn)處。

3.二次函數(shù)與商品利潤問題：

-理解商品利潤的數(shù)學(xué)模型：利潤=銷售額-成本，其中銷售額為售價乘以銷售量，成本包括固定成本和變動成本。

-學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型：根據(jù)利潤公式，確定自變量和因變量，構(gòu)建二次函數(shù)。

-掌握如何利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題：通過分析開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等，判斷利潤的最大化或最小化。

4.解決實際問題的方法：

-理解實際問題中的變量關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型。

-利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析問題，找到最優(yōu)解。

-學(xué)會將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于實際問題，解決生活中的問題。課堂1.課堂評價

-提問：通過提問，了解學(xué)生對二次函數(shù)知識的掌握情況，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的疑惑點(diǎn)。例如，針對二次函數(shù)的性質(zhì)，可以提問學(xué)生：“開口方向是如何確定的？”“頂點(diǎn)坐標(biāo)有什么意義？”等。

-觀察：在課堂上觀察學(xué)生的參與程度、合作交流情況，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)。例如，是否積極參與小組討論，能否與他人有效溝通等。

-測試：通過課堂小測或小組競賽等形式，檢測學(xué)生對二次函數(shù)知識的掌握程度，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的知識盲點(diǎn)。例如，設(shè)計一些有關(guān)二次函數(shù)性質(zhì)的題目，讓學(xué)生在限定時間內(nèi)完成。

-反饋與調(diào)整：根據(jù)評價結(jié)果，針對學(xué)生的疑惑點(diǎn)和薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行針對性的講解和輔導(dǎo)，及時調(diào)整教學(xué)方法和節(jié)奏。

2.作業(yè)評價

-認(rèn)真批改：對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行細(xì)致批改，關(guān)注學(xué)生的解題思路、方法及答案。例如，檢查學(xué)生是否正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)，能否熟練運(yùn)用解決實際問題。

-點(diǎn)評與鼓勵：在作業(yè)批改過程中，給予學(xué)生積極的評價和鼓勵，提高學(xué)生的自信心。例如，對于學(xué)生的正確解答，可以給予“很好！”、“解答準(zhǔn)確！”等肯定性評價；對于學(xué)生的錯誤解答，可以引導(dǎo)學(xué)生思考錯誤原因，并鼓勵其繼續(xù)努力。

-及時反饋：及時將作業(yè)評價結(jié)果反饋給學(xué)生，讓學(xué)生了解自己的學(xué)習(xí)效果，促進(jìn)學(xué)生的自我調(diào)整和提高。例如，可以通過課堂講解、個別輔導(dǎo)等方式，讓學(xué)生了解自己的作業(yè)情況，并提供改進(jìn)建議。

3.學(xué)生互評

-小組內(nèi)互評：鼓勵學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行互評，互相指出對方的優(yōu)點(diǎn)和不足，促進(jìn)學(xué)生的團(tuán)隊合作和相互學(xué)習(xí)。例如，在小組討論中，讓學(xué)生互相評價對方的解題方法、合作態(tài)度等。

-全班范圍內(nèi)互評：組織全班范圍內(nèi)的學(xué)生互評，讓學(xué)生在評價他人時，也能反思自己的學(xué)習(xí)過程。例如，可以讓學(xué)生在課堂上分享自己的解題思路，其他學(xué)生進(jìn)行評價和討論。

4.教學(xué)反思

-教師自我評價：教師在課后進(jìn)行自我反思，總結(jié)課堂教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)和不足，不斷提高教學(xué)水平。例如，思考自己的講解是否清晰易懂，教學(xué)方法是否適合學(xué)生等。

-學(xué)生反饋：收集學(xué)生的反饋意見，了解學(xué)生對課堂教學(xué)的評價和建議，以便于教師調(diào)整教學(xué)策略。例如，可以設(shè)計一份簡單的問卷調(diào)查，讓學(xué)生評價課堂的趣味性、互動性等方面。內(nèi)容邏輯關(guān)系-重點(diǎn)知識點(diǎn)：二次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等性質(zhì)。

-關(guān)鍵詞：一般形式、開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)。

-板書設(shè)計：

-二次函數(shù)的一般形式：y=ax^2+bx+c

-開口方向：a>0向上，a<0向下

-對稱軸：x=-b/2a

-頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-b/2a,c-b^2/4a)

2.二次函數(shù)與商品利潤問題

-重點(diǎn)知識點(diǎn)：商品利潤的數(shù)學(xué)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決實際問題。

-關(guān)鍵詞：利潤模型、實際問題、二次函數(shù)性質(zhì)。

-板書設(shè)計：

-利潤模型：利潤=銷售額-成本

-實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型：確定自變量和因變量，構(gòu)建二次函數(shù)。

-利用二次函數(shù)性質(zhì)解決實際問題：分析開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，找到利潤的最大化或最小化。

3.解決實際問題的方法

-重點(diǎn)知識點(diǎn)：理解實際問題中的變量關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)性質(zhì)分析問題，找到最優(yōu)解。

-關(guān)鍵詞：變量關(guān)系、二次函數(shù)模型、性質(zhì)分析。

-板書設(shè)計：

-理解實際問題中的變量關(guān)系。

-將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型。

-利用二次函數(shù)性質(zhì)分析問題，找到最優(yōu)解。重點(diǎn)題型整理1.二次函數(shù)的一般形式和性質(zhì)

-題目：給定一個二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，判斷其開口方向，并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。

-答案：開口方向取決于a的符號，如果a>0，開口向上；如果a<0，開口向下。頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過公式(-b/2a,c-b^2/4a)計算得出。

2.二次函數(shù)與商品利潤問題

-題目：某商品的售價為每件100元，固定成本為10000元，每件商品的變動成本為50元，求該商品的利潤函數(shù)，并計算出利潤最大時的銷售量。

-答案：利潤函數(shù)為L(x)=(100-50)x-10000，其中x為銷售量。利潤最大時的銷售量為x=1000件。

3.利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題

-題目：給定一個二次函數(shù)y=x^2-4x+3，求該函數(shù)的最小值。

-答案：該函數(shù)的開口方向向上，對稱軸為x=2，因此最小值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處，最小值為y=-3。

4.解決實際問題的方法

-題目：某公司的生產(chǎn)成本函數(shù)為C(x)=2x^2+3x+1，求該公司的最大利潤點(diǎn)。

-答案：首先，我們需要將利潤函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=-C(x)的形式，得到利潤函數(shù)y=-2x^2-3x-1。然后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，找到對稱軸x=-b/2a，即x=1.5，因此最大利潤點(diǎn)為銷售量為1.5件。

5.二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用

-題目：某城市的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）與時間（t）的關(guān)系可以表示為AQI=0.1t^2-0.5t+30，求該城市在一天中的空氣質(zhì)量最佳時段。

-答案：該函數(shù)的開口方向向上，對稱軸為t=-(-0.5)/(2*0.1)，即t=2.5小時。因此，空氣質(zhì)量最佳時段為早上8點(diǎn)至上午10點(diǎn)。教學(xué)反思與總結(jié)在教學(xué)二次函數(shù)與商品利潤問題的過程中，我采用了講授法、合作學(xué)習(xí)法和實踐活動法等多種教學(xué)方法。通過提問、觀察、測試等方式，我及時了解了學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并根據(jù)學(xué)生的反饋調(diào)整了教學(xué)方法和節(jié)奏。

然而，在教學(xué)過程中，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題。例如，在講解二次函數(shù)的性質(zhì)時，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的理解不夠深刻。針對這一問題，我采用了更直觀的圖象展示和實例分析，幫助學(xué)生更好地理解這些概念。

此外，在解決實際問題的過程中，我發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生對于如何將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型的思路不夠清晰。為了解決這一問題，我在課堂上提供了更多的實際問題案例，并鼓勵學(xué)生進(jìn)行小組討論，共同解決問題。

2.教學(xué)總結(jié)

本節(jié)課的教學(xué)效果總體上是積極的。學(xué)生對于二次函數(shù)的一