熱傳導(dǎo)問題的有限元法文檔

6熱傳導(dǎo)問題的有限元法本章應(yīng)用變分原理,將求解域的微分方程,轉(zhuǎn)化為泛函,然后通過求泛函的極值,找到原問題的解。6-1問題的提出前面對(duì)于力學(xué)問題,采用直接法或者虛功原理,建立了有限元的求解格式但是對(duì)于非結(jié)構(gòu)問題,必須借助數(shù)學(xué)工具:變分原理分析,求泛函的極值比如,熱傳導(dǎo)中穩(wěn)定溫度場(chǎng)的求解是工程中經(jīng)常遇到的問題對(duì)于均質(zhì)物體內(nèi)溫度不隨時(shí)間變化的情況,溫度分布函數(shù)7=7(x,y,2)應(yīng)滿足拉普拉斯方程:atatat0再加上用得最多(一般)的邊界條件OT+aTTOλ一熱傳導(dǎo)系數(shù)(與溫度栟度有關(guān))α一對(duì)流換熱系數(shù)(與溫度有關(guān))T—外界介質(zhì)溫度Ⅰ一物體邊界。上式稱為定解問題。除非幾何形狀特別簡(jiǎn)單,如無限大平面,半無限大平面,圓平面,一般無法得到解析解。為此要采用數(shù)值方法。有限元法即是其中的一種可選的方法。有限元法求解偏微分方程的思路:1)利用變分原理將偏微分方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的泛函;2)假設(shè)單元上的場(chǎng)變量變化形式,即插值涵數(shù)或試探函數(shù);3)尋找試探函數(shù)的系數(shù)一節(jié)點(diǎn)場(chǎng)變量,以使泛函取極值。下面首先簡(jiǎn)要介紹變分、泛函,然后推導(dǎo)有限元格式。6-2泛函與變分的基本概念函數(shù):z=f(x),X變,2變。泛函:平面上兩點(diǎn)A、B之間的距離ddy變,廖。l是y的泛函一函數(shù)的函數(shù)當(dāng)然,使泛函取得極值的自變函數(shù)y的變化要復(fù)雜的多三變分法函數(shù)取極值的條件:次=0,d稱為微分泛函取極值的條件:0,δ稱為變分四變分函數(shù)微分f(x+△x·Ef(x)kx,c為任意小的正數(shù)o8E=0可以用來研究函數(shù)z在x處的變化類似,泛函在某點(diǎn)y的變化,可以通過對(duì)泛函的變分x)+8來觀察。}泛函,ε一任意小的正數(shù)。五泛函取極值的條件函數(shù)在x處取極值的條件:dz=ef(EE=0泛函′=|y(×)]在y=yo(x處取極值的必要條件是/=0,即Cyo(x)+eS上式的含義是:異于y(x)的y都使/偏離最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn),此時(shí),/處于“左也不是,右也不是”的狀態(tài)可見,函數(shù)取極值的必要條件和泛函取極值的必要條件是類似的。只不過函數(shù)的自變量在極值點(diǎn)附近的變化方式,比泛函中的自變函數(shù)的變化方式要簡(jiǎn)單一些而已。六變分法預(yù)備定理設(shè)函數(shù)F(x)在[x1,x2連續(xù),對(duì)于by(x),如果有F(x)syd=0則F(x)=0[x,x]。5(x)是y的變分by(x)的條件:一階或若干階可微,在X1,x處為零byk<ε或|y|及|by'|<E,等。這些話的意思是:y是連續(xù)區(qū)間[X1,x2]中一段曲線。該曲線的變分,就是說它可以變化。這種變化可以是:值的變化,一階導(dǎo)數(shù)的變化,高階導(dǎo)數(shù)的變化等。下面證明:一維泛函(只與一個(gè)函數(shù)有關(guān))取極值的條件。設(shè)有泛函DVx)=「Fxy(x)y(x)x其中:泛函中的自變函數(shù)y(x)(平