4.4 數(shù)學(xué)歸納法（七大題型）（原卷版）

4．4數(shù)學(xué)歸納法課程標準學(xué)習(xí)目標1、能通過具體實例的分析，抽象出數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，得到數(shù)學(xué)歸納法原理，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2、能用邏輯語言表達數(shù)學(xué)歸納法，能描述兩個步驟之間的關(guān)系，明晣第一步歸納奠基是基礎(chǔ)，第二步是要證明一個具有遞推關(guān)系的命題，明確兩個步驟缺一不可．3、能用數(shù)學(xué)歸納法證明特殊數(shù)列的通項公式等問題，能規(guī)范表述用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的基本過程，提升邏輯推理素養(yǎng)．1、了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．2、能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題．知識點01數(shù)學(xué)歸納法的原理1、數(shù)學(xué)歸納法定義：對于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當取第一個值時命題成立；然后假設(shè)當（，）時命題成立，證明當時命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法知識點詮釋：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當時，命題成立，再假設(shè)當（，）時，命題成立．（這時命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立．2、數(shù)學(xué)歸納法的原理：數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法，它是一種完全歸納法．它的證明共分兩步：①證明了第一步，就獲得了遞推的基礎(chǔ)．但僅靠這一步還不能說明結(jié)論的普遍性．在第一步中，考察結(jié)論成立的最小正整數(shù)就足夠了，沒有必要再考察幾個正整數(shù)，即使命題對這幾個正整數(shù)都成立，也不能保證命題對其他正整數(shù)也成立；②證明了第二步，就獲得了遞推的依據(jù)．但沒有第一步就失去了遞推的基礎(chǔ)．只有把第一步和第二步結(jié)合在一起，才能獲得普遍性的結(jié)論．其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納基礎(chǔ)”（或稱特殊性），第二步是遞推的證據(jù)，解決的是延續(xù)性問題（又稱傳遞性問題）．3、數(shù)學(xué)歸納法的功能和適用范圍（1）數(shù)學(xué)歸納法具有證明的功能，它將無窮的歸納過程根據(jù)歸納公理轉(zhuǎn)化為有限的特殊演繹（直接驗證和演繹推理相結(jié)合）過程．（2）數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明某些與正整數(shù)（取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題．但是，并不能簡單地說所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都可使用數(shù)學(xué)歸納法證明．【即學(xué)即練1】（2023·陜西西安·高二期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，第二步應(yīng)假設(shè)（

）A．當時，成立B．當時，成立C．當時，成立D．當時，成立知識點02運用數(shù)學(xué)歸納法的步驟與技巧1、用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：（1）證明：當取第一個值結(jié)論正確；（2）假設(shè)當（，）時結(jié)論正確，證明當時結(jié)論也正確由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數(shù)都正確2、用數(shù)學(xué)歸納法證題的注意事項（1）弄錯起始．不一定恒為1，也可能或3（即起點問題）．（2）對項數(shù)估算錯誤．特別是當尋找與的關(guān)系時，項數(shù)的變化易出現(xiàn)錯誤（即跨度問題）．（3）沒有利用歸納假設(shè)．歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個證明過程也就不正確了（即偽證問題）．（4）關(guān)鍵步驟含糊不清．“假設(shè)時結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明時結(jié)論也成立”是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，推導(dǎo)的過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴謹性、規(guī)范性（即規(guī)范問題）．3、用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵：運用數(shù)學(xué)歸納法由到的證明是證明的難點，突破難點的關(guān)鍵是掌握由到的推證方法．在運用歸納假設(shè)時，應(yīng)分析由到的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)，或從時分離出時的式子，再進行局部調(diào)整；也可以考慮二者的結(jié)合點，以便順利過渡．【即學(xué)即練2】（2023·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明，“當為正奇數(shù)時，能被整除”時，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成（

）A．假設(shè)時正確，再推證正確B．假設(shè)時正確，再推證正確C．假設(shè)時正確，再推證正確D．假設(shè)時正確，再推證正確知識點03用數(shù)學(xué)歸納法證題的類型：1、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式；對于證明恒等的問題，在由證等式也成立時，應(yīng)及時把結(jié)論和推導(dǎo)過程對比，也就是我們通常所說的兩邊湊的方法，以減小計算的復(fù)雜程度，從而發(fā)現(xiàn)所要證明的式子，使問題的證明有目的性．2、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的整除性問題；用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，由到時，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式（數(shù)）整除，這是數(shù)學(xué)歸納法證明問題的一大技巧．3、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題；數(shù)學(xué)歸納法在高考試題中常與數(shù)列、平面幾何、解析幾何等知識相結(jié)合來考查，對于此類問題解決的關(guān)鍵往往在于抓住對問題的所劃分標準，例如在平面幾何中要抓住線段、平面、空間的個數(shù)與交點、交線間的關(guān)系等．4、用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式．用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與有關(guān)的不等式時，推導(dǎo)“”時成立，有時要進行一些簡單的放縮，有時還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等．5、用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的命題．由有限個特殊事例進行歸納、猜想，從而得出一般性的結(jié)論，然后加以證明是科學(xué)研究的重要思想方法．在研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題中，此思想方法尤其重要．【即學(xué)即練3】（2023·高二課時練習(xí)）如圖，類似于中國結(jié)的一種刺繡圖案，這些圖案由小正方形構(gòu)成，其數(shù)目越多，圖案越美麗，若按照前4個圖中小正方形的擺放規(guī)律，設(shè)第個圖案所包含的小正方形個數(shù)記為．（1）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出與的關(guān)系，并通過你所得到的關(guān)系式，求出的表達式；（2）計算：，，的值，猜想的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．題型一：對數(shù)學(xué)歸納法的理解例1．（2023·高二課前預(yù)習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的，都有，第一步應(yīng)該驗證的等式是（

）A． B．C． D．例2．（2023·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的，”，第一步應(yīng)該驗證的等式是（

）A． B．C． D．例3．（2023·陜西商洛·高二鎮(zhèn)安中學(xué)?？计谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊（

）A．增加了 B．增加了C．增加了 D．增加了變式1．（2023·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，驗證成立時等式左邊計算所得項是（

）A．1 B．C． D．變式2．（2023·高二課前預(yù)習(xí)）已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，若已假設(shè)（，且為偶數(shù)）時等式成立，則還需利用假設(shè)再證（）A．時不等式成立 B．時不等式成立C．時不等式成立 D．時不等式成立【方法技巧與總結(jié)】即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當時，命題成立，再假設(shè)當（，）時，命題成立．（這時命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立．題型二：數(shù)學(xué)歸納法中的增項問題例4．（2023·上海浦東新·高二上海市進才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，從推證時，左邊增加的代數(shù)式是（）A． B．C． D．例5．（2023·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到時，不等式左邊需要增加的項為（

）A． B．C． D．例6．（2023·上海·高二期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數(shù)式為（）A． B． C． D．變式3．（2023·北京房山·高二統(tǒng)考期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增加的因式是（

）A． B． C． D．變式4．（2023·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（，為正整數(shù)）的過程中，從遞推到時，不等式左邊需添加的項為（

）A． B．C． D．變式5．（2023·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的，”，由到時，等式左邊應(yīng)當增加的項為（

）A． B．C． D．變式6．（2023·遼寧大連·高二校聯(lián)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過程中，從到時，左邊增加的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】在利用歸納假設(shè)論證時等式也成立時，應(yīng)注意分析和時兩個等式的差別．題型三：證明恒等式例7．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．例8．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明以下恒等式：(1)；(2).例9．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)；(2)．變式7．（2023·全國·高二課堂例題）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時，．變式8．（2023·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（為正整數(shù)）．變式9．（2023·高二課時練習(xí)）是否存在常數(shù)、、，使等式對任何正整數(shù)都成立？【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的策略應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時需要確定兩個式子的結(jié)構(gòu)，即：（1）時，等式的結(jié)構(gòu)．（2）到時，兩個式子的結(jié)構(gòu)：時的代數(shù)式比時的代數(shù)式增加（或減少）的項．這時一定要弄清三點：①代數(shù)式從哪一項（哪一個數(shù)）開始，即第一項．②代數(shù)式相鄰兩項之間的變化規(guī)律．③代數(shù)式中最后一項（最后一個數(shù)）與的關(guān)系．題型四：證明不等式例10．（2023·高二課時練習(xí)）觀察下列不等式：，，，，……．(1)根據(jù)這些不等式，歸納出一個關(guān)于正整數(shù)n的命題；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中得到的命題．例11．（2023·廣西玉林·高二校聯(lián)考期中）（1）請用分析法證明：；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：．例12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）數(shù)學(xué)歸納法證明：．變式10．（2023·高二?？颊n時練習(xí)）已知n為正整數(shù)，試比較與的大小.變式11．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知，.（1）當時，分別比較與的大?。ㄖ苯咏o出結(jié)論）；（2）由（1）猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個關(guān)鍵（1）驗證第一個的值時，要注意不一定為1，若（k為正整數(shù)），則．（2）證明不等式的第二步中，從到的推導(dǎo)過程中，一定要用歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因為缺少歸納假設(shè)．（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明與有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大?。畬Φ诙愋问酵葘θ∏皞€值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明．（4）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由時成立，得時成立，主要方法有比較法、放縮法等．題型五：歸納—猜想—證明例13．（2023·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）設(shè)數(shù)列滿足，，(1)求，的值，并猜想數(shù)列的通項公式；(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想．例14．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且．記．如果對于所有的正整數(shù)均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通項公式，并加以證明．例15．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，試用數(shù)學(xué)歸納法證明．變式12．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足嘗試通過計算數(shù)列的前四項，猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．變式13．（2023·河南洛陽·高二校考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，．(1)計算，猜想的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列，求的前項和．變式14．（2023·北京房山·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的通項公式為，記該數(shù)列的前n項和為．(1)計算，，，的值；(2)根據(jù)計算結(jié)果，猜想的表達式，并進行證明．變式15．（2023·高二課時練習(xí)）函數(shù)對任意實數(shù)x，y都有．(1)求的值；(2)若，求，，的值，猜想時的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”．（2）“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗—歸納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題．這種方法更適用于已知數(shù)列的遞推公式求通項公式．題型六：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題例16．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除（）例17．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：是64的倍數(shù)．例18．（2023·高二課時練習(xí)）求證：對任何正整數(shù)n，數(shù)都能被8整除變式16．（2023·高二?？颊n時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：可以被7整除.變式17．（2023·高二課時練習(xí)）證明：當時，能被64整除．變式18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）先猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想：能被哪些自然數(shù)整除？變式19．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求證：對任意正整數(shù)，都能被整除．【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，關(guān)鍵是把時的式子分成兩部分，其中一部分應(yīng)用歸納假設(shè)，另一部分經(jīng)過變形處理，確定其能被某數(shù)（某式）整除．題型七：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題例19．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）證明：凸n邊形的內(nèi)角和等于．例20．（2023·全國·高二課堂例題）在平面上畫n條直線，且任何2條直線都相交，其中任何3條直線不共點.問：這n條直線將平面分成多少個部分？例21．（2023·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)有個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，試證明這個圓把平面分成了個區(qū)域．變式20．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）平面內(nèi)有條直線，其中任何2條不平行，任何3條不過同一點，求證：它們交點的個數(shù).變式21．（2023·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)有n(n∈N*)個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成n2－n＋2部分.【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從個變成（）個時，所證的幾何量將增加多少．一般地，證明二步時，常用的方法是加1法，即在原來的基礎(chǔ)上，再增加1個，當然我們也可以從（）個中分出1個來，剩下的個利用假設(shè)．幾何問題的證明一要注意數(shù)形結(jié)合，二要注意要有必要的文字說明．一、單選題1．（2023·海南·高二統(tǒng)考期末）在正項數(shù)列中，，，則（

）A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減2．（2023·高二課時練習(xí)）我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)知識，知道數(shù)學(xué)歸納法可以用來證明與正整數(shù)n相關(guān)的命題.下列三個證明方法中，可以證明某個命題對一切正整數(shù)n都成立的是（

）①成立，且對任意正整數(shù)k，“當時，均成立”可以推出“成立”②，均成立，且對任意正整數(shù)k，“成立”可以推出“成立”③成立，且對任意正整數(shù)，“成立”可以推出“成立且成立”A．②③ B．①③ C．①② D．①②③3．（2023·高二校考課時練習(xí)）已知經(jīng)過同一點的個平面，任意三個平面不經(jīng)過同一條直線，若這n個平面將空間分成個部分．現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明這一命題，證明過程中由到時，應(yīng)證明增加的空間個數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）k棱柱有f(k)個對角面，則(k＋1)棱柱的對角面?zhèn)€數(shù)f(k＋1)為(k≥3，k∈N*)（

）A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-25．（2023·高二?？颊n時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明能被8整除時，當時，可變形為（

）A． B．C． D．7．（2023·河北唐山·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：（，），在證明這一步時，需要證明的不等式是A．B．C．D．8．（2023·四川成都·高二樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過程中，由n＝k遞推到n＝k+1時不等式左邊（）A．增加了項B．增加了項C．增加了項D．以上均不對二、多選題9．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，下列說法正確的是（）A．使不等式成立的第一個自然數(shù)B．使不等式成立的第一個自然數(shù)C．推導(dǎo)時，不等式的左邊增加的式子是D．推導(dǎo)時，不等式的左邊增加的式子是10．（2023·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值中正確的為（

）A．1 B．2 C．3 D．411．（2023·高二課時練習(xí)）如果命題對成立，則它對也成立.則下列結(jié)論正確的是（