人教版數學八年級上冊-第十三章《軸對稱》教案設計

人教版數學八年級上冊第十三章《軸對稱》教案設計/第十三章《軸對稱》教學分析本章在教材中的意義本章涉及到課標中圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標三個部分的內容。在圖形的性質方面，本章主要學習線段的垂直平分線、等腰三角形和等邊三角形的性質與判定，前有全等三角形作為探究、推理的基礎，后面還會在平行四邊形、圓的學習中討論圖形的對稱性.在圖形的變化方面，軸對稱和平移、旋轉都屬于合同變換（將一個平面圖形變換成與其相等或全等的圖形的變換），初中階段還會學習位似變換，教材在處理這些變換時，也都采取了相似的思路，即從實例中得到概念、從典型例子中總結性質、以性質為依據進行作圖、在坐標系中作圖探索坐標和變換的關系.在圖形與坐標方面，本章的要求僅限于對稱軸是坐標軸的情形，但在后續(xù)學習函數圖象的對稱性時，會遇到更復雜的情形.從學習過程的設計來看，本章教材在設計上加強了實驗幾何的成分。（實驗幾何，即通過觀察與實驗認識幾何圖形、發(fā)現圖形的性質、求解圖形的關系。）教材讓學生通過畫圖、折紙、剪紙、度量等活動，探索發(fā)現幾何結論，在發(fā)現結論的基礎上，再經過推理證明這些結論。本章教學目標和考試要求本章教學目標（1）通過具體實例認識軸對稱、軸對稱圖形，探索軸對稱的基本性質，理解對應點連線被對稱軸垂直平分的性質.（2）探索簡單圖形之間的軸對稱關系，能夠按照要求畫出簡單平面圖形（點、線段、直線、三角形等）關于給定對稱軸對稱的圖形；認識并欣賞自然界和現實生活中的軸對稱圖形.（3）理解線段垂直平分線的概念，探索并曾敏線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；反之，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.（4）了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理；探索并掌握等邊三角形的性質定理及等邊三角形的判定定理.（5）能初步應用本章所學的知識解釋生活中的現象及解決簡單的實際問題，在觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，發(fā)展空間觀念，激發(fā)學習興趣.教學重、難點重點：軸對稱的性質，等腰三角形的性質和判定.難點：對圖形性質的推理證明.2018年北京市中考說明對本章的要求考試內容考試要求ABC圖形與幾何圖形的性質線段垂直平分線理解線段垂直平分線的概念尺規(guī)作圖（基本作圖）：過一點作已知直線的垂線，作一條線段的垂直平分線；能利用線段垂直平分線的性質與判定解決有關簡單問題運用線段垂直平分線的有關內容解決有關問題等腰三角形和等邊三角形了解等腰三角形和等邊三角形的概念掌握等腰三角形和等邊三角形的性質定理與判定定理；尺規(guī)作圖（利用基本作圖作三角形）；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；能用等腰三角形和等邊三角形的性質定理與判定定理解決有關簡單問題運用等腰三角形和等邊三角形的有關內容解決有關問題圖形的變化圖形的軸對稱了解軸對稱的概念；理解軸對稱的基本性質；了解軸對稱圖形的概念能畫出簡單平面圖形關于給定對稱軸的對稱圖形；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質；能利用軸對稱的性質解決有關簡單問題運用軸對稱的有關內容解決有關問題圖形與坐標坐標與圖形運動在平面直角坐標系中，知道已知頂點坐標的多邊形經過軸對稱（對稱軸為坐標軸）后的對應頂點坐標之間的關系在平面直角坐標系中，能寫出已知頂點坐標的多邊形經過軸對稱（對稱軸為坐標軸）后的圖形的頂點坐標運用坐標與圖形運動的有關內容解決有關問題本章教學建議本章知識結構框圖生活中生活中的軸對稱軸對稱作軸對稱圖形的對稱軸畫軸對稱圖形利用幾何變換解決問題軸對稱的概念軸對稱的性質軸對稱的作圖線段的垂直平分線的性質坐標系中的軸對稱等腰三角形等邊三角形課時安排本章教學約15課時（含講評），具體安排如下：13.1軸對稱 共3課時 13.1.1軸對稱 1課時 13.1.2線段的垂直平分線 2課時13.2畫軸對稱圖形 共2課時13.3等腰三角形 共6課時 13.3.1等腰三角形 4課時 13.3.2等邊三角形 2課時13.4課題學習最短路徑問題 共2課時小結和單元檢測 共2課時教學中需要斟酌的問題實例在教學中的合理運用。圖形變化思想的滲透。多種形式的學習活動的合理安排。對于坐標和軸對稱變換的難度把握。使用信息技術的時機與方式。教學建議注意聯系實際，培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)。加強對問題分析過程的教學，克服推理難點。注意實驗幾何與論證幾何的結合，發(fā)展學生的創(chuàng)新思維和推理能力。實際操作、空間想象與信息技術有效結合，幫助學生的數學學習，培養(yǎng)學生的空間觀念。各節(jié)內容分析13.1軸對稱 13.1.1軸對稱【教學目標】（1）通過實例認識軸對稱，體會軸對稱在現實生活中的廣泛應用.（2）能夠識別簡單的軸對稱圖形及其對稱軸.（3）探索發(fā)現軸對稱的基本性質.【重點】軸對稱的基本性質.【難點】區(qū)分軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的概念.【典型例題】判斷下列圖案是否為軸對稱圖形.如果是，找出它的對稱軸.判斷下列平面圖形是否為軸對稱圖形.如果是，說出它的對稱軸.如圖，△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，∠B=90°，∠A=30°，A′B′=6cm，求AB的長和∠A′C′B′的度數.剪紙是我國傳統的民間藝術，直到今天還保留著過年貼窗花、嫁娶貼喜字等傳統.如圖是一枚雙“喜”剪紙，你知道是怎么剪出來的嗎？先想一想，再動手做一做. 13.1.2線段的垂直平分線【教學目標】（1）理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質定理.（2）理解并掌握過一點作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖.（3）能夠作出軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸.【重點】線段垂直平分線的性質定理.【難點】線段垂直平分線性質定理的證明.【典型例題】尺規(guī)作圖：（1）經過已知直線外一點作這條直線的垂線；（2）經過已知直線上一點作這條直線的垂線.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長為13cm，求△ABC的周長.如圖，AD與BC相交于點O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求證：OE垂直平分BD.作圖：（1）如圖1，點A和點B關于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？（2）如圖2，電信部門要在圖中地區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔，其中點A，點B是兩個城鎮(zhèn)，直線m，n是兩條高速公路. ①若要將發(fā)射塔修建在高速公路n沿線，且到A，B兩城鎮(zhèn)的距離相等，發(fā)射塔應修建在何處？在圖上標出來； ②若要使發(fā)射塔到A，B兩城鎮(zhèn)的距離相等，到兩條高速公路m，n的距離也相等，應修建在什么位置？在圖上標出來. 圖1 圖2如圖，△ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點P.（1）求證：PA=PB=PC；（2）點P是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你還能得出什么結論？如圖，AB=CD，AC、BD的垂直平分線相交于點O.求證：∠ABO=∠ODC.13.2畫軸對稱圖形【教學目標】（1）能夠畫出簡單圖形（點、線段、直線、三角形等）關于給定對稱軸的對稱圖形.（2）掌握平面直角坐標系中的圖形經過軸對稱（對稱軸為坐標軸）后的對應點坐標之間的關系.【重點】畫簡單圖形關于給定對稱軸的軸對稱圖形.【難點】軸對稱在平面直角坐標系中的應用.【典型例題】根據題意畫圖：（1）如圖1，已知點A和直線l，畫出點A關于直線l的對稱點A′；（2）如圖2，已知線段AB和直線l，畫出線段AB關于直線l對稱的圖形；（3）如圖3，已知△ABC和直線l，畫出△ABC關于直線l對稱的圖形. 圖1 圖2 圖3如圖，在3×3的正方形格紙中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形.圖中△ABC是一個格點三角形.請你在圖中畫出一個與△ABC成軸對稱的格點三角形.將一張正方形紙片按如圖①，圖②所示的方向對折，然后沿圖③中的虛線剪裁得到圖④，將圖④的紙片展開鋪平，再得到的圖案是（） ② ③ ④ A B C D如圖，四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4)，分別畫出與四邊形ABCD關于y軸和x軸對稱的圖形，并分別寫出頂點A，B，C，D的對應點的坐標.（課本P72-6題）如圖，小球起始時位于（3，0）處，沿所示的方向擊球，小球運動的軌跡如圖所示，用坐標描述這個運動，找出小球運動的軌跡上幾個關于直線l對稱的點.如果小球起始時位于（1，0）處，仍按原來方向擊球，請你畫出這時小球運動的軌跡.（課本P72-7題）如圖，分別作出△PQR關于直線m（直線m上各點的橫坐標都為1）和直線n（直線n上各點的縱坐標都為-1）對稱的圖形.它們的對應點的坐標之間分別有什么關系？13.3等腰三角形13.3.1等腰三角形【教學目標】（1）了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質定理.（2）探索并掌握等腰三角形的判定定理.【重點】等腰三角形的性質與判定.【難點】證明等腰三角形的性質定理.【典型例題】如圖，在△ABC中，AB=AC.點D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度數.如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE.求證：BD=CE.求證：等腰三角形底邊的中點到兩腰的距離相等.已知：如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求證：DE=DF.求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證：AB=AD.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．如圖，已知四邊形ABCD.在條件①AB＝AD，②∠ABC＝∠ADC，③BC＝CD中，以其中兩個為題設，余下的一個為結論，構成的命題是真命題嗎？如果是真命題，請證明；如果是假命題，請說明理由或畫出反例.如圖，△ABC是直角三角形.請以直角三角形的一邊為邊畫一個等腰三角形，使它的第三個頂點也在直角三角形的邊上.探究：在三角形中，若兩條邊不相等，那么較大邊所對的角較大還是較小？13.3.2等邊三角形【教學目標】（1）了解等邊三角形的概念，探索并掌握等邊三角形的性質定理及等邊三角形的判定定理.（2）掌握含30°角的直角三角形的性質：30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.【重點】等邊三角形的性質和判定.【難點】靈活運用等邊三角形的判定定理.【典型例題】如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數．如圖，在等邊三角形ABC中，DE∥BC.求證：△ADE是等邊三角形.如圖，P，Q是△ABC的邊BC上的兩點，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度數.圖①、圖②中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．（1）如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；（2）如圖②，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結論． 圖① 圖②如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高.求證：AD＝AB.底角為15°的等腰三角形，若腰長為20cm，求它的面積.如圖，要把一塊三角形的土地均分給甲、乙、丙三家農戶.如果∠C=90°，∠B=30°，要使這三家農戶所得土地的大小、形狀都相同，請你試著分一分，并在圖上畫出來.（說明畫法和理由）13.4課題學習最短路徑問題【教學目標】（1）讓學生了解解決最短路徑問題的基本方法.（2）在解決問題的過程中，體會其中蘊含的變換思想和化歸思想.【重點】用軸對稱的思想解決最短路徑問題.【難點】靈活運用變換的思想轉化問題.【典型例題】牧馬人要從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地.（1）如圖1，A地和B地在河的同側，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？（2）如