專題04 一元二次方程的定義及方程的解壓軸題六種模型全攻略(解析版)

專題04一元二次方程的定義及方程的解壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一一元二次方程的判別】 1【考點二一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)】 2【考點三利用一元二次方程的定義求參數(shù)的值】 4【考點四已知一元二次方程的解求參數(shù)的值】 5【考點五已知一元二次方程的解求式子的值】 6【考點六一元二次方程的解的估算】 7【過關(guān)檢測】 9【典型例題】【考點一一元二次方程的判別】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）下列方程，是一元二次方程（其中，是未知數(shù)）的個數(shù)是（

）①，②，③，④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：含有一個未知數(shù)，含未知數(shù)的項的最高次數(shù)為2的整式方程，進行判斷即可．【詳解】解：①是一元二次方程，②含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，③不是整式方程，不是一元二次方程，④當時，不是一元二次方程；綜上：是一元二次方程（其中，是未知數(shù)）的個數(shù)是1個；故選A．【點睛】本題考查一元二次方程的定義．熟練掌握掌握一元二次方程的定義，是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·四川廣安·九年級四川省武勝烈面中學校?？茧A段練習）下列方程中，一元二次方程共有（）①②③④⑤A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．【詳解】解：①符合一元二次方程的定義，故本選項正確；②含有x、y兩個未知數(shù)，故本選項錯誤；③分母中含有未知數(shù)，故本選項錯誤；④符合一元二次方程的定義，故本選項正確；⑤符合一元二次方程的定義，故本選項正確；故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．2．（2023春·黑龍江大慶·九年級校考期末）下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．【詳解】解：①符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；②當時不是一元二次方程；③去括號化簡后可得：，不是一元二次方程；④分母里含有未知數(shù)，為分式方程，不是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；故選B．【點睛】本題考查一元二次方程的基礎(chǔ)知識，熟練掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程是解題關(guān)鍵．【考點二一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)】例題：（2023春·湖南長沙·八年級湖南師大附中博才實驗中學?？计谀┮辉畏匠痰亩雾椣禂?shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（

）A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，，【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的基本概念去判斷確定．【詳解】解：∵一元二次方程，∴二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為2，，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟練掌握一般形式是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（

）A．1，， B．，， C．1，，1 D．1，5，1【答案】C【分析】求出一元二次方程的一般式，然后進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，，∴二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是1，，1，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．2．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習）將一元二次方程化成一般式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（

）A．3，5 B．3，1 C．， D．3，【答案】D【分析】一元二次方程的一般形式是，先化成一般形式，再求出二次項系數(shù)和一次項系數(shù)即可．【詳解】解：，∴，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為3、，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式的應(yīng)用，能把方程化成一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：系數(shù)帶著前面的符號．【考點三利用一元二次方程的定義求參數(shù)的值】例題：（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的值為________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出，再求出即可．【詳解】解：∵關(guān)于的方程是一元二次方程，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，是一元二次方程必須同時滿足三個條件：①時整式方程，即等號兩邊都是整式；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式訓練】1.（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m等于_______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行求解即可．【詳解】解：∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知定義是解題的關(guān)鍵：一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，）的方程叫做一元二次方程．2.（2022秋·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程，則__________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，且）的方程叫做一元二次方程．【考點四已知一元二次方程的解求參數(shù)的值】例題：（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第六十九中學校?？茧A段練習）關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，則的值為______．【答案】1【分析】根據(jù)關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，將代入方程即可解出答案．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，當時，，解得．故答案為1．【點睛】本題主要考查的是一元二次方程解的應(yīng)用，其中理解一元二次方程解的概念是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023秋·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期末）已知方程的一個根是，則值是________．【答案】【分析】把代入方程，求解即可．【詳解】解：把代入方程，得，解得：；故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解的概念、正確計算是解題關(guān)鍵．2．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）是一元二次方程的一個根，則m的值是__________．【答案】【分析】根據(jù)題意將代入一元二次方程求解即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的定義，熟練掌握使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是一元二次方程的根是解題的關(guān)鍵．【考點五已知一元二次方程的解求式子的值】例題：（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程有一個根為，則______．【答案】/【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得到，即可得到的值．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有一個根為，∴，∴，∴，故答案為：【點睛】此題考查了一元二次方程根的定義和代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)x的方程的解，則的值為___________．【答案】2019【分析】將代入方程，得到，利用整體思想代入求值即可．【詳解】解：∵是關(guān)x的方程的解，∴，即：，∴；故答案為：2019．【點睛】本題考查方程的解，代數(shù)式求值．熟練掌握方程的解是使等式成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．2.（2023·甘肅平?jīng)觥そy(tǒng)考二模）若m是方程的一個根，則的值為______．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，再把整體代入所求式子中求解即可．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．【考點六一元二次方程的解的估算】例題：（2023春·全國·八年級專題練習）根據(jù)表格對應(yīng)值：0120.842.293.76判斷關(guān)于x的方程的一個解x的范圍是_____．【答案】【分析】結(jié)合表格可知：當時，；當時，；所以方程的一個解x的范圍為：．【詳解】解：由表格可知：當時，；當時，；∴方程的一個解x的范圍為：．故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的根，解題的關(guān)鍵是理解方程根的定義，找出當時，；當時，．【變式訓練】1．（2022秋·陜西西安·九年級?？茧A段練習）觀察表格，一元二次方程的一個解的取值范圍是______．x1.31.41.51.61.71.81.90.090.340.61【答案】【分析】觀察表格可得當時，，當時，，可得到一元二次方程的解介于1.6與1.7之間，即可求解．【詳解】解∶根據(jù)題意得∶當時，，當時，，∴一元二次方程的解介于1.6與1.7之間，即．故答案為：【點睛】本題考查估算一元二次方程的近似解問題，解題的關(guān)鍵是從表格中找出兩個x的值使得比較接近0，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）探索一元二次方程的一個正數(shù)解的過程如表：x0123451323可以看出方程的一個正數(shù)解應(yīng)界于整數(shù)a和整數(shù)b之間，的值為________．【答案】3【分析】觀察圖表，確定的值為0時的范圍，然后確定對應(yīng)的的范圍，進而可得結(jié)果．【詳解】解：由圖表可知，，∴對應(yīng)的的范圍為，∴，，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查了一元二次方程的解．解題的關(guān)鍵在于理解一元二次方程的解的含義．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？计谀┫铝蟹匠讨惺顷P(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程，逐一判斷即可解答【詳解】解：不是方程，故A不符合題意；中，當時，方程不是一元二次方程，故B不符合題意；化簡后為，是一元二次方程，故C符合題意；為二元二次方程，故D不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟知定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）將方程化成一般形式（二次項系數(shù)為正）后，它的一次項系數(shù)與常數(shù)項分別是（）A．3， B．， C．，5 D．3，5【答案】C【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常數(shù)且）．在一般形式中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．【詳解】解：將方程化成一般形式（二次項系數(shù)為正）后為，∴它的二次項系數(shù)是2，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是5．故選：C．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，要確定一次項系數(shù)和常數(shù)項，首先要把方程化成一般形式．3．（2023春·安徽合肥·八年級合肥壽春中學?？计谀┤绻P(guān)于x的一元二次方程的一個解是，則代數(shù)式的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】將代入一元二次方程，可得，由此可得答案．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程的一個解是，，，，即代數(shù)式的值為．故選A．【點睛】本題主要一元二次方程的解的定義，解題的關(guān)鍵是掌握定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解．4．（2023春·北京門頭溝·八年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出，解之即可．【詳解】解：∵方程是一元二次方程，∴，解得：，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．5．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)下表的對應(yīng)值，試判斷一元二次方程的一個解的取值范圍是（）x140.060.02A． B．C． D．【答案】C【分析】利用表中數(shù)據(jù)得到，于是可判斷x在范圍內(nèi)取某一個值時，，所以得到一元二次方程的一解的取值范圍．【詳解】解：∵當時，當時，∴當x在中取一個值時，，∴一元二次方程的某一個解的取值范圍是．故答案為：C．【點睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解．二、填空題6．（2023春·浙江·八年級專題練習）一元二次方程化為一般形式是．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式為【詳解】解：方程化為一般形式是．故答案為：【點睛】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式為是解題的關(guān)鍵．7．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）寫出一個以和5為兩根且二次項系數(shù)為1的一元二次方程：．【答案】【分析】利用因式分解的形式解題即可．【詳解】解：以和5為兩根且二次項系數(shù)為1的一元二次方程可表示為：，化簡后為：，故答案為：．【點睛】本題主要考查因式分解法解二次方程的逆用，能熟練運用因式分解法是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如果關(guān)于x的方程有一個根為1，那么．【答案】2【分析】把方程的根代入方程中，可得關(guān)于的方程，解方程即可求得的值．【詳解】解：把代入方程中，得：，解得：，故答案為：2．【點睛】本題考查了一元二次方程解的定義，能使一元二次方程成立的未知數(shù)的值叫作一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程解得定義是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）若是方程的一個根，則代數(shù)式的值是．【答案】7【分析】根據(jù)方程的根的定義，把代入方程求出的值，然后整體代入代數(shù)式進行計算即可得解．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴,整理得，，∴,．故答案為：7．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，利用整體思想求出的值，然后整體代入是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·八年級課時練習）若關(guān)于的方程是一元二次方程，則．【答案】-1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出k?1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴k?1≠0且|k|＋1＝2，解得：k＝?1，故答案為：?1．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．三、解答題11．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)（為已知數(shù)）；(7)．【答案】(1)不是(2)不是(3)是(4)不是(5)不是(6)不是(7)是【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可，一元二次方程必須滿足三個條件∶未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0，并且是整式方程．由這兩個條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．（2）根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可；（3）根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可；（4）根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可；（5）根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可；（6）根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可；（7）根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可．【詳解】（1）解：中兩個未知數(shù)，是二元二次方程，故不是一元二次方程；（2）解：中對式子進行整理，兩邊項都消去了，剩下，為一元一次方程，故不是一元二次方程；（3）解：中對含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為1，故是一元二次方程；（4）解：中，分母里含有未知數(shù)，是分式方程，故不是一元二次方程；（5）解：不是整式方程，故不是一元二次方程；（6）解：中當是，原式化為，故不是一元二次方程；（7）解：化簡即為，∴是一元二次方程．【點睛】本題利用了一元二次方程的定義．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．12．（2023春·浙江·八年級專題練習）填表：方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項【答案】見解析【分析】將方程化為一般形式，其中a為二次項系數(shù)、b為一次項系數(shù)、c為常數(shù)項，由此可解．【詳解】解：方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項203【點睛】本題考查一元二次方程的相關(guān)概念，一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常數(shù)且）．在一般形式中叫二次項，叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項，掌握上述知識點是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·浙江·八年級專題練習）已知是方程的根，求的值．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，則，再代入進行化簡計算即可．【詳解】解：∵是方程的根，∴，∴，∴原式．【點睛