專題12 難點探究專題：相似三角形中動點問題壓軸題六種模型全攻略（原卷版）

專題12難點探究專題：相似三角形中動點問題壓軸題六種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】 1【考點二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】 6【考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】 14【考點四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】 24【考點五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】 31【考點六相似三角形中的動點探究應(yīng)用問題】 38【典型例題】【考點一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】例題：如圖，在中，，，，若點是邊上的一個動點，以每秒3個單位的速度按照從運動，同時點從以每秒1個單位的速度運動，當(dāng)一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，在運動過程中，設(shè)運動時間為，若△BPQ與相似，則的值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在鈍角中，，，動點從點出發(fā)運動到點停止，動點從點出發(fā)運動到點停止．點運動的速度為，點運動的速度為．如果兩點同時運動，那么當(dāng)以點，，為頂點的三角形與相似時，運動的時間是秒．

2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，厘米，厘米，動點、分別以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同時開始運動，其中點從點出發(fā)沿邊一直移動到點為止，點從點出發(fā)沿邊一直移動到點為止．經(jīng)過多長時間后，與相似？3．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設(shè)點P、Q移動的時間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似？(2)當(dāng)t為何值時，△APQ的面積為？【考點二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）在矩形中，，，點在邊上．且，是射線ED上的一個動點．若是等腰直角三角形，則的長為．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）矩形中，，，點E是的動點，若，則的長為．2．（2023春·江蘇無錫·八年級宜興市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，連接，點M，N分別是邊，上的動點，連接，將沿折疊，使點C的對應(yīng)點P始終落在上，當(dāng)為直角三角形時，線段的長為．3．（2023·江蘇鹽城·校考一模）如圖，在中，，，，點是邊上一動點，過點作交邊于點，將沿直線翻折，點落在線段上的處，連接，當(dāng)為等腰三角形時，的長為．4．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點E在邊上，且，點P是直線上的一個動點．若是直角三角形，則的長為．【考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】例題：（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角中，，，，點P是邊上的動點，過點P作交于點H，則的最小值為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，點E是邊的中點，將沿翻折得，點F落在四邊形內(nèi)，點P是線段上的動點，過點P作，垂足為Q，連接，則的最小值為．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，E是BC中點，CD上有一動點M，連接、，將沿著翻折得到，連接，，則的最小值為．

3．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，，E是上的一點，且，F(xiàn)，G是上的動點，且，，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r，的長為．

4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點關(guān)于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r，的長為．

【考點四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】例題：（2023春·河南安陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形一邊在直線l上，P是直線l上點A左側(cè)的一點，，E為邊上一動點，過點P，E的直線與正方形的邊交于點F，連接，若設(shè)，的面積為S，則能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B．C． D．1．（2023·山西運城·統(tǒng)考二模）如圖1，在中，，動點從點出發(fā)，沿折線勻速運動至點停止．點的運動速度為，設(shè)點的運動時間為（），的長度為（），與的函數(shù)圖像如圖2所示．當(dāng)恰好平分時，的長為（

）A． B． C． D．2．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點P為邊上一動點，過點P作直線，交折線于點Q．設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

3．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形中，，動點從點出發(fā)沿方向在和上勻速移動，連接交或的延長線于，記點移動的距離為，為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（

）A．B．C． D．4．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）如圖，已知直線是線段的中垂線，與相交于點C，D是位于直線下方的上的一動點（點D不與點C重合），連接，過點A作，過點B作于點E，若，設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖像可以大致表示為（

）．

A．

B．

C．

D．

【考點五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】例題：（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，矩形的兩邊分別在x軸和y軸上，點B的坐標(biāo)為，現(xiàn)有兩動點P，Q，點P以每秒3個單位的速度從點O出發(fā)向終點A運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)向終點B運動，連接，，．設(shè)運動時間為t秒．

(1)點P的坐標(biāo)為______，點Q的坐標(biāo)為______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)請判斷四邊形的面積是否會隨時間t的變化而變化，并說明理由；(3)若A，P，Q為頂點的三角形與相似時，請求出t的值．【變式訓(xùn)練】1．（2019秋·廣東佛山·九年級佛山市禪城區(qū)瀾石中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，，，，動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向定點運動，同時動點從點出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點運動，運動時間為t秒（），連接．

(1)________；__________．(2)若與相似，求的值；(3)連接，如圖2，若，求的值．2．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點E是從點A運動D點，則點G的運動路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

【考點六相似三角形中的動點探究應(yīng)用問題】例題：（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）探究完成以下問題：【初步認(rèn)識】(1)如圖1，在四邊形中，，連接，，過點作交的延長線于點．求證：；【特例研究】(2)如圖2，若四邊形中，，（1）中的其它條件不變，取，的中點M，F(xiàn)，連接．①求證：；②N為的中點，連接，猜想與的位置關(guān)系，并證明你的猜想；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形中，對角線，相交于點O，E是射線上一動點，過點作交射線于點，當(dāng)，，時，請直接寫出的長．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，是的角平分線，可以證明【基礎(chǔ)鞏固】（1）參照小慧提供時思路，利用圖（2）請證明上述結(jié)論；（2）A、B、C、是同一直線l上從左到右順次的點，點P是直線外一動點，平分；【嘗試應(yīng)用】①若，，延長至D，使，若的長為定值，請求出這個值；【拓展提高】②拓展：若，，，P點在l外運動時，使為定值，直接寫出的長為___________（用含m、n的式子表示）．2．（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形與正方形的頂B重合，、分別在、邊上，連接，則有：①______；②直線與直線所夾的銳角等于_____