人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二8.6.2 空間角與空間距離（精講）（解析版）

8.6.2空間角與空間距離（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點(diǎn)一線線角【例1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，（1）AC和DD1所成的角是________；（2）AC和D1C1所成的角是________；（3）AC和B1D1所成的角是________；（4）AC和A1B所成的角是________.【答案】（1）90°或

（2）45°或

（3）90°或

（4）60°或【解析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)可得平面，所以AC和DD1所成的角是90°.（2）∵D1C1DC，所以∠ACD即為AC和D1C1所成的角，由正方體的性質(zhì)得∠ACD＝45°.（3）∵BDB1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.（4）∵A1BD1C，△ACD1是等邊三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.故答案為：90°或；45°或；90°或；60°或.【一隅三反】1．（2022·高一課前預(yù)習(xí)）在正方體中，則直線與直線所成角大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，可得，所以或其補(bǔ)角即為直線與直線所成角，在中，，所以，所以直線與直線所成角大小為，故選：C.2．（2022春·全國(guó)·高一期末）如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC與BD的中點(diǎn)，若CD=2AB=4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為（

）A．90° B．45° C．60° D．30°【答案】D【解析】設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中線.∴，且，，且，則EF與CD所成角的度數(shù)等于EF與GE所成角的度數(shù)又EF⊥AB，∴EF⊥GF則△GEF為直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°∴在直角△GEF中，∴∠GEF=30°.故選：D.3（2022春·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知正三棱柱中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，在正中，由，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，由余弦定理可得.故選：A.考點(diǎn)二線面角【例2】（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在三棱柱中，在底面的射影為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________.【答案】【解析】如圖所示：取的中點(diǎn)M，連接，因?yàn)?，又，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，作，則平面，因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：【一隅三反】1．（2022春·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，且是棱的中點(diǎn)，是棱上靠近的四等分點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1），，，可理，，，又平面.（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接..由（1）知平面平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以是直線在平面內(nèi)的射影，即為直線與平面所成的角.，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為.2．（2022春·貴州六盤(pán)水·高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，平面ABC，D是PB上一點(diǎn)，且平面PBC.(1)求證：；(2)若，M是PC的中點(diǎn)，求直線BM與平面ABC所成角的大小.【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)【解析】（1）由于平面ABC，平面，所以.由于平面PBC，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以.（2）設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于是的中點(diǎn)，所以，所以平面，所以是直線與平面所成角，由于，直角三角形中，，所以，所以.3．（2022·高一單元測(cè)試）如圖，在直角梯形ABCD中，，AB⊥AD，且，現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖2.(1)求證：平面BEC；(2)求證：BC⊥平面BDE；(3)求直線BC與平面ADEF所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【解析】（1）取EC中點(diǎn)N，連接MN，BN，如圖，在△EDC中，M為ED的中點(diǎn)，則，且，而，，即有，因此四邊形ABNM為平行四邊形，有，因平面BEC，且平面BEC，所以平面BEC.（2）由正方形ADEF知，ED⊥AD，而平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD=AD，平面ADEF，則ED⊥平面ABCD，而平面ABCD，即有，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，，則，，而，有，即，因此，又，平面BDE，所以平面BDE.（3）延長(zhǎng)CB與DA交于P點(diǎn)，由（2）知，而，，面ADEF，于是得CD⊥面ADEF，即為直線BC與平面ADEF所成角，而，則，所以直線BC與平面ADEF所成角的正弦值.考點(diǎn)三二面角【例3】（2022春·江西宜春·高一江西省萬(wàn)載中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的大小．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【解析】（1）由平面可得又，所以平面，所以;連交于點(diǎn)，連，則是的中位線，，而平面，平面，平面.（2）取的中點(diǎn)，連，則是的中位線，,又平面，平面；因?yàn)槠矫?，故，又，底面為平行四邊形?，而分別為中點(diǎn)，所以；而是的中位線,,而平面，故平面，而平面，故，所以是二面角的平面角.又；，而二面角與二面角互補(bǔ),故所求二面角的大小為.【一隅三反】1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體．(1)求二面角的正切值的大??；(2)求二面角的正切值的大小．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）連接，交于，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又平面，平面，所以，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫妫?所以是二面角的平面角，設(shè)，在中，,，所以，由，所以，所以二面角的正切值為.（2）連接,其中點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)椋?所以，，所以為二面角的平面角，在中，，,所以二面角的正切值為.2．（2022春·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，且，．(1)證明：平面ABC⊥平面；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】（1）連接，如圖，由是菱形，所以．又，，所以平面，故,又，，所以AB⊥平面，又平面ABC．所以平面ABC⊥平面．（2）過(guò)在平面內(nèi)引直線垂直于AC，O為垂足，過(guò)O在平面ABC內(nèi)引直線OH垂直于BC，H為垂足，連接．由平面ABC⊥平面，平面平面，所以平面ABC，所以，．又OH⊥BC，，所以BC⊥平面，故為二面角的平面角．設(shè)，由，可知O為AC的中點(diǎn)，所以．又，平面，平面，所以AB⊥AC，所以．所以．所以，所以二面角的余弦值為．3．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).將沿BD折起，使，連接AE、AC、DE，得到三棱錐.(1)求證：平面ABD；(2)若，求二面角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【解析】（1）由于平面，所以平面.由于平面，所以.由于平面，所以平面.（2）分別取的中點(diǎn)，連接，由于分別是的中點(diǎn)，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以.由于分別是的中點(diǎn)，所以，由于，所以，由于平面，所以平面，所以是二面角的平面角.在中，，所以，則為銳角，且，所以二面角的平面角為.考點(diǎn)七空間距離【例7】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1．（1）點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____；（2）直線和平面的距離為_(kāi)_____；（3）直線和平面的距離為_(kāi)_____．【答案】（1）1

（2）1

（3）【解析】（1）在正方體中，平面，所以點(diǎn)到平面的距離為；（2）在正方體中，連接，如圖，，，則四邊形是平行四邊形，有，而平面，平面，則有平面，于是得直線和平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因平面，則點(diǎn)到平面的距離為，所以直線和平面的距離為1；（3）在正方體中，連接，，而平面，平面，則平面，因此直線和平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，連，由正方形得，而平面，平面，因此，因，平面，則平面，而，所以直線和平面的距離為.故答案為：1；1；【一隅三反】1．（2021春·山西太原·高一統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，..則直線與平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉殚L(zhǎng)方體，所以面⊥面ABCD，過(guò)A作AE⊥BD于E，則AE⊥面，所以直線與平面的距離為AE.在直角三角形ABD中，由等面積法可得：故選：C2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，有一過(guò)且與平面平行的平面，棱，，則平面與平面的距離是_________．【答案】【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以到平面的距離即為平面與平面間的距離，易知平面，從而點(diǎn)A到平面的距離即為所求的距離．如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)．因?yàn)槠矫?，平面所以平面平面，又平面平?所以平面，則即為所求．在中，，，則，因?yàn)?，所以．故平面與平面的距離為．故答案為：3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，．(1)求點(diǎn)和點(diǎn)C的距離