2024～2025學年度八年級數(shù)學上冊第2課時 直角三角形的兩個銳角互余教學設計

第2課時直角三角形的兩個銳角互余教學目標課題11.2.1第2課時直角三角形的兩個銳角互余授課人素養(yǎng)目標1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質定理：直角三角形的兩個銳角互余，感受從特殊到一般的思想.2.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形的判定方法，發(fā)展學生的推理能力.教學重點直角三角形的性質與判定．教學難點應用直角三角形的性質與判定進行計算或推理.教學活動教學步驟師生活動活動一：結合實際，問題導入設計意圖結合常見的直角三角板，并提出疑問為導入新課做鋪墊.【情境引入】如圖所示是我們常用的一副直角三角板，量一量自己手上的這兩個三角板，它們兩銳角的度數(shù)之和分別是多少？它們兩銳角的度數(shù)之和都是90°.對于任意直角三角形，這個結論還成立嗎？讓我們在本節(jié)課的學習中找尋答案吧！【教學建議】直角三角板是具有特殊角度的直角三角形，又是常見的學習用具，據(jù)此進行抽象概括，學生能夠更直觀地了解，再進一步延伸到任意的直角三角形.活動二：動手操作，探究新知設計意圖探索直角三角形中兩個銳角的關系，總結出直角三角形的性質并利用其解題.探究點1直角三角形的性質現(xiàn)在我們來探究活動一中的問題：(1)測量角度：在紙上任意畫幾個直角三角形，用量角器分別測量各個直角三角形兩銳角的度數(shù).(2)猜想結論：將測量的每個直角三角形兩銳角的度數(shù)相加，發(fā)現(xiàn)：兩銳角的度數(shù)之和為90°.(3)拼合驗證：把直角三角形的兩個銳角剪下，拼合在一起，再用量角器測量，均構成直角.(4)演繹推理：如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形內角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°.(5)得到結論：直角三角形的兩個銳角互余.直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.注意“Rt△”后必須緊跟直角三角形的三個頂點字母，不能單獨使用．如“直角三角形的邊”不能寫成“Rt△的邊”.例1(教材P14例3)如圖，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于點E，∠CAE與∠DBE有什么關系？為什么？解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.【對應訓練】教材P14練習第1題.【教學建議】結合三角形內角和定理的探索步驟，設計幾個環(huán)節(jié)引導學生自主學習，交流合作．由于測量存在誤差，兩次測量得到的銳角之和可能在90°附近，故先進行拼合減小這種誤差使測量結果盡可能接近90°，讓學生有一個感性認識，再經過嚴密推理證明，這是一個完整的閉環(huán)．注意在掌握本性質之后，在直角三角形中求角度時可適當簡化過程，不必通過三角形內角和定理.教學步驟師生活動設計意圖引入直角三角形的判定方法，使學生經歷“提出問題”——“猜想結論”——“推理驗證”的過程，并輔以例題引導學生掌握.探究點2直角三角形的判定思考我們知道，如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形有兩個角互余.反過來，有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？請你說說理由.是直角三角形.理由如下：如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，根據(jù)三角形內角和定理，可知∠A+∠B+∠C=180°，于是得∠C=180°-90°=90°，∴△ABC是直角三角形.得到結論：有兩個角互余的三角形是直角三角形.例2如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？解：△ABD是直角三角形，理由如下：∵CE⊥AD，∴∠DEC=90°.∴∠C+∠D=90°.又∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°.∴△ABD是直角三角形.歸納總結：【對應訓練】教材P14練習第2題.【教學建議】學生獨立思考，動手畫圖，強化學生理解，使學生感知性質與判定的互逆關系，這里只需要有一個感性認識即可.另外要注意跟學生強調證明的嚴密性，如在沒有證明三角形是直角三角形之前,不能給三角形標注直角符號.活動三：綜合練習，鞏固提升設計意圖將直角三角形的性質與判定綜合出題，強化鍛煉學生的解題能力.例如圖，AB∥CD，直線EF與AB，CD分別相交于點E，F(xiàn)，EP平分∠AEF，F(xiàn)P平分∠EFC.(1)求證：△EPF是直角三角形；(2)若∠PEF＝30°，求∠PFC的度數(shù).(1)證明：∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠EFC＝180°.又EP平分∠AEF，F(xiàn)P平分∠EFC，∴∠PEF＋∠PFE＝12(∠AEF＋∠EFC)＝12×180°＝90°.∴△EPF是直角三角形.(2)解：∵△EPF是直角三角形，∠EPF＝90°，∠PEF＝30°，∴∠PFE＝90°-30°＝60°.又FP平分∠EFC，∴∠PFC＝∠PFE=60°.【對應訓練】如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=62°，AE平分∠BAC交BC于點E，AD⊥BC于點D，∠ADF=74°.（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）求證：△ADF是直角三角形.（1）解：由三角形內角和定理，得∠BAC=180°-∠B-∠C=88°.【教學建議】學生交流作答，教師根據(jù)學生做題情況予以指導、訂正.此類題綜合性較強，在解題時常需把條件集中于某個三角形.某些特定情形還可能需要利用轉化思想轉化等角，方法常通過對頂角相等，利用平行線得到內錯角相等或同位角相等，等（同）角的余（補）角相等來實現(xiàn).教學步驟師生活動∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=44°.∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=28°.∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=44°-28°=16°.（2）證明：由（1）知∠DAE=16°，又∠ADF=74°，∴∠DAE+∠ADF=90°，∴△ADF是直角三角形.活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.你能利用三角形內角和定理證明直角三角形的兩個銳角互余嗎？你能利用這個性質進行直角三角形中的相關計算嗎？2.有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？你能給出證明嗎？【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P16～17習題11.2第4，10題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應課時訓練．板書設計第2課時直角三角形的兩個銳角互余1.直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余. 2.直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形．教學反思本節(jié)課的學習是建立在三角形內角和定理基礎之上的，所以仿照三角形內角和定理的探索過程導入新課，學習直角三角形的性質和判定，起點較低，順暢自然，適合絕大多數(shù)學生．在學習直角三角形的性質時，也可考慮采用幾何畫板演示作圖，這樣更形象直觀．例題與練習都強化了重點知識的學習，突出了數(shù)學學習的本質特征.解題大招一利用直角三角形的性質求角度的方法遇到在三角形中求角的度數(shù)相關問題時，若條件中存在垂直關系或直角，首先想到利用“直角三角形的兩個銳角互余”解題．某些特定情況下需要作輔助線構建直角三角形，一般采用作垂線的方法，也可能涉及三角形的三條高所在直線相交于一點從而得到垂直條件．例1(1)把一根細線固定在半圓形量角器的圓心處，細線的另一端系一個小重物，制成一個簡單的測角儀，如圖所示，細線與BC邊重合，則∠A的度數(shù)（B）A．30°B．40°C．50°D．75°(2)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，過點C作EF∥AB，若∠ECA＝55°，則∠B的度數(shù)為（C）A．55°B．45°C．35°D．25°例2如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點H，則∠CHD＝45°.分析：解題大招二直角三角形的判定的應用例3下列條件中不能判定△ABC為直角三角形的是（C）A．∠A＝90°－∠CB．∠A＝∠B－∠CC．∠A＝2∠B＝3∠CD．∠A＝∠B＝eq\f(1,2)∠C解析：培優(yōu)點直角三角形的性質的應用例如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，BE平分∠ABC，AD，BE相交于點F.(1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；(2)∠AEF與∠AFE有什么數(shù)量關系？說明理由．分析：(1)根據(jù)同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE，根據(jù)直角三角形的性質計算即可；(2)根據(jù)角平分線的定義、直角三角形的性質說明結論．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD