2024學年杭州地區(qū)高三第一學期數(shù)學開學考模擬試題參考答案

第=page1515頁，共=sectionpages1515頁2024學年杭州地區(qū)高三第一學期數(shù)學開學考模擬試題【答案】1.A

2.D

3.C

4.B

5.C

6.C

7.C

8.C

9.AC

10.AB

11.ABD

12.0

13.2

14.5

15.解：不妨設，

則在中，由余弦定理可知，，

在中，由余弦定理可知，，

所以，即

因為，所以，所以，

在中，由正弦定理可知，，

所以，所以，

所以，

已知在中，，所以，

所以四邊形ABCD的面積，

所以

16.Ⅰ解：設，則

令代入C的方程有：

，故，即

拋物線E的方稱為：

Ⅱ證明：由Ⅰ知：，則

直線PO的方稱為，代入拋物線E的方程有：

當時，

直線MN的方程為：，即

此時直線MN過定點

當時，直線MN的方稱為：，此時仍過點

即證直線MN過定點

17.解：證明：由題意可知，，所以，

所以，

解得，

則，所以，

又因為平面ABCD，平面ABCD，

所以，，且PA，平面PAB，

所以平面PAB；

證明：連結(jié)AC，交BD于點O，連結(jié)QO，

因為，且，

所以，又因為，

所以，且平面BQD，平面BQD，

所以平面BQD；

由可知，平面PAB，平面BDP，

所以平面平面BDP，且平面平面，

過點A作，連結(jié)MN，

則平面PBD，為直線AM與平面PBD所成的角，

因為是等腰直角三角形，且，

所以，

中，，，所以，

，

所以

18.解：Ⅰ

當時，恒成立，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無極值；

當時，時，，時，，

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為，有極小值…分

Ⅱ當時，由Ⅰ得

，

，

，即當時，最大為1…分

Ⅲ證明：由Ⅰ知，時，當時，，當時，，

函數(shù)有且僅有一個零點，即，

，

記，，

故函數(shù)在上遞增，在上遞減，

當時，；時，，

函數(shù)有兩個零點，，

故，…分

不妨設，由題意，，

則，

欲證，只需證明：，只需證明：，

即證：，

即證，設，則只需證明：，

也就是證明：

記，，

在單調(diào)遞增，，

所以原不等式成立，故得證…分

19.解：取

不具有性質(zhì)①.數(shù)列同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②.證明：對性質(zhì)①：

，取，具有性質(zhì)①；對性質(zhì)②：，

只需取滿足

具有性質(zhì)②；先證明利用性質(zhì)②：取，此時，由數(shù)列的單調(diào)遞增可知，而，故，此時必有，即，所以，成等差數(shù)列.下面用數(shù)學歸納法證明數(shù)列為等差數(shù)列.假設數(shù)列的前項成等差數(shù)列，不妨設，因為數(shù)列遞增，所以由①可得：存在整數(shù)m，滿足，

且

由②得：存在，滿足：，

由數(shù)列的單調(diào)遞增可知：，由可得：

，由和式可得：，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)遞增有：，注意到均為整數(shù)，故，代入式，從而綜上可得，數(shù)列的通項公式為：即數(shù)列為等差數(shù)列.

【解析】1.解：因為，

，

所以

故選：

利用整數(shù)集的定義與具體函數(shù)定義域的求法化簡集合A，B，再利用集合的交集運算即可得解．

本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．2.解：因為，所以復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點，位于第四象限．

故選：

根據(jù)復數(shù)的乘法和除法以及幾何意義求解即可．

本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題．3.解：，在直線l上，

則直線l的一個方向向量為

故選：

利用直線的方向向量的定義直接求解．

本題考查直線的方向向量的求法，考查向量坐標運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4.解：由已知得，，

又，

所以，解得

故選：

由已知得，，根據(jù)即可求解．

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎題．5.解：由圓的弦長為，

可知AB中點P到的距離即為，所以動點P的軌跡為圓，

又圓上存在點P恰為線段AB的中點，則圓與圓有公共點，

所以，即，解得

故選：

先根據(jù)已知條件求得點P的軌跡方程，再轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點即可求解結(jié)論．

本題主要考查圓和圓的位置關系，考查計算能力，屬于基礎題．6.解：根據(jù)題意，因為為奇函數(shù)，則，

即，可知的圖象關于點對稱，

可得，即，

可知的圖象關于對稱，則，

又因為為奇函數(shù)，則，

可得，可知的周期為4，

所以

故選：

根據(jù)的性質(zhì)結(jié)合導數(shù)運算分析可知的圖象關于對稱，結(jié)合奇函數(shù)分析可知的周期為4，根據(jù)周期性運算求解．

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應用，涉及函數(shù)的周期，屬于中檔題．7.解：因為，

又，

所以，

則

故選：

由已知結(jié)合誘導公式，二倍角公式及同角基本關系進行化簡即可求解．

本題主要考查了誘導公式，二倍角公式及同角基本關系的應用，屬于中檔題．8.【分析】本題考查正弦定理、球的性質(zhì)的合理運用和三棱錐的體積的求法，屬于中檔題.

由正弦定理得，解得，再有平面ABC得，作，得，，由，由此能求出正三棱臺的體積.【解答】

解：設球O的半徑為R，由得，

由題可得三棱錐為正四面體，且，

設正四面體的棱長為a，在等邊三角形ABC中，

由正弦定理可得，即，解得

因為平面ABC，平面ABC，所以，

所以

作，垂足為H，在中，

由，得，

所以在中，

因為，，

所以H為線段的中點，所以，所以

依題意，多面體為正三棱臺，

所以，

即，

所以正三棱臺的體積為

故選：9.解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，若刪除的數(shù)據(jù)既不是最大值，也不是最小值，則新數(shù)據(jù)的極差等于原數(shù)據(jù)的極差，A正確；

對于B，數(shù)據(jù)，，…，，假設…，其中位數(shù)為，一定不在，，…，，之中，隨機刪去其中一個數(shù)據(jù)，得到一組新數(shù)據(jù)，所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，，…，一個，故新數(shù)據(jù)的中位數(shù)不會等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，B錯誤；

對于C，若，則刪除的數(shù)據(jù)恰好為原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由方差的計算公式，新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差，C正確；

對于D，假設原來數(shù)據(jù)為1、2、3、4、5，若，則刪除的數(shù)據(jù)恰好為原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即刪除的數(shù)據(jù)為3，

新數(shù)據(jù)為1、2、4、5，原來數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)，新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為2，D錯誤．

故選：

根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)和百分位數(shù)的計算公式分析4個命題，綜合可得答案．

本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算，涉及數(shù)據(jù)的中位數(shù)、極差的計算，屬于基礎題．10.解：由可知A選項正確；

由，

令，

易知時，，時，，

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

又時，，且，

所以當時，方程有唯一根，

由單調(diào)性可知上，上，故B選項正確；

由或，

又與均單調(diào)遞增，且兩函數(shù)零點分別為0，，

所以要滿足恒成立，需，可知C選項錯誤；

若函數(shù)為增函數(shù)，有，可得，

令，由上可知，可得，

又由，可知“”是“函數(shù)為增函數(shù)”的充分不必要條件，

可知D選項錯誤．

故選：

直接計算可判定A項，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值可判定B項，利用函數(shù)的性質(zhì)與零點可判定C項，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分、必要條件的定義可判定D項．

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查運算求解能力，屬于中檔題．11.解：A中，因為，可得函數(shù)的一個對稱中心的橫坐標為，

所以是函數(shù)的一個對稱中心，即，所以A正確；

B中，若，所以函數(shù)的一條對稱軸方程為，

又因為函數(shù)在上單調(diào)，再由A選項可得，所以B正確；

C中，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，

可得，所以周期，又周期越大，的根的個數(shù)越少，

當時，，又，，得，

所以在區(qū)間上有3個不相等的實數(shù)根：，或，

故至多3個不同的實數(shù)解，故C錯誤．

D中，函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，所以，

所以，解得：，且滿足，

即，即，故故D正確．

故選：

A中，由，可得函數(shù)的一個對稱中心的橫坐標，即判斷出A的真假；B中，由題意可得函數(shù)的一條對稱軸的方程，再由A選項的分析，可得函數(shù)的最小正周期，判斷出B的真假；C中，由題意可得的解析式，可得的根，判斷出C的真假；D中，由橢圓可得函數(shù)的周期的范圍，進而求出范圍，判斷出D的真假．

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于中檔題．12.【分析】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．在二項展開式的通項公式中，求得常數(shù)項，再根據(jù)常數(shù)項等于，求得實數(shù)a的值．【解答】

解：的展開式中的常數(shù)項為，

，

故答案為：013.【分析】

本題考查切線方程問題、導數(shù)的應用．

求出切點的坐標，代入切線方程即可求出a的值．

【解答】

解：由題意得，設切點是，

則，故，

代入切線方程得，解得

故答案為14.【分析】本題考查橢圓方程，考查直線的斜率，屬于中檔題，

設，，由題意得到以及點A，B在橢圓上，得到，即可求解，【解答】

解：設，，

由已知得，點A，B在橢圓上，則，

所以，

所以，

所以

故答案為15.不妨設，在中，利用余弦定理求出，在中，由余弦定理即可求出AB；

根據(jù)三角形內(nèi)角和，結(jié)合正弦定理，構(gòu)造面積關于的函數(shù)關系，由三角函數(shù)的有界限即可求解四邊形ABCD面積的最大值．

本題主要考查正余弦定理的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題．16.Ⅰ設，由令代入C的方程有：，求出A的縱坐標，代入三角形面積公式求得c，則拋物線方程可求；

Ⅱ由Ⅰ可得M坐標，寫出直線PO的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得N的坐標，當時，寫出MN所在直線方程，化簡后說明直線MN過定點，當時，直線MN的方稱為：，此時仍過點

本題考查雙曲線與拋物線的簡單性質(zhì)，考查了雙曲線與拋物線關系的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．17.首先求BD，再證明，最后根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明；

根據(jù)線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，根據(jù)比例關系，構(gòu)造線線平行，即可證明；

根據(jù)的結(jié)果，結(jié)合線面角的定義，即可求解線面角的正弦值．

本題主要考查了線面垂直和線面平行的判定定理，考查了直線與平面所成的角，屬于中檔題．18.Ⅰ求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

Ⅱ當時，由Ⅰ得，，即可求的最大值；

Ⅲ，構(gòu)造函數(shù)，得出當時，；時，，故，，再用分析法進行證明