安徽省蕪湖市示范高中2025屆高三數(shù)學下學期5月聯(lián)考試題文含解析

PAGE23-安徽省蕪湖市示范中學2025屆高三數(shù)學下學期5月聯(lián)考試題文（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合,再依據(jù)交集運算法則求即可.【詳解】因為集合,所以集合,所以,故選:B.【點睛】本題主要考查集合的交集運算,屬于基礎(chǔ)題.2.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由得，故對應的點的坐標為，故選項為C.考點：復數(shù)的性質(zhì).3.已知拋物線上的點到準線的最短距離為1，則p的值為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】拋物線上的點到準線的最短距離為,據(jù)此列式求解即可.【詳解】因為拋物線上的點到準線的最短距離為,所以,故選:C.【點睛】本題主要考查拋物線性質(zhì)的應用,屬于基礎(chǔ)題.4.已知是等差數(shù)列，且滿意，，則為（）A.17 B.18 C.19 D.20【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)題中等式解出的首項與公差,再利用通項公式求即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為,,故,所以,故選:A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計算,考查公式的應用,難度不大.5.已知，且，則所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出,可知其為定義域上的增函數(shù),再依據(jù)零點存在性定理求出零點所在區(qū)間.【詳解】,則,依據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可知是定義域上的增函數(shù),故在定義域內(nèi)最多有一個零點,又,所以存在,使得,故選:A.【點睛】本題主要考查零點存在性定理的應用,結(jié)合了解析式?單調(diào)性等相關(guān)學問,難度不大.6.某班級要選出同學參與學校組織的歌頌競賽，自愿報名的同學共有6人，其中4名女生，2名男生，現(xiàn)從中隨機選出3名同學，則選出的3名同學中至少1名男生的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)4名女生分別為,2名男生分別為,先列舉出全部基本領(lǐng)件,再找出滿意條件的基本領(lǐng)件,最終依據(jù)古典概型的概率公式求解即可.【詳解】設(shè)4名女生分別為,2名男生分別為,則從這6名同學中隨機選出3名同學,共有20種可能,列舉如下:,,其中至少有1名男生的可能有16種(以下劃線形式標出),因此,依據(jù)古典概型的概率公式,可知選出的3名同學中至少有1名男生的概率,故選:D.【點睛】本題主要考查古典概型概率的求法,常用列舉法答題,難度不大.7.將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，下列關(guān)于的說法正確的是（）A.是對稱軸 B.在上單調(diào)遞增C.在上最大值為1 D.在上最小值為【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)平移變換法則求出,再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)推斷選項的正誤.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到的圖象,對于A,當時,,故A選項錯誤;對于B,當時,,則在區(qū)間上不單調(diào),故B選項錯誤;對于C,當,,則在區(qū)間上的最大值為,故C選項錯誤;對于D,當,,則在區(qū)間上的最小值為,故D選項正確;故選:D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)的應用,考查圖象變換,屬于中檔題.8.已知向量在方向上的投影為，且，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)向量的投影和數(shù)量積的定義可知,再結(jié)合,即可解出,從而得出.【詳解】因為向量在方向上的投影為,所以,故有,又,即,因此,所以,故選:D.【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積和投影的應用,考查計算實力,難度不大.9.已知實數(shù)x，y滿意，且的最大值為1，則實數(shù)m的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】先作出滿意條件的可行域,再結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義得到最優(yōu)解,結(jié)合題中所給目標函數(shù)的最值,聯(lián)立方程得出最優(yōu)解的坐標,再代入含參直線即可.【詳解】作出滿意約束條件可行域,如下圖陰影部分所示:將目標函數(shù)變形為:,結(jié)合上圖可知,直線過點時,取最大值,又由題知的最大值為1,故此時目標函數(shù)對應的直線方程為,聯(lián)立,即,因直線過點,所以,故選C.【點睛】本題主要考查簡潔線性規(guī)劃的應用,考查數(shù)形結(jié)合思想的應用,屬于中檔題.目標函數(shù)的幾何意義一般有截距,斜率和距離三種狀況.10.已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，若在R上單調(diào)遞增，則b的范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可知在R上恒成立,即在R上恒成立,設(shè),利用的奇偶性和導數(shù)探討其單調(diào)性,求出的最小值,即可得出答案.【詳解】,則,因為在R上單調(diào)遞增,所以在R上恒成立,即在R上恒成立,設(shè),則,當時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,所以是偶函數(shù),因此在上單調(diào)遞減,所以,所以,故選:B.【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的應用,考查轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.在遇見含參的恒成立問題時,一般選擇分別參數(shù)后,將恒成立問題轉(zhuǎn)化為簡潔函數(shù)的最值問題.11.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖為等腰三角形，則該幾何體的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)三視圖還原幾何體,再求出幾何體底面的外接圓圓心及半徑,然后利用“三棱錐的外接球球心在過底面中心的垂線上”這一性質(zhì),確定外接球球心,最終利用勾股定理求出外接球半徑即可得解.【詳解】依據(jù)三視圖還原幾何體如下:設(shè)為的中點,則有,且平面,設(shè)為的外心,為的外接圓半徑,則,故在中,有,即,如圖所示,過作,且,此時平面,設(shè)的中點為,則,故點即為三棱錐的外接球球心,又,所以三棱錐的外接球半徑,所以三棱錐的外接球表面積,故選:B.【點睛】本題主要考查了三棱錐外接球半徑的求法,考查了三視圖還原幾何體,有肯定難度.本題中既可利用“三棱錐的外接球球心在過底面中心的垂線上”這一性質(zhì)去確定外接球球心,也可將三棱錐還原成對應的三棱柱去確定球心,要求學生具備肯定的空間思維與想象實力.12.已知函數(shù)，且，，，下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定的奇偶性以及其在上的單調(diào)性,從而得出在上的單調(diào)性,然后利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.【詳解】,其定義域為,當時,依據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)性的性質(zhì)可知,在上單調(diào)遞減,又,所以,所以是奇函數(shù),因此在上單調(diào)遞減,因,,,又,所以,所以,即,故選:C.【點睛】本題主要考查利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小問題,考查學生對函數(shù)性質(zhì)的綜合運用,有肯定難度.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，若，則__________．【答案】2【解析】【分析】將代入解析式,列式求解即可.【詳解】因為,所以,解得,故答案為:2.【點睛】本題考查依據(jù)解析式和函數(shù)值求自變量,考查解方程,屬于基礎(chǔ)題.14.過點且傾斜角為的直線l與圓相交的弦長為__________．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)點斜式寫出直線方程,再求出圓心到直線的距離,最終利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形列式求解即可.【詳解】因為直線l過點且傾斜角為,所以直線l的方程為,即,又圓的圓心為,半徑為,所以圓心到直線l的距離,所以直線l與圓相交的弦長為,故答案為:.【點睛】本題主要考查直線與圓相交的弦長問題,考查計算實力,屬于中檔題.15.18世紀德國數(shù)學家提丟斯給出一串數(shù)列：0，3，6，12，24，48，96，192，…，簡潔發(fā)覺，從第3項起先，每一項是前一項的2倍．將每一項加上4得到一個數(shù)列：4，7，10，16，28，52，100，196，…．再每一項除以10得到：0.4，0.7，1.0，1.6．2.8，5.2，10.0，…，這個數(shù)列稱為提丟斯數(shù)列．則提丟斯數(shù)列的通項__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題中條件按依次確定每一個數(shù)列的通項公式即可.【詳解】設(shè)數(shù)列:0,3,6,12,24,48,96,192,…,為,由題可知,該數(shù)列的通項公式為,設(shè)將中的每一項加上4得到數(shù)列,則,最終將數(shù)列中的每一項除以10,則可得到數(shù)列,故答案為:.【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求法,難度不大.16.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過點且斜率為3的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，且，，則實數(shù)的值為__________．【答案】3【解析】【分析】設(shè),則在中,有又,所以,最終在中,利用勾股定理列式即可解出的比例關(guān)系,從而求出.【詳解】設(shè),因為直線的斜率為3,所以,故在中,有又直線l與雙曲線C交于A,B兩點,所以,所以,在中,有,即,化簡得,因為所以,所以,即,故答案為:3.【點睛】本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應用,考查學生的計算分析實力,屬于中檔題.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿意．（Ⅰ）求角B的余弦值；（Ⅱ）若，角B的平分線BD交AC于點D，求BD的長度．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】(Ⅰ)由正弦定理得,因此,,再利用余弦定理即可求出;(Ⅱ)利用余弦定理求出,由求出,從而求出,即可在中,利用正弦定理求解.【詳解】(Ⅰ)因為,由正弦定理得,∴,,由余弦定理可得:;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:,,BD是角B的平分線,∴,∴,∴,又由余弦定理得,∴,∴,故在中,由正弦定理得.【點睛】本題主要考查正?余弦定理解三角形,考查分析計算實力,屬于中檔題.18.某學校為了了解該校高三年級學生寒假在家自主學習的狀況，隨機對該校300名高三學生寒假的每天學習時間（單位：h）進行統(tǒng)計，依據(jù)，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）依據(jù)頻率分布直方圖計算該校高三年級學生的平均每天學習時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；（Ⅱ）該校規(guī)定學習時間超過4h為合格，否則不合格．已知這300名學生中男生有140人，其中合格的有70人，請補全下表，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有99.9%的把握認為該校高三年級學生的性別與學習時長合格有關(guān)？男生女生總計不合格合格70總計140160300參考公式：，其中．參考附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（Ⅰ）4.36；（Ⅱ）有99.9%的把握認為該校高三年級學生的性別與學習時長合格有關(guān)．【解析】【分析】(Ⅰ)依據(jù)頻率分布直方圖干脆計算平均值即可;(Ⅱ)先求出300名學生中合格的人數(shù),再補全表格,然后依據(jù)表格數(shù)據(jù)和公式計算,最終將與進行比較,進而得出結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)高三年級學生平均每天的學習時間為:(h);(Ⅱ)300名學生中合格的人數(shù)為(人),故補全表格如下:男生女生總計不合格7050120合格70110180總計140160300所以,所以有99.9%的把握認為該校高三年級學生的性別與學習時長合格有關(guān).【點睛】本題考查了依據(jù)頻率分布直方圖求均值,考查了獨立性檢驗,難度不大.19.如圖1所示在菱形ABCD中，，，點E是AD的中點，將沿BE折起，使得平面平面BCDE得到如圖2所示的四棱錐，點F為AC的中點．在圖2中（Ⅰ）證明：平面ABE；（Ⅱ）求點A到平面BEF的距離．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】(Ⅰ)取AB的中點G,連接EG,GF,利用且可證明四邊形DEGF為平行四邊形,從而有,進而證明出平面ABE;(Ⅱ)設(shè)點A到平面BEF的距離為h,連接CE,由可得,因此利用垂直關(guān)系與面積公式計算出即可得出答案.【詳解】(Ⅰ)取AB的中點G,連接EG,GF,在菱形ABCD中,E為AD的中點,∴,,又G,F為AB,AC的中點,∴GF為ΔABC的中位線,∴且,∴且,∴四邊形DEGF為平行四邊形,∴,又平面ABE,平面ABE,∴平面ABE;(Ⅱ)設(shè)點A到平面BEF的距離為h,連接CE,∵平面平面BCDE,平面平面,,∴平面BCDE,∴,同理可證平面ABE,又,∴,又F為AC的中點,∴,同理,∴,又,且,∴,∴.【點睛】本題主要考查了空間中的垂直?平行關(guān)系,考查了利用等體積法求點到平面的距離,須要學生具備肯定的空間思維和計算實力,屬于中檔題.20.已知橢圓的焦距和短軸長度相等，且過點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）圓與橢圓C分別交y軸正半軸于點A，B，過點（，且）且與x軸垂直的直線l分別交圓O與橢圓C于點M，N（均位于x軸上方），問直線AM，BN的交點是否在一條定直線上，請說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）兩直線交點肯定在x軸上，理由詳見解析．【解析】【分析】(Ⅰ)依據(jù)題意列出關(guān)于的方程,解方程組求出,即可得橢圓方程;(Ⅱ)設(shè),由,,可推出,然后利用兩點坐標寫出直線的直線方程,聯(lián)立直線方程即可求出交點的縱坐標,從而得出直線AM,BN的交點肯定在x軸上.【詳解】(Ⅰ)由題意可得:,解得:,,∴橢圓C的方程為;(Ⅱ)由題可知,設(shè)因為在橢圓上,在圓上,所以,,所以,直線,直線,設(shè)兩直線的交點坐標為,則,解得,故直線AM,BN的交點肯定在x軸上.【點睛】本題考查了橢圓方程的求法,考查了直線與圓錐曲線相交的定直線問題,須要學生綜合運用所學學問,屬于中檔題.21.已知函數(shù)，其中m為常數(shù)，且是函數(shù)的極值點．（Ⅰ）求m的值；（Ⅰ）若在上恒成立，求實數(shù)的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】(Ⅰ)先對求導,再利用,列式求解,最終再進行檢驗即可;(Ⅱ)令,則題意可轉(zhuǎn)化為在上恒成立,對求導,然后分,和三種狀況,探討的單調(diào)性,推斷其最小值是否大于0,從而得出結(jié)論.【詳解】(Ⅰ),則,是函數(shù)的極值點,,,又時,,當時,,時,,∴在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點,∴符合題意;(Ⅱ)令,則,由題得在上恒成立,,令,則,①當時,則,∴在上單調(diào)遞增,∴,成立;②當時,令,則,在時,,∴在上單調(diào)遞增,又,,則在上存在唯一使得,∴當時,,在上單調(diào)遞減,,不符合題意;③當時,在時,,∴在上單調(diào)遞減,此時,不符合題意;綜上所述,實數(shù)k的最小值為.【點睛】本題考查極值點的應用,考查利用導數(shù)探討恒成立問題,有肯定難度.在遇見含參的恒成立問